ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ
НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЯХ В 2008 г
Вариант 1
1. Вычислить .
Р е ш е н и е. Сначала выполним умножение в скобках:
.
Затем прибавим в скобках к 1/2 результат умножения:
.
Наконец, результат вычислений в скобках разделим на 1/12:
.
Таким образом,
.
Ответ: 8.
2. Решить уравнение .
Р е ш е н и е. Перенеся члены уравнения, содержащие неизвестную x, в левую часть уравнения, а все известные величины – в правую, получим
.
Приведение подобных членов даст
.
Разделив обе части полученного уравнения на –3, получим решение
.
Ответ: 1.
3. Решить неравенство и в ответ записать наибольшее целое решение.
Р е ш е н и е. Перенеся члены неравенства, содержащие неизвестную x, в левую часть уравнения, а все известные величины – в правую, получим
.
Приведение подобных членов дает неравенство
.
Разделим обе части полученного неравенства на отрицательное число –6. Знак неравенства при этом заменится на противоположный:
.
Таким образом, решением исходного неравенства является бесконечный интервал
.
Наибольшее целое число, принадлежащее этому интервалу, равно 1.
Ответ: 1.
4. Решить систему уравнений .
Р е ш е н и е. Решим систему методом подстановки. Выразим x из второго уравнения:
.
Подставив найденное выражение для x в первое уравнение, получим уравнение с одной неизвестной y:
.
Решив это уравнение, получим значение величины y:
|
|
Следовательно,
.
Таким образом, решением системы уравнений является пара чисел x = 2, y = 1.
5. Фермер занял 150 гектаров посевной площади под картофель, под зерновые – на 20% больше, чем под картофель, а под овощи – на 90% меньше, чем под зерновые. Сколько посевной площади (в гектарах) имеет фермер?
Р е ш е н и е. Пусть x, y, z – площади (в гектарах), отведенные фермером соответственно под картофель, зерновые и овощи.
По условию x = 150. Так как y на 20% больше, чем x, то из пропорции
получим
.
Значит, под зерновые отведено 180 гектаров земли.
По условию площадь под овощами z на 90% меньше, чем y. Из пропорции
получим
.
Под овощи фермером отведено 18 гектаров земли.
Таким образом, посевная площадь S равна
.
Ответ: 348 га.
6. Решить уравнение .
Р е ш е н и е. Избавимся от отрицательной степени:
.
Перенеся второе слагаемое левой части уравнения направо, получим
.
Представим в последнем уравнении число 9 как квадрат числа 3 и запишем дробь в правой части в виде степени 3-x:
.
Получили равенство степеней с одинаковым основанием. Значит, должны совпадать показатели степени:
.
Ответ:-1.
7. Решить неравенство . В ответ записать наибольшее целое решение.
|
|
Р е ш е н и е. Знаменатель левой части неравенства является неотрицательным числом и не должен быть равен нулю. Найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю:
.
Значит, если , то неравенство умножением на положительный знаменатель дроби левой части будет приведено к виду
.
Рассмотрим два случая: x < –3 и x > –3.
Пусть x < –3. Тогда x + 3 < 0 и под знаком модуля находится отрицательное число. Модуль следует заменить выражением –(x + 3):
.
Решая второе неравенство системы, получим
.
Таким образом
Пусть теперь x > –3.
В этом случае и под знаком модуля находится неотрицательное число, так что модуль следует заменить выражением (x + 3):
.
Объединив решения и
для двух случаев, получим окончательное решение исходного неравенства .
Наибольшее целое число, принадлежащее найденному решению, равно 0.
Ответ: 0.
8. Найти расстояние от центра окружности радиуса см. до хорды, стягивающей дугу величиной в .
Р е ш е н и е. Хорда AB опирается на дугу в . Значит, центральный угол равен . Треугольник AOB – равнобедренный, так как стороны AO и BO равны радиусу окружности. Высота OC треугольника AOB является биссектрисой центрального угла . Поэтому . Расстояние d от центра окружности O до хорды AB равно длине отрезка OC. Поскольку
|
|
, то
Ответ: 20см.
9. Длина боковой грани правильной четырехугольной призмы равна см., а диагональ основания 4 см. Найти объем призмы.
Р е ш е н и е. В основании призмы лежит квадрат ABCD, у которого известна длина диагонали AC. Так как диагональ квадрата делит прямой угол при вершине квадрата пополам, то
.
Поэтому
.
Значит, площадь основания призмы будет равна
.
Высота h призмы равна длине боковой стороны :
.
Для объема V призмы в итоге получим
.
Ответ: .
10. Решить уравнение . В ответ записать среднее арифметическое всех корней (в градусах), принадлежащих промежутку .
Р е ш е н и е. Из основной тригонометрической формулы получим
.
Подстановка в уравнение даст .
Перенесем все в левую часть уравнения и вынесем множитель :
Произведение двух множителей будет равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Значит, решением исходного уравнения будет объединением решений уравнений и .
Решая эти уравнения, получим
;
,
где n и m произвольные целые числа.
Промежутку будут принадлежать 2 корня первого уравнения
, ,
и 1 корень второго уравнения
.
Среднее арифметическое xср этих корней равно
|
|
.
Ответ: .
Вариант 2
1. Вычислить
2. Решить уравнение
3. Решить неравенство и в ответ записать наибольшее целое решение.
4. Решить систему уравнений .
5. Фермер занял под зерновые 120 гектаров посевной площади, под овощи – на 80% меньше, чем под зерновые, а под картофель – на 50% больше, чем под овощи. Сколько посевной площади (в гектарах) имеет фермер?
6. Решить уравнение
7. Решить неравенство В ответ записать наибольшее целое решение.
8. Найти длину хорды, если она стягивает дугу величиной в , а радиус окружности равен см.
9. Площадь основания правильной треугольной призмы равна , а диагональ боковой грани Найти площадь боковой поверхности призмы.
10.Решить уравнение В ответ записать среднее арифметическое всех корней (в градусах), принадлежащих промежутку
Вариант 3
1. Вычислить
2. Решить уравнение
3. Решить неравенство и в ответ записать наименьшее целое решение.
4.Выполнить действия .
5. Трое рабочих получили задание изготовить некоторое количество деталей. Первый рабочий изготовил 20 деталей, второй – на 5% больше, чем первый, а третий – 19 деталей. Оказалось, что было выполнено только 80% задания. Сколько всего деталей должны были изготовить рабочие?
6. Решить уравнение
7. Решить неравенство В ответ записать сумму целых решений.
8.Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 40,5 . Найти длину боковой стороны трапеции, если острый угол при её основании равен .
9.Высота правильной четырехугольной пирамиды равна , а диагональ основания равна . Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
10.Решить уравнение В ответ записать сумму корней (в градусах), принадлежащих промежутку
Вариант 4
1. Вычислить
2. Решить уравнение
3. Решить уравнение
4. Решить систему неравенств и в ответ записать количество целых решений.
5. Поезд прошел расстояние между двумя городами за три часа. За первый час он прошел 34% всего пути, за второй час – 28%, а за третий – оставшиеся 57 км. Найти расстояние между городами.
6. Решить неравенство и в ответ записать сумму целых решений.
7. Решить уравнение .
8.Основания равнобедренной трапеции равны и , а площадь - . Найти (в градусах) острый угол трапеции.
9.Каждое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно . Найти объём пирамиды.
10.Решить уравнение . В ответ записать сумму корней (в градусах), принадлежащих промежутку
Вариант 5
1. Вычислить
2. Решить уравнение
3. Решить неравенство и в ответ записать наибольшее целое решение.
4. Решить уравнение и в ответ записать произведение его корней.
5. Рабочий получил задание за три дня изготовить некоторое количество деталей. В первый день он изготовил 100 деталей, во второй – на 10% меньше, чем в первый, и в третий день – 98 деталей. При этом рабочий выполнил только 90% задания. Сколько деталей должен был изготовить рабочий за три дня?
6. Решить уравнение .
7. Решить неравенство В ответ записать наибольшее целое решение.
8.Площадь параллелограмма с основанием равна площади равностороннего треугольника со стороной . Найти высоту параллелограмма.
9. Основанием прямой призмы служит прямоугольник, диагональ которого равна , а одна из сторон . Найти площадь полной поверхности призмы, если её диагональ равна .
10.Решить уравнение В ответ записать количество корней, принадлежащих промежутку
Вариант 6
1. Вычислить
2. Выполнить действия
3. Решить уравнение .
4. Решить систему неравенств и в ответ записать количество целых решений.
5. Решить уравнение
6. Решить неравенство В ответ записать сумму целых решений.
7. Решить уравнение . В ответ записать наибольший отрицательный корень (в градусах).
8. Скорость первого автомобиля относится к скорости второго автомобиля как 3:4. Расстояние в 180 км второй автомобиль проходит на 45 минут быстрее первого. Найти скорости автомобилей.
9. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне и равно , а высота равна . Найти периметр трапеции.
10. Объём конуса равен , а площадь осевого сечения . Найти высоту конуса.
.
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Математика: Пособие для подготовки к экзамену и централизованному тестированию за курс ср. школы / А.И.Азаров, В.И. Булатов, А.И.Жук и др.– Мн.: ”Аверсэв”. 2003. – 396 с.
2. Математика : Справочные материалы: Книга для учащихся. / В.А. Гусев, А.Г.Мордкович.– М.: Просвещение, 1988.– 416 с.
3. Задачник по математике для поступающих в вузы (с решениями и ответами) / Р.Б.Райхмист.– М.:Моск.Лицей, 2000. – 304 с.
4. Элементарная математика для окончивших среднюю школу / К.У. Шахно.–Издательство Ленинградского университета, 1976.–432 с.
5. Сборник задач по математике для поступающих во втузы/ Под ред. М.И. Сканави.– Мн.:Высш. шк., 1990.– 528 с.
Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 73; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!