Аналитическое интегрирование

 

Уравнения Лагранжа (или уравнения Ньютона) представляют собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение этой системы существует в некоторой окрестности начальных условий, если правые части уравнений ограничены по модулю сверху. Перед интегрированием правые части уравнений Лагранжа или Ньютона должны быть явно выражены через элементы орбиты и независимую переменную. Правые части каждого уравнения в этом случае обычно пропорциональны некоторому малому параметру |σ|<1. Будем считать, что систему дифференциальных уравнений привели к виду;

(4.114)

с начальными условиями

Рассмотрим три основных метода аналитического интегрирования.

 

Метод последовательных приближений (метод Пикара)

 

Первое приближение находится по формуле:

(4.115)

k-e приближение

(4.116)

 

Метод малого параметра (метод Пуанкаре)

 

Решение системы представляется в виде рядов:

(4.117)

Пуанкаре доказал, что ряды будут сходящимися при достаточно малых значениях σ. Члены рядов называются возмущениями первого порядка, второго порядка и т.д.

Из (4.117) следует, что вычисление возмущений первою порядка совпадает с вычислением первого приближения в методе Пикара

(4.118)

Представив под интегралами в формуле (4.115) элементы орбиты в виде , разложив подынтегральную функцию в ряды по степеням и ограничившись членами порядка σ²,получим формулу длявычисления возмущений второго порядка

(4.119)

 

Метод осреднения

 

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений небесно-механического типа:

(4.120)

с начальными условиями t₀, х⁽⁰⁾, у⁽⁰⁾.

В этой системе х – медленная переменная, у – быстрая переменная, период которой 2π. Выполнив осреднение по быстрой переменной, получим укороченную систему,

(4.121)

которую легко проинтегрировать:

(4.122)

Подставим теперь полученное решение в исходную систему:

(4.123)

В преобразованной таким способом исходной системе время t выражено явно, поэтому такую систему нетрудно проинтегрировать:

(4.124)

---

Дата добавления: 2016-01-05; просмотров: 88; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!