Алгебраические уравнения и неравенства

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, равный 6, и выполним преобразования:

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Решив первое уравнение системы, получим корни Из второго условия получаем, что Следовательно, не является корнем исходного уравнения.

Ответ: -1.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения, приведем к общему знаменателю и выполним преобразования:

Ответ:

Иррациональное уравнение сводится к рациональному путём возведения в соответствующую степень обеих частей уравнения.

При возведении обеих частей в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и после преобразований получим квадратное уравнение корни которого

Выполним проверку. При получим При Следовательно, – посторонний корень.

Ответ: 1.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Перенесём в правую часть уравнения, возведём обе части в квадрат и выполним преобразования. Проверкой убеждаемся, что – посторонний корень.

Ответ: –1.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Пусть Получим уравнение которое сводится к квадратному Решая это уравнение, находим Второй корень не подходит, поскольку Таким образом, имеем . Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим

Ответ:

Упражнения

Решить уравнения.

1. Ответ: 2.

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ: –2.

5. Ответ:

6. Ответ: –4; 0.

7. Ответ: 2.

8. Ответ: .

9. Ответ: 1; 2.

10. Ответ: 6.

Пример 7. Решить неравенство

Решение. Умножим обе части неравенства на 4 и приведем подобные члены: Ответ:

Пример 8. Решить неравенство

Решение. Корни соответствующего квадратного уравнения Графиком функции является парабола, пересекающая ось Ох в двух точках, ветви которой направлены вверх, так как Изобразим схематически график функции Как видно, неравенство выполняется для

Ответ:

Пример 9. Решить неравенство

Решение. Так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения равен нулю, то Это означает, что графиком функции является парабола, касающаяся оси Ох в точке , ветви которой направлены вверх, так как Изобразив схематически график функции , видим, что неравенство выполняется только в одной точке .

Ответ: 4.

Пример 10. Решить неравенство

Решение. Дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицательный. Это означает, что парабола не пересекает ось Ох, а так как , то ветви параболы направлены вверх.

Изобразив схематически график функции , видим, что неравенство не выполняется ни для каких значений х, то есть данное неравенство решений не имеет.

Ответ: Æ – (нет решений).

Пример 11. Решить неравенство .

Решение. Используем метод интервалов, для чего находим нули числителя и знаменателя: – эта точка входит в решение, так как неравенство нестрогое; – не входит в решение, так как это нуль знаменателя . Отметим полученные точки на числовой прямой и расставим знаки на каждом интервале. Знак + – +