Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.
Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства , если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: , где - какие угодно действительные числа.
Определение. Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что .
В противном случае векторы называются линейно независимыми.
Определение. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существуют линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми.
Пример. Выяснить, являются ли векторы , , линейно зависимыми.
Составим векторное равенство . Записывая , , в виде вектор - столбцов, получим
Задача свелась к решению системы: . Решим систему методом Гаусса: . Следовательно, . Так как , то , , линейно независимы, следовательно, образуют базис.
Базис векторного пространства. Матрицы, действия с матрицами.
Определение. Совокупность линейно независимых векторов -мерного пространства называется базисом.
Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.
Теорема. Если - система линейно независимых векторов пространства и любой вектор а линейно выражается через , то пространство является , а векторы - его базисом.
|
|
Пример. Даны векторы , , и в некотором декартовом базисе. Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Покажем, что векторы , , образуют, т.е. составим векторное равенство и определим коэффициенты , и .
. Т. К.. , то вектора , , образуют базис.
Определим координаты вектора в этом базисе:
, .
Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Виды матриц:
- Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) - строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором) - столбцом.
- Матрица называется квадратной порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .
- Матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю.
- Матрица называется единичной, если у диагональной матрицы порядка все диагональные элементы равны единице.
- Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.
Операции над матрицами:
1.Умножение м на число. Произведение матрицы на число называется матрица , элементы которой для ; .
|
|
2.Сложение матриц. Суммой двух матриц и одинак. размера называется матрица , элементы которой для ; .
3.Вычитание матриц. Разность двух м. одинак.размера определяется через предыдущ операции: .
4. Умножение матриц. Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов строки матрицы на соответствующие элементы столбца матрицы .
5. Возведение в степень. Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных .
6. Транспонирование матрицы. Транспонирование матрицы – переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
Пример. Выполнить действия .
.
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 98; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!