Разложение геопотенциала в ряд по сферическим функциям

Рис. 13. К определению потенциала твердого тела во внешней точке

По определению потенциал произвольного твердого тела (в данном случае Земли) во внешней точке в системе координат XYZ, связанной с центром масс тела (рис.23), представляет собой интеграл

(4.22)

в котором ρ — плотность, а τ — объем тела.

В дальнейшем будем раскладывать в ряд потенциальную функцию W, отличающуюся от потенциала знаком и которую, тем не менее часто тоже называют потенциалом, вопреки его физическому определению.

Применяя формулу косинуса к треугольнику Ois, представим в виде:

( 4 23)

Учитывая, что выражение является производящей функцией полиномов Лежандра, преобразуем (4.23):

(4.24)

Полиномы Лежандра Р_n(z) (аргумент в целях общности здесь обозначен буквой z) можно вычислить по формуле Родрига

(4.25)

На практике для вычисления полиномов Лежандра часто используйся также рекуррентная формула Бонне

(4.26)

при применении которой имеется в виду, что Р₀(z) = 1, P₁(z) = z.

Тогда W можно представить в виде:

(4.27)

Принимая во внимание соотношение

cosψ = sinδsinФ + cosδcosФcos(γ-Λ), (4.28)

в котором γ, δ - сферические координаты внешней точки, а Λ, Ф - сферические координаты текущей точки твёрдого тепа, воспользуемся формулой сложения для полиномов Лежандра:

(4.29)

Здесь - присоединённые функции Лежандра, которые вычисляются по формуле:

(4.30)

После этих подстановок выражение для W запишется:

(4.31)

Поскольку интегралы в (4.31) для реальной Земли вычислить не удастся (не известен закон распределения плотности), введём для них следующие обозначения:

(4.32)

(4.33)

(4.34)

В этих формулах a_c - средний экваториальный радиус Земли (в данном случае введен в качестве масштабирующего множителя). J_п, С_nk, S_nk - безразмерные коэффициенты (стоксовы постоянные), характеризующие гравитационное поле Земли. При этом J_п называются зональными коэффициентами, С_nk, S_nk – долготными коэффициентами, причем, если k = n они называются секториальными, а если k ≠ n - тессеральными долготными коэффициентами. Коэффициенты J_п, С_nk, S_nk зависят от формы Земли и распределения масс внутри неё.

С учётом введённых обозначений (4.32) - (4.34) формула для W примет вид;

(4.35)

Рассмотрим первые члены разложения (4.35).

С учётом того, что P₀(sinФ) = 1, , из (4.32) находим; J₀ = -1.

Полагая в (4.32) n = 1, а в (4.33) и (4.34) п - 1, k = 1 и учитывая, что

, находим

(4.36)

(4.37)

(4.38)

где Х₀,У₀, Z₀ - координаты центра масс Земли.

Поскольку начало системы координат совмещено с центром масс Земли, то отсюда

J₁ = 0, С₁₁ = 0, S₁₁ = 0. (4.39)

Поэтому формула для W принимает следующий вид:

(4.40)

Такая форма представления геопотенциала рекомендована Международным Астрономическим Союзом (MAC). Разложение геопотенциала в ряд по сферическим функциям стало уже классическим и широко применяется. Правда, такое представление не является единственно возможным, Иногда используют и другие разложения.

Дата добавления: 2016-01-05; просмотров: 45; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 28 29 30 31 323334 35 36 37 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!