Двухосное напряженное состояние

Напряженное состояние в точке. Виды напряженного состояния.

Общий случай напряженного состояния в точке. Как было отмечено ранее, напряженное состояние в точке твердого тела может быть представлено в виде элементарного параллелепипеда, на гранях которого действуют по три компонента напряжений: два касательных и одно нормальное (рис. 4.1,а). Этот малый элемент вырезан в окрестности некоторой точки объемного твердого тела. Напомним, что напряжения на площадках этого бесконечно малого элемента получены путем разложения векторов полного напряжения, действующих на эти площадки по трем направлениям.

Рис. 4.1. К понятию о главных напряжениях и главных площадках

На рис. 4.1, а изображены положительные нормальные и касательные напряжения.

Правило знаков для нормальных напряжений: нормальные напряжения считаются положительными, когда они направлены от граней (площадок) элементарного параллелепипеда, т.е. вызывают растяжение.

Правило знаков для касательных напряжений: касательные напряжения считаются положительными в двух случаях: 1) если нормаль к площадке направлена в положительную сторону соответствующей оси и само напряжение направлено в положительном направлении по отношению к оси; 2) если нормаль к площадке направлена против соответствующей оси и само напряжение ориентировано против соответствующей оси.

На рис. 4.1, а видно, что в общем случае напряженного состояния в точке твердого тела имеем девять напряжений – три нормальных напряжения s_x, s_y и s_z и шесть касательных напряжений t_xy, t_yx, t_xz, t_zx, t_yzи t_z_y.

Закон парности касательных напряжений. Напишем уравнение равновесия моментов относительно оси Oy (SM_y = 0):

Отсюда получаем, что t_xz= t_zx. Записывая уравнения равновесия моментов относительно осей Ox и Oz, можно показать, что t_xy = t_yx и t_yz = t_zy, т.е. касательные напряжения, действующие на смежных гранях, будут попарно равны. Это положение формулируется в виде закона парности касательных напряжений.

Закон парности касательных напряжений: на смежных гранях элементарного параллелепипеда касательные напряжения равны и направлены к общему ребру или от него. Таким образом, число напряжений в точке твердого тела уменьшилось до шести: s_x, s_y, s_z, t_xy, t_xz и t_yz.

Главные напряжения. Вращая элементарный параллелепипед вокруг трех осей можно добиться такого положения, при котором на его гранях будут действовать только нормальные напряжения (рис. 4.1, б), т.е. вектора полного напряжения окажутся перпендикулярными к его граням. Эти напряжения называются главными и обозначаются s₁, s₂ и s₃, причем полагается, что s₁ ³ s₂ ³ s₃, т.е. s₁ = s_max – максимальное нормальное напряжение в точке, а s₃ = s_min – минимальное.

Грани малого элемента, на которых действуют главные напряжения, называются главными площадками. Способы определения главных напряжений и их направлений в общем случае напряженного состояния в точке рассматриваются в курсе «Теория упругости» и выходят за рамки настоящего учебника.

Экстремальные касательные напряжения. Касательные напряжения, действующие на гранях малого элемента, будут также изменяться в зависимости от положения элементарной площадки. В курсе «Теория упругости» доказывается, что если площадка займет положение под углом 45^о к первой и третьей главным площадкам (рис. 4.1, в), на ней будут действовать экстремальные касательные напряжения, которые можно найти по формуле

(4.1)

Трехосное, двухосное и одноосное напряженные состояния. Трехосное напряженное состояние представлено на рис. 4.1, б и характерно тем, что все три главных напряжения (s₁ ³ s₂ ³ s₃) не равны нулю.

При двухосном напряженном состоянии одно из трех главных напряжений равно нулю (s₃ = 0), а два других (s₁³s₂) не равны нулю.

Одноосное напряженное состояние возникает, когда два из главных напряжений равны нулю, а третье не равно нулю: s₃ = 0, s₂ = 0, s₁¹0. Именно одноосное напряженное состояние имеет место при растяжении или сжатии прямого стержня, которое рассматривалось ранее.

Двухосное напряженное состояние

При двухосном напряженном состоянии одно из трех главных напряжений равно нулю, а два других не равны нулю, т.е. s₃= 0, s₁¹ 0, s₂¹ 0. В общем случае, при двухосном напряженном состоянии на четырех гранях бесконечно малого элемента, выделенного в окрестностях точки, действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 4.2). Принято разделять двухосное напряженное состояние на обобщенное плоское состояние и плоскую деформацию. Обобщенное плоское напряженное состояние, которое мы и будем рассматривать, возникает в тонких плоских телах, загруженных в их плоскости. Например, пластина, загруженная силами в ее срединной плоскости или стенка двутавра при изгибе находятся в условиях обобщенного плоского состояния.

Рис. 4.2. Двухосное напряженное состояние

Чтобы каждый раз не изображать малый элемент в общем виде, как показано на рис. 4.2 слева, его рисуют в упрощенном виде, как это представлено на рис. 4.2 справа. Размеры этого элемента: в плоскости страницы dx иdy, а толщина его b равна толщине пластины.

Закон парности касательных напряжений. Для двухосного напряженного состояния закон парности касательных напряжений выражается равенством t_xy= t_yx, т.е. на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по величине и направлены в противоположные стороны (вращают элемент в противоположных направлениях).

Правило знаков напряжений. Правило знаков для нормальных и касательных напряжений уже обсуждалось при рассмотрении трехосного напряженного состояния в предыдущем разделе. Напомним, что нормальные напряжения положительны, когда они вызывают растяжение (направлены от площадки). На площадке, внешняя нормаль к которой совпадает с положительным направлением оси, касательное напряжение считается положительным, если оно также направлено по соответствующей оси. Все показанные на рис. 4.1,а напряжения имеют знак «+».

Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 1752; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!