Определители. Свойства определителей

Определитель квадратной матрицы второго порядка вычисляется по формуле: .

Определителем квадратной матрицы третьего порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или правилу Сарруса: .

Определителем квадратной матрицы порядка, или определителем порядка, называется число, равное алгебраической сумме членов, каждый из которых является произведением элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как , где – число инверсий в перестановке из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания: , где сумма берется по всем перестановкам .

Свойства определителей:

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножиться на это число .

Пусть определитель исходной матрицы равен . Для определенности первую строку матрицы умножим на , получим новый определитель , который разложим по элементам первой строки: .

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

Предположим вначале, что переставлены две соседние строки матрицы: и . Разложим определитель исходной матрицы по элементам строки, а определитель новой матрицы (с переставленными строками) - по элементам строки. Полученные разложения будут отличаться только знаком, поэтому .

Если переставить не соседние строки, а скажем, и , то такую перестановку можно представить как последовательное смещение строки на строк вниз (при этом каждый раз знак определителя меняется), а строки на вверх, что тоже сопровождается изменением знака, т.е. знак поменяется нечетное число раз, т.е. .

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

Действительно, переставим эти строки (столбцы). С одной стороны, определитель не изменится, но с другой стороны, по свойству 4 поменяет знак, т.е. , откуда .

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равен 0.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел , , …, на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа , , …, .