Основы математического анализа
Дисциплина “ Математика ”
Вопросы для подготовки к экзамену
Семестр
Комплексные числа
1.1. Мнимая единица. Комплексные числа в алгебраической форме. Основные понятия: вещественная, мнимая части, комплексно-сопряженные числа, взаимно - противоположные числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
1.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
1.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
1.4. Формулы Эйлера.
1.5. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
1.6. Действия над комплексными числами в показательной форме.
Основы линейной алгебры
2.1. Определители второго и третьего порядка, их вычисление.
2.2. Определители n–порядка. Дополнительный минор, алгебраическое дополнение. Формула Лапласа разложения определителей по элементам строки или столбца.
2.3. Свойства определителей.
2.4. Понятие матрицы, размерность и порядок матрицы. Основные виды матриц (нулевая, единичная, диагональная, треугольная, трапециевидная, транспонированная). Особенная и неособенная матрица.
2.5. Операции над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.
2.6. Понятие обратной матрицы, ее нахождение. Обратимая и необратимая матрица.
2.7. Ранг матрицы, его свойства и вычисление.
2.8. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия: однородная и неоднородная система, решение системы, совместная и несовместная система, неопределенная и определенная система, матрица и расширенная матрица системы.
|
|
|
2.9. Исследование линейных алгебраических систем на совместность. Теорема Кронекера – Капелли. Исследование систем n уравнений с n неизвестными. Следствие для однородных систем.
2.10. Методы решения линейных алгебраических систем: Крамера, матричный, Гаусса; возможности применения этих методов.
Элементы векторной алгебры
3.1.Понятие вектора. Коллинеарные, ортогональные, компланарные, равные векторы. Нуль – вектор.
3.2.Операции над векторами в геометрической форме: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Свойства этих операций.
3.3.Общее понятие линейного (векторного) пространства. Понятие линейной зависимости и независимости векторов. Базис и размерность пространства.
3.4.Пространства R2 и R3. Координаты вектора в произвольном (аффинном) и ортонормированном базисе. Разложение вектора в аффинном базисе (в геометрической и координатной форме). Действия над векторами в координатной форме.
3.5.Нахождение координат вектора по координатам начала и конца. Нахождение длины и направления вектора в пространстве.
|
|
|
3.6.Проекция вектора на ось. Свойства проекции.
3.7.Скалярное произведение векторов: определение, механический смысл, алгебраические и геометрические свойства, применения в механике и геометрии, вычисление в декартовых координатах.
3.8.Векторное произведение векторов: определение, механический смысл, алгебраические и геометрические свойства, применения в механике и геометрии, вычисление в декартовых координатах.
3.9.Смешанное произведение векторов: определение, геометрический смысл, свойства, применение в геометрии, вычисление в декартовых координатах.
Элементы аналитической геометрии
4.1.Предмет аналитической геометрии. Декартова система координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Простейшие задачи аналитической геометрии: расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении.
4.2.Прямая линия на плоскости: основные виды уравнений (общее, с угловым коэффициентом, в отрезках, каноническое, параметрическое, неполные). Угол между прямыми, условия коллинеарности и ортогональности. Расстояние от точки до прямой.
4.3.Кривые второго порядка на плоскости:
4.3.1. Окружность: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение.
|
|
|
4.3.2. Эллипс: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение, эксцентриситет и его смысл, директрисы. Эллипс со смещенным центром.
4.3.3. Гипербола: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение, асимптоты, эксцентриситет и его смысл, директрисы. Сопряженная гипербола. Гипербола со смещенным центром.
4.3.4. Парабола: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение. Парабола со смещенной вершиной.
4.4.Полярные координаты на плоскости. Различные способы задания линий.
4.5.Плоскость в пространстве: основные виды уравнений (общее, неполные, в отрезках, по трем точкам, нормированное). Основные способы получения уравнения плоскости, построение плоскостей. Угол между плоскостями. Условия коллинеарности и ортогональности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
4.6.Прямая в пространстве: основные виды уравнений (общее, канонические, параметрические по двум точкам). Основные способы получения уравнения прямой. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду. Угол между прямыми, условия коллинеарности и ортогональности прямых.
4.7.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Условия коллинеарности и ортогональности прямой и плоскости. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости, точка пересечения прямой и плоскости.
|
|
|
Основы математического анализа
5.1.Понятие переменной и постоянной величины. Понятие функции: область определения и образ функции. Способы задания функции. Графики и свойства основных элементарных функций.
5.2.Классификация функций. Понятия сложной и обратной функции.
5.3.Функции, заданные параметрически и в полярной системе координат, построение их графиков.
5.4.Метод сдвига и деформации при построении графиков.
5.5.Характеристика поведения функции: четность и нечетность, непрерывность, периодичность, монотонность, ограниченность и неограниченность. Экстремумы функции. Схема исследования функции.
5.6.Понятие предела переменной величины, предел последовательности и функции в точке. Свойства пределов, вытекающие из определения.
5.7.Геометрическая интерпретация пределов. Асимптоты.
5.8.Бесконечно малые, бесконечно большие, их связь и свойства. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Цепочка эквивалентных б. м.
5.9.Предельный переход в неравенствах. Лемма Гурьева (теорема “о двух милиционерах”).
5.10. Основные теоремы о пределах.
5.11. Математические неопределенности и методы их раскрытия.
5.12. Первый и второй замечательные пределы.
5.13. Различные определения непрерывности функции в точке. Непрерывность на множестве. Классификация точек разрыва.
5.14. Арифметические свойства непрерывных функции.
5.15. Теоремы о непрерывности сложной и обратной функции.
5.16. Теорема о сохранении знака непрерывности функции.
5.17. Свойства функций, непрерывных на отрезке:
5.16.1. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности;
5.16.2. Теоремы Коши о промежуточных значениях. Метод половинного деления решения уравнения f (x) = 0.
5.18. Асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные, наклонные и их нахождение.
Дата добавления: 2018-10-25; просмотров: 110; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!