Определенный интеграл и его геометрический смысл.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 8Следующая ⇒

Пусть функция неотрицательна на . Отдельное слагаемое интегральной суммы в этом случае равно площади прямоугольника со сторонами и , Другими словами, - это площадь под прямой на отрезке . Поэтому вся интегральная сумма равна площади под ломаной, образованной на каждом из отрезков прямой , параллельной оси абсцисс.

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек , , … и точек , , ... Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , т.е. .

Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции.

Основные свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. .

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. .

Основные условия интегрируемости функций.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Пример. Вычислить .

Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки разбиения имеют одинаковую длину , равную , где - число отрезков разбиения, причем для каждого отрезка разбиения точка совпадает с правым концом этого отрезка, т.е. , где . В силу интегрируемости функции , выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек на отрезке разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы. Тогда .

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна . Следовательно, .

Связь определенного интеграла с первообразной. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такое значение , что .

Доказательство. По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения из верно, что , где и - наименьшее и наибольшее значения функции на . Тогда, имеем .

Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число , что или .

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е. .

Доказательство. Пусть - некоторая первообразная для функции . По теореме (если функция непрерывна на отрезке , тогда в каждой точке отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции ), т.е. функция , заданная формулой , также является первообразной для функции .

По теореме: если и - первообразные для функции на промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство ) найдется такое число , что .