Раздел 4. Математическое обеспечение
Более подробная информация по данному разделу содержится в [1, 3, 4, 6].
В раздел 4 включены следующие темы:
4.1. Формы представления математических моделей.
4.2. Математические модели дискретных объектов и процессов
После изучения теоретического материала раздела 4 необходимо выпол-нить тренировочный тест №4. Ответы на тренировочный тест №4 находятся на с. 136. После выполнения тренировочного теста следует выполнить контрольный тест №4. Задание на контрольный тест студент получает у преподавателя либо на учебном сайте СЗТУ. Максимальное количество баллов, которое студент может получить за этот раздел, составляет 5 (за тестирование).
Тема 4.1. Формы представления математических моделей
Математическая модель технического объекта – совокупность математических объектов и отношений между ними, которая адекватно отражает свойства исследуемого объекта, интересующие исследователя (инженера).
Модель может быть представлена различными способами:
· инвариантная – запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели;
· аналитическая – запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели;
· алгоритмическая – запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма;
· схемная (графическая) – представление модели на некотором графическом языке (например, на языке графов; в виде эквивалентных схем, диаграмм и т. п.);
|
|
|
· физическая;
· аналоговая.
Наиболее универсальным является математическое описание процессов – математическое моделирование.
В понятие математического моделирования включают и процесс решения задачи на ЭВМ.
Математическая модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами. Математическая модель является математическим аналогом проектируемого объекта. Степень адекватности ее объекту определяется постановкой и корректностью решений задачи проектирования.
Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности.
Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров нужно выделить область адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей – сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат, которые быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться.
|
|
|
Универсальность – определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.
Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации – затратами машинного времени и памяти.
Противоречивость требований к модели - обладать широкой областью адекватности, высокой степенью универсальности и высокой экономичностью обусловливает использование ряда моделей для объектов одного и того же типа.
Получение моделей элементов в общем случае – процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера переменных параметров, принимает проектировщик. Методы получения функциональных моделей элементов делят на теоре-тические и экспериментальные.
Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели.
|
|
|
Экспериментальные методы основаны на использовании экспериментально полученных зависимостей, фиксируемых во время эксплуатации самих объектов или однотипных объектов.
Несмотря на эвристический характер многих операций моделирования, имеется ряд положений и приемов, общих для получения моделей различных объектов. В таком случае процедура получения математических моделей включает в себя следующие этапы:
· выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели, а также установление степени универсальности будущей модели;
· сбор исходной информации о свойствах моделируемого объекта (источниками сведений могут быть опыт и знания проектировщика, разрабатывающего модель; нормативно-справочная литература; результаты экспериментов);
· получение общего вида математических соотношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров (часто на данном этапе используется графическая форма представления модели);
|
|
|
· определение числовых значений параметров модели, этот этап может реализовываться применением специфических расчетных соотношений; реше-нием экстремальной задачи, в котором в качестве целевой функции выбирается степень совпадения известных значений параметров объекта с результатами использования модели; проведением экспериментов и обработкой полученных результатов;
· оценка точности полученной модели и определение области ее адекватности.
Математическое моделирование включает следующие шаги:
1. Выбор расчетной схемы и определение необходимой детализации;
2. Математическое описание (составление системы уравнений);
3. Выбор метода решения;
4. Приведение модели, включающей уравнения, метод, исходные данные и начальные условия, к виду, удобному для решения на ЭВМ;
5. Составление программы для ЭВМ;
6. Проведение расчетов (моделирование);
7. При необходимости повторить шаги 3 - 6;
8. Анализ результатов;
9. При необходимости повторить шаги 1 - 8;
10. Оформление отчета (описание, схемы, рисунки, графики, формулы);
11. При необходимости повторить шаги 1 - 10, 3 - 10, 8 - 10.
Вопросы для самопроверки по теме 4.1
1. Определение и состав математических методов.
2. Классификация математических моделей.
3. Понятия микро-, макро- и метауровней.
4. Основные формы представления моделей.
5. Этапы получения математических моделей.
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 370; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!