Дифференциальные уравнения движения в оскулирующих элементах орбиты

⇐ ПредыдущаяСтр 44 из 92Следующая ⇒

Если рассматривать движение ИСЗ по геоцентрической орбите, возмущаемой лишь силами потенциального характера, то уравнения движения можно записать в

(4.87)

Предположим, что в процессе движения спутника по возмущаемой орбите в какой-то момент времени t₁, возмущения перестали действовать. Очевидно, что после этого момента спутник будет двигаться по некоторой кеплеровой невозмущённой орбите с элементами , причём в момент t₁ эта орбита будет иметь общую точку с возмущенной орбитой (рис 25). В этой точке координаты и составляющие скорости ИСЗ на возмущённой орбите будут равны координатам и составляющим скорости на кеплеровой орбите.

Понятно, что таких точек на возмущенной орбите можно выбрать столь угодно много и сколь угодно близко друг к другу, всякий раз полагая, что возмущения исчезают. Тем самым можно получить бесчисленное множество невозмущенных орбит с разными элементами, каждая из которых имеет общую точку с возмущенной орбитой.

Рис 25 Действительная и кеплеровы орбиты

Таким образом, возмущённую орбиту можно представить невозмущенной кеплеровой орбитой с переменными элементами во всякий момент имеющей с возмущенной орбитой одну общую точку. Такая кеплерова орбита называется оскулирующей.

Если эпохи двух оскулирующих орбит отличаются на малую величину, то на малых же величины отличаются элементы этих орбит.

Если в первом приближении возмущающую функцию положить равной нулю (R = 0), то дифференциальные уравнения (4.87) можно записать и виде

(4.88)

и мы придем к задаче двух тел. Здесь знак частного дифференцирования указывает на то, что при решении этих уравнений элементы считаются постоянными. В результате решения уравнений получают мгновенную орбиту.

В любой момент времени можно считать, что

т.е. действительные векторы скоростей в момент времени t можно получить дифференцированием эллиптических формул, в которых мгновенные значения элементов полагаются постоянными.

По формулам невозмущённого движения будут найдены невозмущенные координаты и скорости ИСЗ.

При использовании метода вариации параметров (в данном случае параметрами являются элементы орбиты) выражения для координат и скоростей дифференцируются (теперь элементы рассматриваются как переменные).

При дифференцировании координат получим

(4.89)

где э_i – один из шести элементов

Таким образом, из (4.89) получаем

(4.90)

Продифференцировав (4.89), получим

(4.91)

или

(4.92)

Откуда

(4.93)

Затем шесть уравнений (4.90) и (4.93) преобразуются таким образом, чтобы получилось шесть дифференциальных уравнений первого порядка для скоростей изменения элементов. Такое преобразование впервые было выполнено Лагранжем. Полученные в результате уравнения имеют вид:

(4.94)

Матрицу L называют матрицей Лагранжа

(4.95)

Уравнения Лагранжа описывают возмущенное движение для силовой возмущающей функции R. Однако возмущающие силы могут иметь различный характер, Следовательно, желательно иметь такую систему дифференциальных уравнений, которая была бы пригодна для описания возмущений, вызванных силами любою характера. Для получения такой системы уравнений надо заменить частные производные dR/dx, dR/dy, dR/dz в (4.93) составляющими возмущающих ускорений и решить систему относительно dэ_i/dt. Затем от составляющих переходят к составляющим ускорения в орбитальной системе координат (рис.26), ось абсцисс х_и, которой направлена по геоцентрическому радиус-вектору ИСЗ, ось ординат у_и лежит в плоскости орбиты, причем положительное направление оси ординат соответствует направлению движения ИСЗ, ось аппликат z_u дополняет систему до правой тройки. Составляющие ускорения в этой системе координат называются: - радиальная составляющая, - трансверсальная составляющая, - бинормальная составляющая.