Содержание и оформление контрольных работ
Министерство образования и науки Российской Федерации
Кубанский государственный технологический университет
(КубГТУ)
Кафедра общей математики
МАТЕМАТИКА
Часть 2
Методические указания по изучению дисциплины для студентов МИППС заочной формы обучения направлений подготовки
19.03.04 – 2-е высшее (5 лет)
Краснодар
2014
Составители:доц.Терещенко И.В.;
ст.препод. Иващенко Н.Г.;
ст.препод. Лисянская В.Н.
УДК 517
Математика. Часть 2: метод. указания по изучению дисциплины для студентов МИППС заочной формы обучения направлений подготовки 100100.62 и 260100.62 /Сост.: И.В. Терещенко, Н.Г. Иващенко, В.Н. Лисянская; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. Общей математики. – Краснодар: Изд. КубГТУ, 2014. – 20 с.
Изложена программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету, рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольной работы.
Ил. 1. Библиогр.: 6 назв.
Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета
Рецензенты: канд. техн. наук, доц. кафедры ОМ КубГТУ А.В. Братчиков;
д-р. техн. наук, проф. кафедры ТЖКиЭТ КубГТУ
Е.О. Герасименко
ã КубГТУ, 2014
|
|
|
Содержание
| 1 Инструкция по работе с методическими указаниями……..…….4 | 4 |
| 2 Программа дисциплины ……………………………...……4 | 4 |
| 4 Темы практических занятий …………………………….…5 | 5 |
| 5 Содержание и оформление контрольных работ ………..………5 | 5 |
| 6 Вопросы для подготовки к зачету …………...… ………….….12 | 6 |
| 7 Задания на контрольную работу № 1 …….………..…….…..13 | 7 |
| Список рекомендуемой литературы ………………………..….20 | 1 |
Инструкция по работе с методическими указаниями
В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.
Пример
Литература: [2, гл. 2, c. 3–9], [4, c. 143–162],
где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы.
Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании.
|
|
|
Программа дисциплины
Тема 1. Определенный интеграл и его приложения
Тема 2. Дифференциальные уравнения.
Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие понижение порядка.
Линейные однородные ДУ второго порядка. Структура общего решения. Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Литература: [2, гл. 13, § 2–8, 16, 20, 21], [4, гл. 15, § 1–4].
Тема 3. Числовые и функциональные ряды.
Числовые ряды, их сходимость. Основные понятия и свойства. Необходимые условия сходимости. Остаток ряда. Свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения. Достаточные признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.
Функциональные ряды. Сходимость в точке, радиус сходимости и область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости и его вычисление. Интервал и область сходимости степенного ряда.
|
|
|
Литература: [4, гл. 14, § 1–5], [6, ч. 2, гл. 3, § 1–4].
Тема 5. Теория вероятностей и математическая статистика.
Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и операции над ними. Полная группа случайных событий. Классификация определения вероятности. Комбинаторика.
Свойства вероятностей. Теорема сложения. Статистическое определение вероятности. Условная вероятность. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Схема Бернулли повторных испытаний, наивероятнейшее число появлений событий. Локальная и интегральная предельные теоремы и их применение.
Случайные величины. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения непрерывной случайной величины, ее свойства, плотность вероятности и ее свойства. Нормальный закон распределения и его применение.
Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия, ее свойства.
Литература: [7, гл. 1: § 1–5, гл. 2 : § 1–3, гл. 3: § 1–5, гл. 4: §1–3, гл. 5 § 1, гл. 6: § 1, 2, гл. 7: § 1, 2]; [8, гл. 1 § 1, гл. 2 §1–4, гл. 3 § 1, гл. 4 §1,3].
Темы практических занятий
1. Функции нескольких переменных. Область определения, пределы, непрерывность. Частные производные первого и второго порядков. Экстремумы функции двух переменных.
|
|
|
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнения старших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Ряды Тейлора. Вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Нахождение решений дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
4. Классическая вероятностная схема. Условные вероятности. Независимость случайных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса. Повторные испытания. Формула Бернулли и формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа-Муавра. Дискретные и непрерывные случайные величины. Среднее значение и дисперсия. Элементы математической статистики. Выборка и ее представление. Выборочное среднее и выборочная дисперсия. Оценка параметров распределения по выборке.
Содержание и оформление контрольных работ
1. Требования к оформлению контрольных работ: контрольные работы выполняются в тетради (12 л.), на обложке необходимо указать номер контрольной работы, свой факультет, специальность, шифр зачетной книжки, номер варианта, свою фамилию, имя, отчество.
2. Требования к выполнению контрольной работы:
- при выполнении работы необходимо приводить основные теоретические моменты, промежуточные математические доказательства, методики, формулы, расчеты.
Решение типового варианта
Задание 1.Вычислить определенный интеграл.
Решение
Подстановка
Задание 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Решение
Интеграл сходится.
Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
Решение
Построим графики функций
Найдем точки пересечения графиков: (-1;-1,5) и (4;-6). Площадь фигуры вычисляется по формуле: 
Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=y0 при x=x0 :
Решение
;
Сделаем подстановку 
, тогда 
, подставим в исходное уравнение 
,приравняем выражение в скобке к нулю: 
, тогда 
Вынесем 
за скобку и разделим переменные в первом уравнении, получим
Подставляя значение 
во второе уравнение получим
Отсюда
Подставим в полученное решение начальные условия и найдем значение постоянной :
Задание 5. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y=y0 при x=x0 :
Решение:
.
Найдем решение 
однородного уравнения 
, для чего составим и решим характеристическое уравнение:
По корням характеристического уравнения составим общее решение однородного уравнения
Найдем 
- частное решение неоднородного уравнения. Так как среди корней характеристического уравнения есть -1, то частное решение будем искать в виде
подставим в уравнение частное решение и его производные
Приведя подобные, получим 
, следовательно 
Общее решение неоднородного уравнения будет:
Для нахождения решения, удовлетворяющего начальным условиям, найдем первую производную:
Подставляя в начальные условия 
и 
, найдем
Отсюда окончательно находим
Задание 6. Исследовать сходимость числового ряда 
.
Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда 
.
Решение:
Применим признак Даламбера: имеем 
, 
, 
. Тогда
.
Поэтому по признаку Даламбера ряд расходится.
Пример 2. Исследования сходимость числового ряда 
.
Решение
Применим интегральный признак Маклорена - Коши, составив функцию
.
Так как на интервале 
эта функция 
и с ростом 
монотонно убывает, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом:
.
Данный интеграл сходится, так как
,
поэтому сходится и данный ряд.
Задание 7. Найти интервал сходимости степенного ряда 
.
Найти интервал сходимости степенного ряда 
.
Выпишем коэффициенты ряда:
, 
.
Подставим их в формулу для радиуса сходимости степенного ряда:
.
Следовательно, ряд сходится для значений 
, удовлетворяющих неравенству 
. Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если 
, то получим обобщенный гармонический ряд 
, который сходится, так как 
.
Если 
, то получим знакопеременный ряд 
, который сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.
Задание 8. Решить задачу по теории вероятности.
Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, а вторым – 0,8. Найти вероятность того, что только один стрелок поразит цель.
Решение:
Пусть событие 
.
-вероятность поражения цели, 
- вероятность противоположного события, т.е. вероятность того, что стрелок не поразит цель. Тогда для первого стрелка 
, а для второго - 
.
Тогда по формуле вероятности появления только одного события
Пример 2. В студенческой группе 25 человек, из них 15 студентов и 10 студенток. Наугад выбирается делегация на студенческую конференцию в составе четырёх человек. Какова вероятность, что изберут двух студентов и двух студенток?
Решение:
Число способов выбрать четырёх человек в делегацию из 25 человек в группе равно числу сочетаний четырёх предметов из 25:
.
Аналогично находим число способов выбрать в делегацию двух студентов из 15:
и двух студенток из 10:
.
Следовательно, число способов выбрать делегацию из четырёх человек, в составе которой две студентки и два студента равно
.
Считая, что исходы выборов равновероятны, получаем вероятность такого выбора:
.
Пример 3. В автоколонне 10 автобусов. Вероятность того, что у автобуса на линии не будет поломок в течение одной смены, равна 
. Какова вероятность того, что в течение смены поломок не будет не менее чем у девяти автобусов?
Решение:
Вероятность того, что у 
автобусов не будет поломок в течение смены, определяется формулой Бернулли:
.
Тогда искомая вероятность равна 
или
Пример 4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,7. Производится три выстрела. Найти закон распределения, М(Х), D(X) числа попаданий в цель.
Решение:
Вероятности числа попаданий в цель подчиняются биномиальному закону 
Искомый закон распределения:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 0,027 | 0,189 | 0,441 | 0,343 |
Найдем математическое ожидание и дисперсию:
Закон распределения 
| 0 | 1 | 4 | 9 |
|
| 0,027 | 0,189 | 0,441 | 0,343 |
Задание 9. Для функций, заданных в таблице, полагая эту зависимость линейной, установить ее аналитическую форму по методу наименьших квадратов.
Пример: Результаты измерений величин X и Y даны в таблице.
| X | -2 | 0 | 1 | 2 | 4 |
| Y | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 3 |
Если считать, что между X и Y существует приближенная линейная зависимость,
то есть Y=AX+B,то коэффициенты А и В найдем по формулам:
Здесь n=5.
Нормальная система примет вид
Решая эту систему по формулам Крамера, получим А=0,425; В=1,175; Y= 0, 425 X +1,175
Вопросы для подготовки к экзамену
1. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
2. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
3. Приложения определенного интеграла.
4. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.
5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
8. Уравнения старших порядков, допускающие понижение порядка.
9. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
10. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
11. Бесконечные числовые ряды. Сходимость. Сумма числового ряда.
12. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
13. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
14. Функциональные ряды. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
15. Основные понятия теории вероятности. Случайные события.
16. Вероятность случайных событий. Основные соотношения между вероятностями событий.
17. Классическая вероятностная схема. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической вероятностной схеме.
18. Условные вероятности. Формулы умножения вероятностей. Независимость случайных событий.
19. Формула полной вероятности и формула Байеса.
20. Повторные испытания. Формула Бернулли и формула Пуассона.
21. Локальная и интегральная теоремы Лапласа-Муавра.
22. Случайные величины и их классификация. Функция распределения вероятностей.
23. Дискретные случайные величины. Среднее значение и дисперсия.
24. Непрерывные случайные величины. Среднее значение и дисперсия.
25. Элементы математической статистики. Выборка и ее представление. Полигон и Гистограмма.
26. Числовые характеристики выборки. Выборочное среднее и выборочная дисперсия. Оценка параметров распределения по выборке.
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 213; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!