Замена переменной в определенном интеграле

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8Следующая ⇒

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где . Тогда справедливо следующее равенство .

Пример. Вычислить определенный интеграл .

Пусть , , , , , тогда .

Вычисление определенного интеграла по частям.

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда .

Пример. Вычислить .

Пусть , , , , тогда .Вычислим . .

Итак, .

Интегрирование функций, неопределенных в конечном числе точек.

Определение. Несобственным интегралом от функции на полуинтервале называется предел , где , т.е. .

Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Вычислим . Пусть , , , , тогда

Итак, .

Интегрирование функций, имеющих разрывы второго рода

Для установления сходимости или расходимости несобственных интегралов с бесконечным верхним пределом интегрирования часто используется следующий признак.

Пусть при справедливо неравенство , где и - непрерывные знакоположительные функции. Тогда:

1) если сходимости , то сходится ;

2) если расходится , то расходиться и .

Аналогичный признак сравнения имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.

Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: .

. Пусть , , , , тогда . Несобственный интеграл расходится.

Интегрирование функций, заданных на бесконечном интервале.

Определение. Несобственным интегралом от функции на полуинтервале называется предел функции при , стремящемся к , т.е. .

Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Вычислим . , , , , , , Т. к.интеграл , то он сходится.

Вычисление площади плоской фигуры.

Вычисление площадей плоских фигур. Рассмотрим несколько случаев вычисления площадей плоских фигур.

Пример. Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры ограниченной данными линиями , .


			8
			6
			4
			2
-6	-4	-2	0	2	4	6
			-2

кв. ед.

Вычисление объема тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , осью абсцисс и двумя прямыми и , находится по формуле .

Пример. Найти объем тела, получающегося при вращении кривой вокруг оси от до . куб. ед.

Вычисление длины дугиплоской кривой.

Если кривая на отрезке является гладкой (т.е. производная - непрерывная функция), то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами и , находится по формуле .