Интегрирование способом подстановки.
Экстремумы функции нескольких переменных. Понятие о векторе градиента функции двух переменных.
Определение. Точка называется точкой макс (минимума) функции , если существует окрестность точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство , .
Теорема.Пусть точка - есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.
Теорема.Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ; б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка
Определение. Производной по направлению функции двух переменных называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последней к нулю, т.е. Определение.Градиентом функции называется вектор с координатами .
Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция и пусть в точке , величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.
Пример. Найти критические (экстремальные) точки функции двух переменных .
Найдем частные производные функции : , . Найдем критические точки функции из системы уравнений , , , , , , , .
Найдем частные производные второго порядка: , , . Проверим выполнение достаточного условия экстремума: . Так как , , то точка есть точка минимума.
Пример.Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .
|
|
Найдем частные производные , : , . Значения частных производных в точке равны , . Градиент функции в точке равен .
Так как , то , , то производная по направлению равна .
Понятие первообразной, основные свойства.
Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .Например, является первообразной для функции , так как .
По геометрическому смыслу производной есть угловой коэффициент касательно к кривой в
точке с абсциссой . Геометрически найти первообразную для - значит найти такую кривую , что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке равен значению заданной функции в этой точке (рис. 1).
Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции , и вообще , где - некоторое число, являются первообразными для функции . Аналогично в общем случае, если - некоторая первообразная для , то поскольку , функции вида , где - произвольное число, также являются первообразными для .
Геометрически это означает, что если найдена одна кривая , удовлетворяющая условию , то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию (поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой ) (рис. 1).
|
|
Остается вопрос, описывает ли выражение вида все первообразные для функции . Ответ на него дает следующая теорема.
Теорема. Если и - первообразные для функции на промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство .
Поскольку , то по следствию из теоремы Лагранжа, найдется такое число , что или .
Из данной теоремы следует, что если - первообразная для функции , то выражение вида , где - произвольное число, задает все возможные первообразные для .
Определение. Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция,
- подынтегральное выражение. Таким образом , где - некоторая первообразная для , - произвольное постоянна
Отметит, что в определении неопределенного интеграла не исключается, что сама, возможно, является функцией некоторой переменной, однако при проверке правильности нахождения первообразной это несущественно, так как дифференцировать следует лишь по переменной .
|
|
Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.
Свойства неопределенного интеграла:
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .
Дифференцируя левую и правую части равенства , получаем .
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .
По определению дифференциала и свойству 1 имеем .
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .
Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать и на основании дифференциал неопределенного интеграл , откуда .
Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимнообратны (знаки и взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, правда, с точностью до постоянного слагаемого).
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. .
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .
|
|
Интегрирование способом подстановки.
Метод замены переменной описывается формулой: , где - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Пример. Вычислить неопределенный интеграл .
. Пусть , , тогда .
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 96; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!