Показательная функция
Определение. Показательной функцией называется функция 
, где 
.
Свойства показательной функции , 
1. Область определения. Поскольку для числа его степень 
определена при любом действительном х, то 
.
Монотонность.
Предложение. Функция , , строго возрастает на своей области определения.
Доказательство. Возьмем произвольные действительные числа х 1 и х 2 такие, что х 1< х 2. Поскольку множество рациональных чисел плотно в R, то существуют такие рациональные числа r и q, что 
. Пусть 
и 
– соответственно возрастающая и убывающая последовательности рациональных чисел, для которых 
и 
. Тогда 
и по свойству степени с рациональным показателем (§14, предложение 1) 
для любого 
. Переходя в этом неравенстве к пределу при 
и учитывая, что по определению степени 
и 
, получаем: 
. Таким образом, 
и, следовательно, функция строго возрастает.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!