ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ МАТЕМАТИКИ

Стр 1 из 24Следующая ⇒

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВО «Ярославский государственный педагогический университет

им. К. Д. Ушинского»

А. В. Ястребов

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ

ОБУЧЕНИЕ М α ТЕМАТИКЕ

В ШКОЛЕ

Ярославль

2018

УДК 372.851 Печатается по решению

ББК 74.262.21 редакционно-издательского совета

Я 85 ЯГПУ им. К. Д. Ушинского

Рецензент:

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова,

профессор кафедры алгебры и математической логики,

доктор физико-математических наук

Н. В. Тимофеева

Ястребов, А. В.

Я 85 Исследовательское обучение математике в школе. – Ярославль: РИО ЯГПУ, 2018. – 158 с.

ISBN 978-5-00089-240-4

В монографии изложена концепция обучения математике, суть которой отражена в её названии. Даны определения исследовательски ориентированного и исследовательского обучения математике. Показано, как исследовательская ориентация обучения математике может быть реализована в начальной школе, в основной школе и в полной средней школе. Приведена коллекция разнотипных педагогических сценариев, с помощью которых школьники знакомятся с общенаучными методами исследования, повторно, вслед за классиками, изобретают математические теоремы и определения, выполняют полномасштабные личные исследования. В сценариях показано взаимодействие теоретического и экспериментального компонентов математики. Отражён личный опыт автора по руководству исследованиями школьников.

Книга предназначена для всех, кто связан с преподаванием математики: учителей школ, преподавателей вузов, студентов-математиков педагогического образования. Особую целевую группу составляют преподаватели и студенты педагогических вузов.

УДК 372.851

ББК 74.262.21

ISBN 978-5-00089-240-4

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
Введение, или Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
2. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
3. Структура книги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
Глава 1. Исследовательский компонент школьных учебников математики . . . . . . . . . . . . . .	19
1.1. Методы научного исследования или механизмы мыслительной деятельности? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	19
1.2. Некоторые типичные упражнения в контексте общенаучных методов исследования . . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
1.3. Интеллектуальные задачи с различных точек зрения . . . . .	26
1.3.1. Насыщены ли школьные учебники интеллектуальными задачами? . . . . . . . . . . . . . . . . . .	26
1.3.2. Утилитарная и идейная польза интеллектуальных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	29
1.3.3. «Дальнодействие» интеллектуальных задач . . . . . . .	32
1.3.4. Об отношении к интеллектуальным задачам . . . . . . .	40
1.4. О типологии ориентаций процесса обучения . . . . . . . . . . . .	42
Глава 2. Исследовательское обучение на уроках математики в основной школе . . . . . . . .	52
2.1. Элементы исследовательской деятельности как фактор освоения базового курса математики . . . . . . . . . . . . . . . . . .	52
2.2. Повторное изобретение теорем на уроках математики . . . .	60
2.2.1. Школьный материал как передний край науки . . . . .	60
2.2.2. Наблюдение в математике, или Теорема о биссектрисе угла треугольника . . . . . . . . .	62
2.2.3. Повторный эксперимент, или Теорема о медианах треугольника . . . . . . . . . . . . . . . .	67
2.2.4. Противоречивость экспериментальных данных, или Теорема о сумме углов треугольника . . . . . . . . . . . . .	71
2.2.5. Роль эксперимента в обнаружении теорем- критериев, или Признак параллельности прямых . . .	73
2.2.6. О продуктивных сценариях и математических экспериментах . . . . . . . . . . . . . . . . . .	78
2.3. О повторном изобретении определений школьниками . . . .	79
2.4. Дуалистические свойства математики в школьном курсе: обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	86
Глава 3. Большие проекты, или Внеурочные исследования школьников . . . . . . . . . .	91
3.1. Принцип отбора исследовательских задач для школьников	91
3.2. Расстояние от точки до геометрической фигуры . . . . . . . . .	94
3.2.1. О пловце, береге и расстоянии от точки до фигуры .	94
3.2.2. Измерение расстояний, эквидистанты, равноудалённость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	96
3.2.3. Педагогическая рефлексия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	108
3.3. Числовая мера разносторонности треугольника . . . . . . . . .	108
3.3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	109
3.3.2. Наблюдение и основное определение . . . . . . . . . . . . .	109
3.3.3. Свойства индексов разносторонности . . . . . . . . . . . .	112
3.3.4. В поисках «самого неправильного» треугольника . .	118
3.3.5. Педагогическая рефлексия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	123
3.4. Гиперкомплексные числа малых размерностей. Часть 1 . .	123
3.4.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	123
3.4.2. Двумерные алгебры и первая классификационная теорема . . . . . . . . . . . . . .	125
3.4.3. Типология алгебр и отсутствие «трёхмерных» чисел	128
3.4.3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	128
3.4.3.2. Типология алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	129
3.4.3.3. Необходимые леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	131
3.4.3.4. Доказательство основного утверждения . . . .	135
3.4.4. Педагогическая рефлексия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	136
3.5. Гиперкомплексные числа малых размерностей. Часть 2 . .	139
3.5.1. Первоначальные сведения о гиперкомплексных числах и нестандартные процедуры удвоения . . . . . .	139
3.5.2. Таблицы умножения для двукратных удвоений алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	141
3.5.3. Попарная изоморфность и неизоморфность двукрат- ных удвоений. Классификационный результат	144
3.5.4. Педагогическая рефлексия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	148
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	151
Приложение. Экспериментально-теоретический стиль преподавания и изучения математики . . . . . .	153
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	158

Предисловие

Дорогой читатель! Вы держите в руках книгу с интригующим названием «Исследовательское обучение математике в школе». Она представляет собой продукт серьезных и глубоких размышлений автора, который, насколько мне известно, давно работает над моделированием элементов исследовательской деятельности в учебном процессе.

Педагогическую общественность давно интересует вопрос, какую методику обучения математике в школе следует использовать для того, чтобы сформировать у учащихся опыт исследовательской деятельности? В настоящей книге предпринята попытка ответа на этот вопрос, причём весьма удачная.

Автор предлагает называть обучение математике в школеисследовательски ориентированным, если оно предоставляет учащемуся возможность приобрести первоначальный опыт использования общенаучных методов исследования и тех конкретных умственных действий, которые производят математики-исследователи, приобрести представление об элементах методологии математики, приобрести первоначальный опыт полномасштабного личного исследования в области математики. В то же время автор считает, что неразумно подвергать всех школьников трудностям исследовательского обучения, потому что интересы большинства из них либо лежат вне математики, либо попросту не сформированы. Именно поэтому исследовательское обучение в книге существует как возможность, которая будет использована каждым школьником и каждым учителем в той мере, в какой они захотят и смогут. Для учителя приобщение учеников к исследовательской деятельности не является предписанным, и быть может, недостижимым результатом, а служит естественным ориентиром в его труде.

В книге представлены многочисленные и весьма интересные конкретные педагогические сценарии, в которых описано, как выявить свойства математических исследований в процессе изучения стандартных теорем школьного курса математики. Представлены и некоторые исследовательские проекты, выполненные школьниками под руководством автора. Следует отметить, что результаты этих проектов выходят далеко за рамки стандартного школьного курса математики, что говорит об эффективности развиваемого подхода. Не менее интересен педагогический аспект математических проектов: генезис математических задач, скрупулезное отделение педагогической работы руководителя от математической работы исполнителя, анализ возникавших трудностей и многое другое.

Книга написана прекрасным литературным языком, читать её интересно и познавательно не только с методико-математической точки зрения, чему способствует широкая эрудиция автора. Всем, кто интересуется математикой и методикой ее преподавания, я рекомендую эту книгу.

Заслуженный деятель науки РФ,

лауреат премии Президента РФ в области образования,

доктор педагогических наук,

профессор А. Г. Мордкович

Хороший учитель, выбирая подходящие задачи и преподнося их соответствующим образом, может предложить даже среднему классу нечто весьма близкое к самостоятельному исследованию.

Д. Пойа

Введение

Постановка задачи

Где-то в религиозных текстах написано, что бог создал человека по своему образу и подобию. Удивительно, но точно так же действуют все люди, так или иначе связанные с воспитанием и образованием. Желая сделать своего ребёнка успешным и полезным членом общества, родители обучают его всему, что знают сами. В частности, они стараются передать ему свой личный опыт творческой деятельности, причём делают это тем настойчивее, чем более серьёзны их собственные успехи. Желая сделать результаты своего педагогического труда возможно более значимыми, учителя активно приобщают своих учеников к разнообразным видам творчества – предметным олимпиадам, конференциям школьников, разнообразным проектам и т.д. Желая внести вклад в развитие науки, профессора вузов и работники академических институтов обучают и воспитывают учёных нового поколения, своих преемников, которые могли бы продолжить развитие научных теорий, направлений, школ.

Такое желание, инстинктивное или осознанное, слабое или сильное, нашло своё отражение в теоретических взглядах на сущность педагогического процесса. Приведём некоторые примеры и попытаемся выделить то общее, что их объединяет. Сразу оговоримся, что мы не ставим целью ни формирование полного списка родственных друг другу педагогических концепций, ни детальное описание их сущности. Для наших целей будет достаточен краткий выразительный список и указание на основной феномен, объединяющий их.

Метод проектов хорошо известен. Его суть состоит в том, что участники проекта решают какую-либо практическую задачу, по ходу работы над которой они определяют, какие дополнительные знания и умения в области математики нужны для достижения результата, затем приобретают их и применяют для решения задачи. В определённом смысле метод проектов является вполне естественным, потому что он воспроизводит в трансформированном виде деятельность создателей математики. Действительно, потребности государственного управления (налогообложения) привели к практической задаче измерения земельных участков различных форм, а эта задача, в свою очередь, привела к постепенному построению геометрии. Задача описания движений тел привела к постепенному введению в научный обиход ряда конструкций, понятий, теорем и т.д., которые впоследствии образовали дифференциальное исчисление. Задача об изучении свойств искривлённых поверхностей привела к созданию дифференциальной геометрии. История математики даёт огромное количество примеров такого рода, и дело вовсе не в их количестве. Для нас важно, что участники проекта воспроизводят важные черты деятельности исследователей, создателей математики. Те и другие для решения задачи обращаются к специальным математическим знаниям, и разница только в том, что школьники или студенты используют имеющиеся знания, а исследователи создают новые знания. Кратко говоря, исполнители учебного проекта моделируют, с той или иной степенью детализации, исследовательскую деятельность создателей науки.

Если метод проектов является доминирующим методом обучения, то принято говорить о проектном обучении. Оно было широко распространено в первой половине XX века в ряде крупных стран, таких, например, как США и СССР. Доминирование метода проектов означает, что моделирование исследовательской деятельности в учебном процессе рассматривалось, справедливо или нет, как одна из основных форм организации обучения.

Проблемное обучение акцентирует другой аспект исследовательской деятельности. В его основе лежит понятие проблемной ситуации, которая создаётся учителем в процессе обучения и которая разрешается впоследствии в той или иной форме и в той или иной степени. Очевидно, что проблемное обучение воспроизводит в процессе преподавания один из этапов работы математика – постановку задачи. Очевидно также, что такое воспроизведение не является абсолютно точным, потому, например, что математик полностью самостоятелен в постановке решаемых им задач, а школьник или студент попадают в проблемную ситуацию благодаря педагогическому воздействию преподавателя. Таким образом, мы вновь сталкиваемся с моделированием исследовательской деятельности в учебном процессе, осуществляемом с той степенью полноты, которая адекватна возрастным особенностям учащихся и конкретным педагогическим условиям.

Генетический подход «к преподаванию математических дисциплин заключается в том, что методика обучения предмету должна опираться, по мере возможности, на естественные пути и методы познания, присущие соответствующей науке. Обучение должно следовать путям происхождения знания» [27, c. 50]. Разумеется, сформулированная мысль нуждается в разъяснении, уточнении, развитии, в описании конкретных способов её применения и проч. В книге И. С. Сафуанова [27, гл. 3, § 1] описан вклад Ф. В. А. Дистервега, Ф. Клейна, Г.-В. Лейбница, Д. Пойа, А. Пуанкаре, О. Тёплица и ряда других авторов в разработку генетического подхода. Главное, однако, уже сказано: использование генетического подхода к преподаванию математики означает разумное воспроизведение в учебном процессе основных этапов развития математики и соответствующих им способов исследования.

О том же самом говорит современный генетический подход, описанный в [14, c. 45–61]. Этот подход «требует от учителя (а прежде всего от учёных методистов) конструирования моделей такой учебной деятельности, которая была бы подобна научной деятельности» [14, c. 59]. Заранее скажем, что ниже мы будем широко использовать метод конструирования продуктивных моделей учебной деятельности.

Онтогенетический подход к обучению математике, разрабатываемый С. Р. Когаловским, представляет собой современный генетический подход, следующий системе из нескольких положений, взаимно дополняющих друг друга. Два главных положения состоят в следующем. «IV. Продуктивное освоение ведущих строгих понятийтребует сообразования с идеей развития, сопровождающегося преображениями способов мыследеятельности, … освоением новых механизмов понимания» [14, c. 70]. И далее: «V. Наличествующий опыт учащегося, его знания, логика его рассуждений недостаточны для самостоятельного осознания им принципиальной ограниченности возможностей осваиваемых им протопонятий и представляемых ими прототеорий. Столкновение с пограничными ситуациями и осознание учащимся посредством этого необходимости восхождения к строгим понятиям является … продуктивным … и природосообразным средством его математического и общего интеллектуального развития» [14, c. 72–73].

Выделенные курсивом фрагменты основных положений говорят о том, что онтогенетический подход концентрируется на воспроизведении в учебном процессе такого специфического аспекта деятельности математика, каким является создание точных определений сложных математических понятий. Это вполне естественно, потому что появление нового раздела математики невозможно без его основного понятия, определённого достаточно строго.

Ряд крупных математиков, одновременно являющихся специалистами в области педагогики математики, придерживается идеи о взаимосвязях процесса исследования и процесса обучения. Например, Х. Фройденталь предлагает пользоваться методом «переоткрытий», который он считает разновидностью сократовского метода: «Я хотел бы считать, что в ходе обучения изучаемое как бы создаётся или открывается заново. Поэтому факты не преподносятся в готовом виде, и школьник прослеживает их возникновение» [30, с. 77]. Разумеется, не всё так просто, и высказанная основная мысль нуждается в уточнении: «Переоткрытие» в сократовском методе не следует понимать буквально: оно не настоящее, а стимулированное… Инициатива в сократовском методе принадлежит учителю. Он не только помогает ученику, он показывает, как происходит «переоткрытие», излагает его ученику» [30, c. 78].

Ярким или даже непревзойдённым пропагандистом исследовательской деятельности учащихся является Д. Пойа. Не только содержание, но и структура его книг и логика названий подчёркивают основное направление его мысли. Так, одна из глав книги [4] «Математическое открытие» называется «Догадка и научный метод» и включает в себя параграф «Научно-исследовательская работа на уровне средней школы», который содержит ключевую мысль, ставшую эпиграфом: «Хороший учитель, выбирая подходящие задачи и преподнося их соответствующим образом, может предложить даже среднему классу нечто весьма близкое к самостоятельному исследованию». Впрочем, изолированная цитата не даёт ответа на вопрос о том, какая задача является «подходящей» и какой метод работы с нею является «соответствующим».

Итак, мы имеем несколько подходов к преподаванию, возникших у разных авторов, в разное время и под влиянием разных причин, которые, тем не менее, говорят примерно об одном и том же – о целесообразности воспроизведения в учебном процессе тех или иных аспектов исследовательской деятельности в области математики. Попытаемся извлечь некоторые выводы из всего вышесказанного. Это тем более необходимо, что выявленная нами «мозаичная целостность» теоретических взглядов указывает на некое противоречие.

С одной стороны, основная идея достаточно широко распространена в педагогическом сообществе и стала привычной, а для части учителей и преподавателей вузов она стала прямым руководством к действию. Мы знаем, что существуют специализированные учебно-научные центры (СУНЦы), например, в Москве и Новосибирске. Несколько десятилетий назад появились научные конференции школьников, например, «Колмогоровские чтения» (СУНЦ МГУ, Москва), Российская конференция «Открытие» (Ярославль) и ряд других. Сами термины «исследовательское обучение», «исследовательский подход к обучению» и т.п. достаточно прочно вошли в обиход математиков-методистов. Например, в книге [31, разд. 1.3] подробно описана история становления и развития идей исследовательского подхода к обучению математике в России и за рубежом. Наконец, основная идея проникла в нормативные документы. Так, Федеральный государственный образовательный стандарт общего образования определяет необходимость формирования у учащихся опыта исследовательской деятельности.

С другой стороны, сама многочисленность родственных подходов, отличающихся, тем не менее, друг от друга, позволяет считать, что ни один из них не разработан достаточно подробно и вряд ли может претендовать на универсальность, понимаемую в том или ином смысле. Во всяком случае, ни одна «линейка» школьных учебников не декларирует, что использующие её дети пройдут исследовательское обучение.

Так перед нами возникает следующая Задача: какую методику обучения математике в школе следует использовать для того, чтобы сформировать у учащихся опыт исследовательской деятельности?

В настоящей книге предпринята попытка её решения.

Основные определения

Приступая к решению сформулированной задачи, мы начнём с одного наблюдения чисто литературного характера: в имеющихся сочинениях достаточно трудно найти формальные, компактные, локализованные в тексте определения подходов, упомянутых выше. Приходится читать многие и многие страницы для того, чтобы понять, что же представляет собой обсуждаемый подход. Например, описание исследовательского обучения в книге [31] занимает 26 страниц, однако читателю весьма трудно извлечь из текста точное определение. Справедливости ради скажем, что поиск кратких и точных определений, да ещё в гуманитарной области, представляет собой чрезвычайно трудную, а быть может, и неразрешимую задачу. Тем не менее, постановка такой задачи неизбежна. По нашему глубокому убеждению, краткие, отчётливые, подобные математическим определения нужны хотя бы для того, чтобы стать объектом дальнейшего усовершенствования, даже если в процессе анализа и обсуждения они подвергнутся метаморфозам или будут отвергнуты.

Методологическим фоном наших представлений об исследовательском обучении в школе служит определение науки: «Наука – сфера человеческой деятельности, функцией которой является выработка и теоретическая систематизация объективных знаний о действительности… Понятие науки включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и результат этой деятельности – сумму полученных к данному моменту научных знаний…» [18]. (Если не оговорено противное, то курсив в цитатах принадлежит автору. – А.Я.) Из этого определения вытекает естественное требование к математическому образованию: обучение математике должно быть ориентировано, причём одновременно и в равной мере, как на передачу системы математических знаний, так и на формирование умений и навыков исследовательской деятельности внутри математики.

Психологическим фоном наших представлений об исследовательском обучении в школе служат два положения: о «трёхсубъектности» педагогического процесса и о его субъектно-объектном дуализме. Первое из них означает, что в педагогическом процессе участвуют три субъекта: учитель, ученик, понимаемый как индивидуальный субъект, и класс, понимаемый как коллективный субъект. Второе положение означает, что каждый из участников одновременно является и субъектом педагогического процесса со своими ценностями, приоритетами, целями и проч., и объектом воздействия со стороны других участников. Успешность процесса обучения в целом обусловлена адекватностью целенаправленных действий каждого участника-субъекта, восприимчивостью каждого участника-объекта к внешним воздействиям и правильной реакцией каждого участника на внешние воздействия. Такая точка зрения излагалась автором в ряде работ, например, в диссертации [32] или статье [45].

Мы рискнём и сразу сформулируем наши взгляды на исследовательское обучение математике в школе. Они будут выражены в виде двух определений и их последующего обсуждения.

Определение 1. Обучение математике в школе называется исследовательски ориентированным, если оно предоставляет следующие возможности:

1) приобрести первоначальный опыт использования общенаучных методов исследования;

2) приобрести первоначальный опыт использования тех конкретных умственных действий, которые производят математики-исследователи;

3) приобрести представление об элементах методологии математики;

4) приобрести первоначальный опыт полномасштабного личного исследования в области математики.

Определение 2. Обучение математике конкретного школьника называется исследовательским, если в отношении этого школьника реализована каждая из возможностей, перечисленных в определении 1.

Дадим некоторые пояснения, касающиеся взаимосвязей этих двух определений и детализирующие первое из них.

Начнём с того, что отметим очевидное, но важное обстоятельство: определяемые объекты различны, хотя и родственны друг другу. Исследовательски ориентированное обучение существует как возможность, предоставляемая школой, и как каждая возможность, она может быть использована, не использована или использована частично. В отличие от этого, исследовательское обучение представляет собой уже реализованную возможность. Например, исследовательски ориентированное обучение класса может быть исследовательским по отношению к ученику NN и не быть таковым по отношению к ученику XX.

Отметим менее очевидное, но не менее важное обстоятельство: обсуждаемые виды обучения относятся к разнотипным субъектам. Согласно определению 1, исследовательски ориентированное обучение математике осуществляется в школе, то есть касается не только того или иного индивидуального субъекта, но и коллективного субъекта – класса в целом. В отличие от этого, исследовательское обучение всегда относится к конкретному школьнику, наделённому, как правило, теми или иными позитивными качествами: математическими способностями, интересом к творчеству, любознательностью и т.п.

Отмеченные обстоятельства влекут за собой ряд следствий.

Во-первых, обучение класса в целом вряд ли может быть исследовательским, даже если исследовательская ориентация обучения грамотно спланирована и удачно реализована. Планирование «суперрезультата» было бы нереалистичным и главное – ненужным, поскольку интересы бо́льшей части класса либо лежат вне математики, либо просто не сформированы. Другое дело – предоставление возможностей. Конкретный учитель реализует эти возможности в той форме и в том объёме, который адекватен потребностям и способностям класса. Конкретный ученик реализует их в той форме и в том объёме, который адекватен его личным потребностям.

Во-вторых, перечисляя возможности исследовательски ориентированного обучения, мы говорим обо всём очень осторожно: опыт личного исследования первоначальный, а не обширный или многосторонний; представление об отдельных элементах методологии математики, а не о методологии в целом и тем более не о регулярном изучении методологии; и т.д. Такой подход является гибким и предоставляет учителю возможности уровневой дифференциации в реализации исследовательской ориентации обучения. Кроме того, он позволяет избежать погони за предписанным и, быть может, недостижимым результатом, позволяет избежать имитации исследовательской деятельности вместо реальной деятельности.

В-третьих, обсуждаемые виды обучения должны охватывать как регулярные, повседневные уроки, так и внеурочную творческую деятельность учащихся. Без исследовательски ориентированных заданий, предлагаемых классу в целом, невозможно выявить учащихся, предрасположенных к занятиям математикой. Без творческих заданий, выполняемых во внеучебное время, невозможно приобрести личный опыт исследовательской деятельности.

В-четвёртых, и это главное, исследовательски ориентированное обучение должно охватывать весь период обучения в школе. Оно не может закончиться в 9-м классе, потому что у школьника не будет возможности провести полномасштабное личное исследование в области математики. Оно не может начаться в 10-м классе и состоять из подготовки к конференции или из выполнения проекта, потому что дефицит времени не позволит познакомиться ни с общенаучными методами исследования, ни с элементами методологии математики. Для организации исследовательски ориентированного обучения важны все педагогические ресурсы: младшие, средние и старшие классы школы, урочная и внеурочная деятельность, наблюдение за действиями учителя и личные действия…

Поясним теперь, что подразумевается под отдельными пунктами определения 1.

Говоря об общенаучных методах исследования, мы имеем в виду их канонический набор: анализ и синтез; конкретизацию, обобщение и абстрагирование; индукцию и дедукцию; аналогию; сравнение; классификацию. Добавим сюда два естественнонаучных метода – наблюдение и эксперимент, которые стали доступны на уроках математики благодаря появлению интерактивных математических сред. Заметим, что никакой список такого рода не является полным, так что учителю придётся сознательно ограничить себя неким педагогически целесообразным перечнем.

Говоря об умственных действиях математика-исследователя, мы руководствуемся здравым смыслом и, в качестве фона, сведениями из истории математики. Очевидно, что математики формулируют новые задачи, причём как для себя лично, так и для математического сообщества. Очевидно также, что они решают задачи. В процессе решения им приходится формулировать гипотезы, которые после проверки их истинности либо отвергаются, либо приобретают статус теорем. Попросту говоря, математики формулируют и доказывают теоремы. Процесс решения сложной задачи редко бывает неделимым, «атомарным» актом, поэтому математикам приходится отыскивать последовательности вспомогательных задач. Обобщённо говоря, им приходится планировать свою деятельность. Наконец, математикам приходится изобретать новые определения для обозначения и формализации тех явлений, с которыми им приходится сталкиваться. Повторимся: никакой список умственных действий математика-исследователя не является полным, так что учителю придётся сознательно ограничить себя неким педагогически целесообразным перечнем.

Говоря о методологических знаниях, мы налагаем на них требование минимальной достаточности. С одной стороны, они должны быть достаточными, то есть давать представление о методологии математики, адекватные уровню первоначального знакомства с ними. С другой стороны, из всех возможных достаточных наборов знаний следует выбрать тот из них, который минимален по объёму и наиболее прост по содержанию. Речь может идти об общих свойствах математики, не зависящих ни от области математических исследований, ни от уровня исследований, ни от исторического периода развития математики. Перечни таких свойств могут быть различными. Мы будет ориентироваться на простую систему из четырёх дуалистических свойств математики, изложенную в работах [33] или [40]. Там же приведено теоретическое обоснование каждого из них и показана возможность их использования для конструирования конкретных педагогических сценариев.

Математике присущ деятельностно-продуктивный дуализм.Это означает, что понятие математики включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и продукт этой деятельности – сумму полученных к данному моменту математических знаний.

Математике присущ эмпирико-теоретический дуализм источников её развития. Это означает, что существует два типа движущих идей современной математики: идеи естественнонаучного, эмпирического происхождения и теоретические идеи, появившиеся внутри математики.

Математике присущличностно-социальный дуализм. Это означает, что имеют место несколько дополняющих друг друга фактов: (а) каждый математический результат изобретается лично тем или иным конкретным математиком; (б) математика может существовать только благодаря наличию особого социального института – научного сообщества; (в) изобретённый результат становится фактом науки только в результате его принятия научным сообществом; (г) процесс принятия нового результата включает в себя обмен информацией о содержании нового результата и различные виды экспертных оценок.

Математике присущ индуктивно-дедуктивный дуализм. Это означает, что природа умозаключения в математике является одновременно и индуктивной, и дедуктивной. Интуиция, основанная на индуктивных умозаключениях, служит средством первичного получения результата, а логика, основанная на дедукции, служит средством его строгого обоснования.

Говоря о личном опыте математического исследования, мы подразумеваем решение учащимся серьёзной математической задачи с последующим сообщением на конференции школьников, разработку проекта в области математики или прикладной математики, постановку математического эксперимента и т.д. Попросту говоря, мы говорим о буквальной реализации пункта 4 определения 1.

Итак, если руководствоваться определениями 1 и 2, то организация исследовательского или исследовательски ориентированного обучения математике в школе превращается в объёмную, сложную и серьёзную педагогическую задачу. Как каждая серьёзная задача, она порождает ряд отрезвляющих вопросов. Разрешима ли эта задача хотя бы в принципе? Если да, то не окажется ли процесс решения чересчур затратным, не потребует ли он чрезмерного напряжения сил учителя или большинства школьников? Как согласуются высокие цели и существующий стандарт образования, достаточно бедный? Как преобразовать материал школьных учебников к той форме, которая будет формировать у учащихся исследовательские умения?...

К счастью, ответы на эти и подобные им вопросы являются положительными, и в основной части книги мы попытаемся доказать это. К счастью, и содержание многих школьных учебников, и практика их использования во многом являются исследовательски ориентированными, хотя и не декларируют это в явной форме.

Структура книги

Три главы книги относятся к начальной школе, основной школе и полной средней школе соответственно.

В первой главе показано, что многие учебники по математике позволяют без специальных усилий реализовать некоторые из тех возможностей, о которых говорится в определении исследовательски ориентированного обучения. Так, некоторые учебники для начальных классов активно приобщают школьников к применению общенаучных методов исследования.

Во второй главе предложена система педагогических сценариев, с помощью которых целый ряд теорем и определений может быть повторно, вслед за классиками, изобретён учащимися. При описании этих сценариев мы руководствовались двумя требованиями: а) теорема или определение должны быть выбраны из базового, регулярного курса школьной математики; б) описание сценария должно содержать способ переработки традиционного сценария, предусмотренного учебником, в продуктивный сценарий нужного нам типа. Мы надеемся, что применение предлагаемого нами способа дидактической обработки математического материала будет использовано читателями в отношении других теорем и определений школьного курса.

В третьей главе предложено описание некоторых больших проектов, выполненных школьниками под руководством автора. В этом описании предпринята попытка не только представить конечный математический результат, но и описать процесс его получения, отделив педагогическую работу руководителя от математической работы исполнителя.

В Приложении описаны базовые утверждения экспериментально-теоретического стиля преподавания и изучения математики. Рассмотрение экспериментального компонента математики оказалось необходимым в связи с тем, что многие классические результаты школьного уровня были получены экспериментальными методами.

Глава 1

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ КОМПОНЕНТ

ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ МАТЕМАТИКИ

Вопросы преподавания важны прежде всего сами по себе, а затем и по другим причинам: размышлять о том, каким образом лучше всего внедрить новые понятия в девственный ум ребёнка, – значит в то же время размышлять о том, каким образом эти понятия были приобретены нашими предками; значит, следовательно, размышлять об их истинном происхождении, а это, по существу, значит размышлять об их истинной природе.

А. Пуанкаре

В главе показано, что школьные учебники по математике насыщены упражнениями, выполнение которых заставляет учащихся активно применять общенаучные методы исследования. Появившись в первом классе, такие упражнения на протяжении ряда лет составляют педагогически значимое множество. Выработанные в процессе их решения умения и навыки являются одной из основ успешного овладения математикой в старших классах и первым шагом в реализации исследовательской ориентации обучения

Методы научного исследования

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 343; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!