Арифметические преобразования. Проценты

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основной целью вступительных испытаний В БГСХА является отбор наиболее подготовленных к учебе в высшем учебном заведении абитуриентов.

Методические указания ставят своей целью ознакомить абитуриентов с характером требований по математике, предъявляемых к поступающим в БГСХА.

Многочисленные перестройки школьного образования, хорошие они в чем-то или нет, внедрение вычислительной техники в учебный процесс наложили определенный отпечаток на прием вступительных испытаний. Получилось так, что за последние двадцать лет на вступительных испытаниях по математике предлагалось от пяти задач по классической схеме до двадцати элементарных задач в случае использования ЭВМ для проверки заданий и выдачи выходных документов. Независимо от количества задач вступительные задания охватывают всю школьную программу по математике. Если в конкурсном задании немного задач, то они обязательно насыщенные. Их решения требуют знаний из многих областей математики. Поэтому ответ на наиболее интересующий абитуриентов вопрос: «Какие темы школьной программы будут включены или не включены в варианты письменных заданий по математике?» - весьма прост: «Включены все темы». В 2008 году поступавшим в БГСХА предлагалось десять задач. Методические указания включают программу по математике, некоторые рекомендации к вступительным испытаниям, приемы решения задач, вариант прошлогодних испытаний по математике с решением и несколько примеров построения вариантов экзаменационных билетов. При подготовке к вступительным испытаниям в нынешнем году следует ориентироваться именно на такой уровень.

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

При подготовке к вступительным испытаниям по математике основное внимание абитуриентовдолжно быть обращено на изучение математических понятий, формул и теорем.

На вступительных испытаниях по математике поступающий в БГСХА должен показать умение:

выполнять арифметические действия над числами, заданными в форме десятичных и обыкновенных дробей; округлять с необходимой точностью числа и результаты вычислений;

выполнять действия над алгебраическими дробями;

выполнять тождественные преобразования многочленов, рациональных и иррациональных выражений и выражений, которые содержат дробно-рациональные, степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции;

решать уравнения, системы уравнений первой и основные системы уравнений второй степени, уравнения и системы, которые приводятся к ним;

решать неравенства, системы неравенств первой и второй степени с одной переменной, неравенства и системы, которые приводятся к ним;

решать рациональные уравнения и неравенства;

решать текстовые задачи по действиям или методом составления уравнений и систем;

решать иррациональные уравнения;

решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства, их системы, уравнения и системы, которые приводятся к ним;

решать тригонометрические уравнения;

решать уравнения и неравенства, которые содержат переменную под знаком модуля;

решать задачи на исследование функций и построение их графиков;

решать задачи на нахождение производных элементарных функций;

решать задачи на построение с помощью циркуля и линейки;

строить изображения и сечения пространственных геометрических тел;

решать геометрические задачи на доказательство, на вычисление значений геометрических величин (длин, площадей, объёмов, углов), на вычисление расстояний (между двумя точками, между параллельными прямыми, от точки до прямой, от точки до плоскости, между прямой и параллельной ей плоскостью, между параллельными плоскостями);

решать задачи, связанные с комбинациями призм и пирамид с телами вращения.

Основные математические

Понятия и факты.

Арифметика, алгебра и начала анализа

Натуральные числа и нуль. Их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение натуральных чисел. Квадрат и куб натурального числа. Простые и составные числа. Делитель, кратное. Четные и нечетные числа.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10. Деление с остатком.

Разложение натурального числа на простые множители. Общий делитель, общее кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

Целые числа. Противоположные числа. Арифметические действия над целыми числами.

Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Целая и дробная части числа.

Основное свойство дроби. Сокращение обыкновенных дробей. Сравнение обыкновенных дробей. Их сложение, вычитание, умножение и деление.

Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей. Приближенное значение числа. Округление чисел.

Рациональные числа. Арифметические действия над рациональны ми числами.

Иррациональные числа. Действительные числа. Представление действительных чисел в виде десятичных дробей. Числовая прямая. Изображение чисел на числовой прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.

Проценты. Пропорции. Основные свойства пропорции. Прямая и обратная пропорциональность.

Степень с натуральным и целым показателями. Свойства степеней с натуральным и целым показателями.

Числовые выражения. Алгебраические выражения. Тождественно равные выражения. Формулы сокращенного умножения.

Одночлен и многочлен. Действия над многочленами. Разложение многочлена на множители.

Тождественные преобразования многочленов.

Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби. Действия над алгебраическими дробями.

Тождественные преобразования рациональных выражений.

Корень n-й степени (n N, n > 2), его свойства для случаев четного и нечетного значений числа n.

Арифметический квадратный корень и его свойства.

Степень с рациональным показателем. Свойства степеней с рациональными показателями.

Степень с действительным показателем.

Уравнения. Корень уравнения. Равносильные уравнения. Линейные уравнения.

Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения.

Приведенное квадратное уравнение.

Применение теоремы Виета для нахождения корней квадратного уравнения.

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Уравнения, сводящиеся к квадратному. Биквадратные уравнения.

Решение рациональных уравнений.

Решение иррациональных уравнений.

Числовые последовательности.

Арифметическая прогрессия. Формулы n-го члена и суммы первых n членов.

Геометрическая прогрессия. Формулы n-го члена и суммы первых n членов.

Свойства числовых неравенств.

Неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства. Решение линейных неравенств вида:

Элементарные функции и их графики.

Производные элементарных функций. Убывание и возрастание функций. Геометрический и механический смысл производной.

Геометрия

Основные (неопределяемые) понятия планиметрии.

Луч, отрезок; угол, вертикальные и смежные углы; многоугольник, его углы, стороны и диагонали.

Треугольник, его медиана, биссектриса, высота. Прямоугольный, остроугольный, тупоугольный треугольники. Соотношения между сторонами и углами произвольного и прямоугольного треугольников.

Равенство треугольников. Признаки равенства треугольников.

Свойства равнобедренного треугольника.

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства параллельных прямых.

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр и наклонная.

Свойства серединного перпендикуляра.

Четырёхугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках.

Теоремы о средней линии треугольника и трапеции.

Свойства и признаки параллелограмма.

Свойства прямоугольника, ромба, квадрата.

Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.

Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус.

Дуга окружности. Касательная к окружности и ее свойства.

Окружность, описанная около треугольника и вписанная в него.

Центральные и вписанные углы. Измерение центральных и вписанных углов.

Свойство секущих, проведённых к окружности из одной точки. Свойство пересекающихся хорд.

Движения плоскости: центральная и осевая симметрии, параллельный перенос, поворот.

Понятие подобия фигур. Признаки подобия треугольников.

Подобие прямоугольных треугольников. Свойства высоты, проведённой из вершины прямого угла прямоугольного треугольника.

Теорема Пифагора и следствия из неё.

Теорема синусов.

Теорема косинусов.

Следствия из теорем синусов и косинусов (решение треугольников).

Формулы площадей квадрата и прямоугольника.

Формулы площадей параллелограмма, треугольника, ромба, трапеции.

Многоугольники. Правильные многоугольники. Сумма углов многоугольника.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник; окружность, описанная около правильного многоугольника; формулы для вычисления их радиусов.

Длина окружности. Длина дуги окружности. Площадь круга.

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии, их связь с аксиомами планиметрии.

Взаимное расположение прямых в пространстве. Свойства параллельности прямых.

Перпендикулярность прямых. Скрещивающиеся прямые.

Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости.

Параллельные плоскости. Признак параллельности плоскостей.

Свойства параллельных плоскостей.

Перпендикуляр и наклонная к плоскости, проекция наклонной на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла.

Перпендикулярность двух плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Параллельное проектирование на плоскость. Правила построения изображений и сечений пространственных тел.

Теорема о трех перпендикулярах.

Многогранники: вершины, ребра, грани, диагонали.

Прямая и наклонная призмы.

Правильная призма. Параллелепипед.

Пирамида. Правильная пирамида.

Сечения многогранников плоскостью.

Понятие о телах и поверхностях вращения.

Осевые сечения и сечения, перпендикулярные к оси.

Прямой круговой цилиндр. Сечения цилиндра.

Прямой круговой конус.

Сечения цилиндра и конуса плоскостями, параллельными или перпендикулярными их осям.

Сфера и шар. Сечения шара плоскостью.

Плоскость, касательная к сфере.

Формулы площадей поверхностей и объёмов параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса.

Формула площади сферы. Формула объёма шара.

НЕКОТОРЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ИСПЫТАНИЯМ

В настоящее время существует довольно большое количество методических и учебных пособий для поступающих в высшие учебные заведения. Но их желательно использовать как дополнительную литературу, а основной должны быть школьные учебники. Школьные учебники содержат полное изложение всего материала, включенного в программу вступительных испытаний. Их структура более близка и понятна поступающим.

При выполнении работы сначала приступайте к решению тех задач, которые Вам кажутся легче. Изучите условие задачи. Невнимательность при чтении может привести к неправильному пониманию задачи и, как следствие, к досадному неправильному решению или решению совсем другой задачи.

Следите за временем, правильно его распределяйте на выполнение всех заданий.

Если определенное задание вызвало у Вас затруднение, пропустите его и переходите к решению следующего, а к пропущенному вернитесь в конце работы.

Не волнуйтесь, работайте спокойно, с уверенностью в своих силах.

Не сдавайте свою работу досрочно, лучше лишний раз проверьте правильность выполнения задания.

Пишите разборчиво и аккуратно.

ПРИЁМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Раздел содержит краткие теоретические сведения, примеры решения типовых задач, упражнения по некоторым основным темам программы вступительных испытаний по математике.

Арифметические преобразования. Проценты

Рассмотрим примеры на все действия с обыкновенными и десятичными дробями.

Пример 1. Выполнить действия в выражении

Решение.

Ответ:

Пример 2. Найти х из пропорции

Решение.

Ответ:

Пример 3. Вычислить

Решение.

Ответ: 29,65.

Упражнения

Ответ: 10.

2. Найти х из пропорции

Ответ: 70.

В приведённых ниже примерах вычислить выражения.

Ответ:

Процент – это сотая часть числа. При решении задач на проценты надо помнить, что за 100% мы принимаем то, с чем сравниваем. При этом в одной задаче в разных действиях за 100% могут приниматься разные величины.

Пример 4. За смену токарь обточил 81 деталь при норме 45 деталей. На сколько процентов он перевыполнил план?

Решение. Токарь перевыполнил план на 81-45=36 деталей. Принимаем 45 деталей за 100% и составляем пропорцию . Отсюда . Ответ: 80%.

Пример 5. При обработке отливки в стружку идёт 13% массы отливки. Какова должна быть масса отливки, если масса обработанной детали равна кг?

Решение. При обработке отливки остается 100-13=87% его массы. Примем массу отливки за х. Составляем пропорцию . Отсюда кг.

Ответ: 12,5 кг.

Пример 6. Токарь и его ученик должны были изготовить за смену 65 деталей. Благодаря тому, что токарь перевыполнил план на 10 %, а ученик – на 20 %, они изготовили 74 детали. Сколько деталей по плану должны были изготовить за смену токарь и сколько – его ученик?

Решение. Пусть по плану за смену токарь должен был изготовить х деталей, тогда его ученик – деталей. Перевыполнив план, токарь за смену изготовил деталей, а его ученик – деталей.

По условию задачи:

Ответ: 40 деталей; 25 деталей.

Пример 7. Цену на книгу повышали дважды. После второго повышения книга стала стоить в два раза дороже, чем вначале. На сколько процентов повысили цену в первый раз, если во второй цена была повышена на 25%?

Решение. Пусть первоначальная цена книги – а руб. и в первый раз цену повысили на х %. Тогда цена после первого повышения стала равной руб. После второго повышения цены на 25% она стала равной , а по условию задачи после второго повышения цена увеличилась в два раза, т.е. стала равной 2а.