Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные

Под знаком абсолютной величины

Наиболее распространенным методом решения уравнений и неравенств, содержащих модули, является метод интервалов, при котором знак модуля раскрывается по определению:

Применение метода состоит в следующем:

1) Находят значения переменной, при которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль;

2) Разбивают область допустимых значений переменной на интервалы, на каждом из которых выражения под знаком модуля сохраняют знак;

3) На каждом интервале решают уравнение или неравенство.

Совокупность (объединение) решений из указанных интервалов и составляет все решения исходного уравнения или неравенства.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Найдём нуль модуля:

нуль модуля.

1) Если , т.е. то –

Так как принадлежит рассматриваемому интервалу, то является корнем данного уравнения.

2) Если , т.е. то

Так как принадлежит рассматриваемому интервалу, то тоже является корнем данного уравнения.

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим решение данного уравнения на каждом из двух интервалов.

1) На этом интервале Поэтому уравнение имеет вид:

Найденное значение не входит в рассматриваемый интервал.

2) Здесь Следовательно, Полученное значение входит в рассматриваемый интервал.

Таким образом, решением исходного уравнения является

Ответ: 4.

Пример 3. Решить неравенство и в ответ записать его наибольшее целое решение.

Решение. Находим нуль модуля: .

Рассмотрим два случая.

1) Если , то и неравенство примет вид или . Следовательно, , откуда , т.е. .

2) Если , то . Тогда или . Следовательно, , т.е. .

Объединяя оба случая, получим решение данного неравенства . Наибольшим целым его решением будет

Ответ: 2.

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Находим нуль модуля:

Раскроем модуль на каждом из двух интервалов.

1) Корни соответствующего квадратного уравнения равны и . Решаем квадратное неравенство и с учётом рассматриваемого интервала находим решение:

2) Корни соответствующего квадратного уравнения –3 и 2. Решаем квадратное неравенство, и, учитывая рассматриваемый интервал, находим решение

Объединяя оба случая, получаем решение исходного неравенства:

Ответ: .

Упражнения

Решить уравнения.

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ: 3.

4. Ответ:

Решить неравенства.

5. Ответ: (8; 12).

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Найти наибольшее целое решение неравенства

Ответ: –1.

Показательные уравнения и неравенства

При решении показательных уравнений и неравенств необходимо понимать и знать определение и свойства показательной функции.

Показательной называется функция вида где , . Если то функция возрастает, если , то убывает. При преобразовании показательной функции необходимо знать правила действий со степенями:

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Так как , то данное уравнение запишем в виде Отсюда

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде , или , или . Отсюда , т.е.

Ответ

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Имеем откуда или , или т.е.

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде или

Пусть тогда

Корнями этого уравнения являются Первый корень не подходит, так как по условию Поэтому т.е.

Ответ: .

Решение показательных неравенств основано на свойстве: если то при и при

Пример 5. Найти наибольшее целое решение неравенства

Решение. Так как то неравенство можно записать в виде Отсюда , т.е. Наибольшим целым числом, удовлетворяющим неравенству, является 7.

Ответ: 7.

Пример 6. Решить неравенство

Решение. Запишем неравенство в виде Так как то

Ответ:

Пример 7. Найти количество целых решений неравенства

Решение. Перепишем неравенство в виде Пусть Тогда Решая соответствующее квадратное уравнение, получим т.е. Таким образом, т.е. Целыми решениями неравенства являются числа –2, –1, 0 и их количество равно 3.