Методы построения математических моделей
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Моделирование - процедура получения информации об управляемом объекте из информации о воздействиях и информации о состояниях, а также исследования информации об управляемом объекте.
Моделирование как способ исследования существующих в природе объектов представляет собой цепь из чередующихся вопросов и ответов, экспериментов - вопросов к природе и моделей - ответов природы экспериментатору.
В процессе моделирования происходит абстрагирование (мысленное отвлечение) от ряда несущественных свойств объекта в целях выделения наиболее существенных, а также образования новых абстрактных понятий. Ограничения и допущения, применяемые при построении и использовании каждой модели, являются ее составной частью.
Моделирование включает в себя четыре основных этапа:
1) разработку гипотезы о виде и размере модели (формулирование вопроса к природе);
2) планирование эксперимента (шифрование вопроса);
3) контроль состояния управляемого в эксперименте объекта (фиксирование экспериментатором ответа природы);
4) параметрическую идентификацию модели управляемого объекта, включающую в себя обработку опытных данных (расшифровку ответа).
Информация об управляемой системе
Информация об управляемом объекте представляется в виде математической модели управляемого объекта. Математическая модель - наиболее удобный заменитель объекта в системе управления, имеющий с этим объектом общие наиболее существенные свойства. Математическая модель представляет собой систему математических соотношений между параметрами и факторами, а также ограничения на них.
|
|
|
По способу получения математические модели делятся на теоретические и эмпирические.
Теоретические математические модели - модели, получаемые путем логического анализа и формализации общих закономерностей управляемого объекта.
Эмпирические математические модели - модели, получаемые путем аппроксимации (приближения) функций, характеризующих управляемый объект, наиболее употребительными функциями.
Теоретические модели могут быть заданы конечными алгебраическими или трансцендентными уравнениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями и дифференциальными уравнениями в частных производных.
Виды эмпирических моделей более разнообразны. Наиболее часто применяются простые алгебраические уравнения.
По степени изменчивости управляемого объекта математические модели делятся на статические и динамические.
Статические математические модели - модели, не учитывающие фактор времени.
Динамические математические модели - модели, учитывающие фактор времени.
|
|
|
Статические математические модели применяются для описания стационарных процессов в управляемых объектах, то есть процессов, параметры которых не обнаруживают существенных изменений с течением времени.
Динамические математические модели применяются для описания нестационарных процессов в управляемых объектах, то есть процессов, параметры которых закономерно изменяются с течением времени.
По степени стабильности управляемого объекта математические модели делятся на детерминированные и стохастические.
Детерминированные математические модели - модели, в которых параметры управляемого объекта являются определенными величинами, то есть в разных случаях приобретают одни и те же значения.
Стохастические математические модели - модели, в которых параметры управляемого объекта являются случайными величинами, то есть в разных случаях приобретают различные значения.
Стохастические математические модели применяют для описания случайных процессов, параметры которых являются случайными функциями.
По форме математические модели делятся на полиномиальные и мультипликативные.
Полиномиальные математические модели - модели, представленные в виде суммы одночленов различных степеней. Например, линейные, квадратные, кубические и другие.
|
|
|
Мультипликативные математические модели - модели, представленные в виде произведения степенных, экспоненциальных и экспоненциально-степенных функций.
По степени исследованности управляемого объекта математические модели делятся на три группы:
1. Теоретические модели достаточно исследованных объектов известной структуры с известными параметрами. Эти математические модели готовы к непосредственному использованию в системе управления.
2. Теоретические и эмпирические модели недостаточно исследованных объектов известной структуры с неизвестными параметрами. Математические модели этой группы получают путем параметрической идентификации.
3. Эмпирические модели неисследованных объектов неизвестной структуры с неизвестными параметрами. Такие математические модели получают путем идентификации с использованием принципа "черного ящика".
На практике чаще всего применяют идентифицируемые математические модели (2-го или 3-го типа).
|
| Математические модели |
| |||||||||
|
| |||||||||||
| Теоретические | Эмпирические | ||||||||||
|
| |||||||||||
| Известной структуры | Неизвестной структуры | ||||||||||
|
| |||||||||||
| С известными параметрами | С неизвестными параметрами | ||||||||||
Рис. 4. Виды математических моделей
Математические модели должны удовлетворять следующим требованиям:
· Адекватность. Наиболее существенные свойства модели и управляемого объекта должны быть тождественны.
· Изоморфность. Форма описания всех параметров управляемого объекта должна быть одинаковой.
· Полнота. Модель должна содержать все управляющие факторы и все обуславливаемые параметры управляемого объекта, необходимые для решения задачи управления.
· Надежность. Модель должна оставаться справедливой на протяжении всего отрезка времени, на котором решается задача управления.
Методы построения математических моделей
Теоретические модели получают в результате логического анализа и формализации общих закономерностей исследуемого процесса. В основу метода построения теоретических моделей входят логическое обобщение имеющихся фактов и логический вывод результатов из небольшого числа основных принципов, законов и гипотез.
Использование аппарата математики и логики дает возможность понять внутреннюю структуру объекта исследования и повысить уровень достоверности знания о природе объекта.
Взаимосвязь и взаимозависимость различных величин, характеризующих разные по своей природе процессы, выражаются с помощью математических функций, полученных в результате математических преобразований.
Процесс подбора эмпирической формулы для устанавливаемой в эксперименте зависимости R = f(z) состоит из двух процедур: подбора вида формулы и установления численных значений ее параметров, для которых приближение к этой формуле оказывается наилучшим.
Если нет каких-либо соображений для подбора вида формулы, то выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиком идентифицируемой функции.
При рассмотрении графиков следует иметь в виду, что при пользовании эмпирическими формулами используется лишь часть кривой, соответствующая некоторому интервалу изменения аргумента.
К числу наиболее употребительных функций, применяемых при моделировании, относятся линейные, квадратные, кубические, степенные, экспоненциальные и экспоненциально-степенные.
Могут быть рекомендованы:
а) линейные полиномиальные модели
;
б) квадратные полиномиальные модели
;
в) кубические полиномиальные модели
;
г) экспоненциальные мультипликативные модели
.
Экспоненциальные мультипликативные модели логарифмированием приводят к линейным полиномиальным моделям
;
д) степенные мультипликативные модели
.
е) экспоненциально-степенные мультипликативные модели
.
Экспоненциально-степенные мультипликативные модели логарифмированием приводят к линейным полиномиальным моделям
.
Для описания случайных величин используют различные функции распределения. Среди этих распределений: экспоненциальное, степенное, Гнеденко и другие.
Функция распределения F(x) - вероятность появления значения случайной величины, не превышающего некоторого заданного х.
Рис. 5. Графики наиболее употребительных функций
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 5194; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!