Применение градиентных методов для решения
Оптимизационных задач
Все задачи оптимизации можно условно разделить на одномерные и многомерные. В задачах одномерной оптимизации целевая функция является функцией одной переменной. Для задач этого типа существуют различные методы решения, и несмотря на простоту поставленной задачи, они занимают важное место в исследованиях как теоретической, так и практической направленности. Основными способами решения таких задач являются методы прямого поиска, то есть без использования производной исследуемой функции, и методы с использованием производной.
Для задач многомерной оптимизации также разработано множество различных методов, в частности, градиентные методы, основанные на использовании градиента целевой функции. К таким методам относятся метод сопряженных градиентов, методы Ньютона (основной и модифицированный), метод Коши. Последний метод по своему характеру является итерационным.
Пусть в некоторой точке множества исследуемых переменных требуется установить направление наибольшего локального уменьшения целевой функции. Разложим целевую функцию в окрестности точки в ряд Тейлора, отбросив члены второго и более высокого порядка, т.е.
Второе слагаемое определяет скалярное произведение, которое должно принимать наибольшую отрицательную величину, т.е.
Именно значение выбирается на каждой итерации.
Рассмотрим применение метода Коши для отыскания минимума функции
|
|
Пусть начальное приближение равно . Результаты каждой итерации сведем в таблицу.
1 | -1,245 | 2,121 | 24,231 |
2 | 0,143 | 0,151 | 0,354 |
3 | -0,021 | 0,032 | 0,005 |
4 | 0,002 | 0,002 | 0,000 |
Отсюда следует, что
Материал поступил в редколлегию 25.04.17
УДК 511.36
Ю.В. Горюшина
Научный руководитель: доцент кафедры «Высшая математика»,
к. ф.-м. н. Е.С. Золотухина
ПОЛУЧЕНИЕ ОЦЕНКИ МЕРЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЛА
Объект исследования: мера иррациональности числа .
Результаты, полученные лично автором: получена оценка меры иррациональности числа .
Для любого иррационального числа можно ввести характеристику того, насколько хорошо оно приближается рациональными числами.
Показателем иррациональности или мерой иррациональности называется нижняя граница чисел , таких, что для любого существует , такое, что неравенство выполняется для всех целых чисел , при . Точное значение меры иррациональности известно для немногих чисел.
Цель работы – получить оценку меры иррациональности числа .
Рассмотрим интеграл
, (1)
где N, .
Обозначим для N.
Свойство симметрии , которым обладает подынтегральная функция , позволяет получить представление интеграла (1) в виде линейной формы от 1 и с целыми коэффициентами
|
|
, где Z. (2)
С помощью замены интеграл приводится к виду
.
Используя формулу Эйлера ,
где – гипергеометрическая функция Гаусса, а также формулу Куммера , можно доказать лемму 1. Она позволяет уточнить знаменатель линейной формы (2).
Лемма 1. Пусть , N, ,
.
Тогда Z.
Далее применим для линейной формы (3) лемму М. Хата.
Лемма 2 [М. Хата]. Пусть N, R – иррационально, , где Z, , , , тогда .
Имеем , , .
Таким образом, .
Материал поступил в редколлегию 20.04.17
УДК 519.111
Е.А. Забавникова
Научный руководитель: доц. каф. «Высшая математика»
Н.А. Хасанова
katerina_zabava@mail.ru
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ДВУХ НОРМАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Объект исследования: проверка гипотезы теории вероятностей.
Результаты, полученные лично автором: решены задачи, использующие данную гипотезу.
Пусть X - случайная величина, имеющая нормальный закон распределения X Î N /(µ; s 2 ), причем числовое значение дисперсии s 2 неизвестно.
Дать точный ответ на вопрос, каково числовое значение неизвестного параметра, можно обследовав всю генеральную совокупность, что сделать, как правило, нельзя. В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочную исправленную дисперсию, которая дает приближенное представление о числовом значении дисперсии s 2 .В качестве критерия проверки используют величину, которая зависит от выборочных данных ( S 2 ) и по значению которой можно судить о близости исправленной дисперсии к предполагаемому значению.
|
|
Критерий при выполнении гипотезы Н0 подчиняется распределению Пирсона (c 2 -распределение) с числом степеней свободы k = n -1 .
Задача: точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать 0,15. Выборочному контролю было подвергнуто 25 изделий и по результатам определена оценка дисперсии S2=0,25. Предполагается, что размер изделия - нормально распределенная случайная величина. Проверить гипотезу, что станок обеспечивает требуемую точность.
1. Принимаем . Назначаем α= 0,05 .
2. Согласно проверяемой гипотезе Н0 в основе проверки лежит критерий, имеющий распределение Пирсона с числом степеней числом степеней свободы k = n -1=25-1=24.
3. Согласно гипотезе критическая область W—правосторонняя. Нулевая гипотеза отвергается, станок не обеспечивает требуемой точности.
|
|
Материал поступил в редколлегию 24.04.2017
УДК 519.62
Г.А. Зубов, В.А. Писанка
Научный руководитель: доцент кафедры «Высшая математика»,
к.т.н. А.С. Васильев
grigoriy.zubov@mail.ru
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 203; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!