Логарифмические уравнения и неравенства

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени с, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b: Обозначается

Логарифмическая функция имеет вид где . При функция убывает, а при – возрастает.

При решении логарифмических уравнений и неравенств используются формулы:

1) 2) 3)

4) 5)

6) 7)

8) 9) 10)

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Из определения логарифма т.е. х=1. Так как областью определения является множество таких значений х, что т.е. то х=1 принадлежит области определения и является корнем данного уравнения.

Ответ: 1.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Областью определения данного уравнения является множество значений , удовлетворяющих системе неравенств , или . Используя свойства логарифмов, данное уравнение можно записать как или т.е. имеем квадратное уравнение , корнями которого являются , Первый корень не входит в область определения, поэтому не является решением исходного уравнения. Ответ: 1.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Областью определения уравнения является множество значений x>0. Пусть Тогда Корнями этого уравнения являются Тогда х=3 и х=27. Полученные значения х=3 и х=27 принадлежат области определения и являются корнями исходного уравнения.

Ответ; 3; 27.

При решении логарифмических неравенств следует использовать свойства логарифмической функции.

Если то неравенство ( ) равносильно системе неравенств

Если же то данное неравенство равносильно системе

Пример 4. Найти наибольшее целое решение неравенства

Решение. Данное неравенство равносильно системе или , т.е. . Наибольшим целым решением является Ответ: 4.

Пример 5. Найти целые решения неравенства

Решение. Используя свойства логарифмов, данное неравенство можно записать в виде или Полученное неравенство равносильно системе , или , или , т.е. . Целыми решениями исходного неравенства являются числа –3, –2.

Ответ: –3, –2.

Пример 6. Решить неравенство

Решение. Запишем неравенство в виде Это неравенство равносильно системе или , т.е. .

Ответ: .

Пример 7. Решить неравенство

Решение. По определению логарифма Пусть Тогда Корнями соответствующего квадратного уравнения являются и а решениями неравенства являются все значения Следовательно, или

Так как то решениями исходного неравенства являются все значения Ответ: .

Упражнения

Решить уравнения.

1. Ответ: –4.

2. Ответ: 2.

3. Ответ: –2; –1.

4. Ответ: 0,5; 16.

5. Найти наибольшее целое решение неравенства

Ответ: –4.

6. Найти целые решения неравенства Ответ: 0; 1; 2.

7. Решить неравенство Ответ: (1; 4).

8. Решить неравенство

Ответ: .

Тригонометрические преобразования и уравнения

Любые тригонометрические преобразования базируются, прежде всего, на знании тригонометрических формул. В большинстве справочников по математике имеется перечень таких формул, однако запомнить нужно лишь основные, так как остальные являются их следствиями. Поэтому здесь приведены только основные формулы тригонометрии.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

Формулы сложения аргументов:

Формулы двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента:

;

Формулы сложения одноименных тригонометрических функций:

Формулы преобразования произведения в сумму:

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла:

Тригонометрические уравнения путем преобразований с помощью основных формул сводятся к одному из стандартных уравнений, которые достаточно легко решаются:

Пример 1. Вычислить если .

Решение. Так как то нужно найти . Из основного тригонометрического тождества находим . По условию угол a находится во второй четверти, где Поэтому , Отсюда