Дисперсия есептеу формулалары

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика 1. Комбинаторика элементтері. Жәшіктен шарлар таңдаудың әртүрлі схемалары. 2. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту формуласы. 3. Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары. 4. Тәуелсіз оқиғалар. Мысалдар. 5. Бернулли схемасы. Бернулли формулалары. Муавр –Лаплас теоремалары. Пуассон жуықтау формуласы. 6. Кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шаманың үлестірім заңы мен функциясы. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар. 7. Кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен дисперсиясы. Қасиеттері. 8. Ковариация. Корреляция коэффициенті. Қасиеттері. 9. Орталық шектік теорема. 10. Эмпирикалық үлестірім функциясы. Таңдамалық орта және таңдамалық дисперсия 11. Бағалар. Бағалардың сұрыптамасы (ығыстырылмағандық, тиянақтылық, эффективтілік). 12. Нормаль үлестірім параметрлері үшін сенімділік интервалдары. 1. Комбинаторика элементтері. Жәшіктен шарлар таңдаудың әртүрлі схемалары. n компонентті комбинация деп n-дік деп түрінде ашылып жазылатын элементін айтады. – бұл комбинациясының i-нші компоненті деп аталады. Теорема(комбинаториканың негізгі ережесі) n оң бүтін саны берілсін. түріндегі әртүрлі комбинациялардан тұратын Х жиыны беріліп, келесі шарттар орындалса: • Х жиынындағы барлық комбинацияларды қарастырғанда, олардың компоненті әр түрлі мән қабылдай алатын болса, (n.......... n-1) компоненттері бекітілген барлық комбинацияларды бөліп қарастырғанда, олардың компоненті әр түрлі мән қабылдай алатын болса, және саны -дің барлық бекітулерінде бірдей болса,онда берілген Х жиынындағы барлық комбинацияларының саны көбейтіндісіне тең болады. Қайталанымсыз комбинациялар. Бұл жағдайда бас жиынтықтан алынған элемент кері қайтарылмайды. Көлемі n-ге тең бас жиынтық алынған көлемі r-ге тең қайталанымсыз таңдамалардың сандарын табамыз. 2. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту формуласы. Сынақ жүргізу барысында қандай да бір А оқиғасының болуына В оқығасының болуы қалай әсер ететіні туралы сұрақ туындайды. Осы екі оқиғаның арасындағы байланысқа қарапайым мысалдар: В оқиғасының болуы А оқиғасының болуына міндетті түрде алып келеді немесе В оқиғасының болуы А оқиғасының болмауына алып келеді. Ықтималдықтар теориясында А және В оқиғаларының арасындағы байланыс шартты ықтималдық ретінде сипатталады. Ол P(A|B) А оқиғасы В оқиғасы орындалған кезде: P(A|B) = P(AB)/P(B) (1) Анықтама: - қандайда бір ықтималдық кеңістік . А,В – оқиғалар, . В орындалады деп ұйғарғандағы А оқиғасының шартты ықтималдығы деп санын айтады және оны деп белгілейді . Шартты ықтималдық қарапайым ықтималдық қасиеттерінің бәріне ие: · · Егер , · Егер , · Егер А қиылыспайтын А1 , А2 , А3... оқиғалардың бірігуі болса, онда 1-мысал. Қызыл және қара түсті екі ойын сүйегі бір мезгілде лақтырылады. а) түсетін ұпайлардың қосындысы 8 болу ықтималдығын табу керек б) қызыл сүйекте жұп ұпай түседі деп есептеп, түсетін ұпайлардың қосындысы 8 болу ықтималдығын қайта есепте Шешуі: А) - қызылда , - қарада түскен ұпай 6, , Ықтималдықтың классикалық анықтамасын қолданамыз б) , , , , , - В оқиғасы орындалады деп ұйғарғандағы А оқиғасының шартты ықтималдығы деп аталады Мұндағы А оқиғасының а) пунктіндегі есептелген ықтималдығы шартсыз ықтималдық деп аталады, ал б) пунктіндегі есептелген ықтималдығы шартты ықтималдық деп аталады. Ықтималдықтарды көбейту формуласы (1)-ден Сол сияқты Бұл формулалар екі оқиға үшін ықтималдықты көбейту формулалары деп аталады. А,В,С- үш оқиға үшін ықтималдықты көбейту формулаласы болады. - оқиғалары үшін ықтималдықты көбейту формулаласы 3. Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары. Анықтама: - ықтималдық кеңістік . А – оқиғасы берілген . Онда 1) 2) ø шарттарын қанағаттандыратын үшін (1) теңдеуі орындалады.(1)- толық ықтималдықтар формуласы . Жоғарыдағы шарттар орындалғанда (1) формуласымен қатар келесі формулада орындалады (2) (2) – Байес формуласы . Есептер шығарғанда сынақ және А оқиғасы есептің шарттарында беріледі. гипотезаларын сынақтың берілгеніне қарай өзіміз таңдаймыз.1-мысал. 25 емтихан билеттерінің бесеуі “жақсы ” . Екі студент бір-бір билеттен алады. Екінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығын табу керек. Шешуі: Сынақ- екі студенттің бірінен соң бірі бір-бір билеттен алуы . Оқиға- А={екінші студенттің “жақсы ” билет алуы } Гипотезалар ( көмекші оқиғалар ): ={бірінші студенттің “жақсы ” билет алуы } ={ бірінші студенттің “жақсы ” билет алмауы } - ? Бұларды толық ықтималдықтар формуласына қоямыз . , , ,

Мысал.

Жоғарыдағы сынақта екінші студенттің “жақсы ” билет алғаны белгілі болса, бірінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығы.

Шешуі: Байес формуласы бойынша шығады

4. Тәуелсіз оқиғалар. Мысалдар.

Н₁ оқиғасының ықтималдығы Р(Н₁)= , ал оның шартты ықтималдығы Р_А(Н₁) болca.

Мысал: Сынақ - 36 картадан кездейсоқ біреуін таңдау .

1) таңдалған карта 6-лық болу ықтималдығын табу керек,

2) таңдалған карта қара түсті екені белгілі болса, онда оның 6-лық болу ықтималдығын табу керек.

А={ таңдалған карта 6-лық болуы}

В={ таңдалған карта қара түсті болуы}

Р(А) = Р_В(А) , яғни А оқиғасының шартты, шартсыз ықтималдықтары тең болды.

Анықтама: (Ω,F,P)- ықтималдық кеңістік . А және В – оқиғалары беріліп Р(В)>0 болсын. Егер

Р(А) =Р_В(А) болса, онда А оқиғасы В оқиғасынан тәуелсіз дейді .

Мысал: А оқиғасы В оқиғасынан тәуелсіз болса, онда В оқиғасы А-дан тәуелсіз екенін дәлелдеу керек.

Сонымен, Р_В(А) = P(A) екендігі беріліп тұр. Бұдан, анықтама бойынша Р_В(А) = екендігін ескерсек,=>=Р(B)

Р_А(В)= Р(В) (**)

Бұдан тәуелсіздік ұғымы симметриялы екені шығады .

Р(АВ) = Р(А)∙Р(В) теңдігіне (*),(**) теңдіктері эквивалентті .

Тәуелділіктің эквиваленттік анықтамасын келесі түрде де беруге болады .

(Ω,F,P)- ықтималдық кеңістік . А және В – оқиғалары берілген. Егер Р(АВ) =Р(А)∙Р(В) орындалса , онда А , В оқиғалары ӛзара тәуелсіз деп аталады.

5. Бернулли схемасы. Бернулли формулалары. Муавр –Лаплас теоремалары. Пуассон жуықтау формуласы.

Екі қарапайым нәтижесі бар сынақ берілсін, яғни екі элементар оқиғасы бар. Бір элементар оқиғаны «1» арқылы белгілеп, «табыс» деп аталсын. Екінші оқиғаны «0» арқылы белгілеп, «сәтсіздік» деп аталсын. Сонда элементар оқиғалар кеңістігі

Ω={0;1}

P(1)=p (1)

P(0)=q, (0<p<1, q=1-p)

p саны табыс ықтималдығы деп, ал q – сәтсіздік деп аталады. (1) сынағын n рет тәуелсіз қайталау моделі:

ᴒ={ω=(a_1…a_n):a_i=0 немесе 1}

P(ω=( a_1, a_2…a_n))=P(c):..P (a₂):..P(a_n)=p^a₁^+a₂^{+…a_n∙qn-(a}₁^+a₂^+…a_n) (2)

(2) моделін Бернулли схемасы деп атайды. Сонымен Бернулли схемасы дегеніміз – екі нәтижелі сынақты n рет тәуелсіз қайталаудың моделі.

Теорема. (Бернулли формулалары). (2) моделіндегі әрбір ω=( элементар оқиғасы үшін болсын(табыстар саны). Онда ω= (a_1…a_n) (3) үшін

( n рет тәуелсіз қайталағанда дәл рет табыс шығуының ықтималдығы) үшін

( n рет тәуелсіз қайталағанда шыққан табыстар саны арасында болуының ықтималдығы)

Мысал .

Тиынды бес рет лақтырғанда үш рет гербтің түсу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. ЕНС моделі – тиынды бір лақтыру

Ω={0;1}

«1» - «герб»

«0» - «цифр»

Қайталау саны n=5

Табыстар саны

Онда (3) бойынша P₅(3)=C³₅∙( )³∙ ( )⁵= =

Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны

Бернулли схемасы үшін тәжірибені n рет қайталған кезде дәл k рет табыс болу ( оқиғасы) ықтималдылықтарының жиынтығы биномдық үлестірім (Көлемі n-ге тең таңдамадағы табыс санының биномдық үлестірімі) деп аталады.

Анықтама. k-ның функциясы ретінде ықтималдылығы ең үлкен мәнін қабылдайтын мәні ықтималды табыс саны деп аталады.

Анықтамадан және жоғарыда айтылғандардан мынадай қорытынды шығады: Егер (n+1)p бүтін сан болмаса,онда , мұндағы санының бүтін бөлігі; Егер де (n+1)p бүтін сан болса, онда ең ықтимал табыс саны екеу. және .

Бернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегі үшін:

а)бірде-бір рет табыс болмау;

б) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту

в) оның дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту

Р-ның мәні 0-ге не 1-ге мейлінше жуық болмағанда және жағдайда Лаплас формуласының жуық асимптотикалық формула болатынын көрдік. болған жағдайдың ерекше мәні бар. Бұл жағдайда мына теорема орын алады.

Пуассон теоремасы. А оқиғасының әрбір сынауда пайда болу ықтималдығы болса ( -тұрақты және п-нен тәуелсіз), онда өзара тәуелсіз п сынаудан құрылған серияда А оқиғасының дәл т рет пайда болу ықтималдығы

яғни ; мұндағы .

Бұл асимптотикалық формула өте сирек пайда болатын оқиғаларға тән заң. Мұны Пуассон формуласы немесе Пуассон заңы деп атайды.

6. Кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шаманың үлестірім заңы мен функциясы. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар.

Көптеген жағдайларда белгілі бір тұрақты заңдылықпен кездейсоқ нәтижелі сынақтың әрбір мүмкін болатын қарапайым нәтижесіне сан сәйкес қойылған болады.

Мысалдар: Екі ойын сүйегін лақтыру деген сынақта әрбір мүмкін болатын нәтижеге ұпайлардың қосындысын сәйкес қарастыруға болады;

Тиынды бес рет лақтыру деген сынақта әрбір мүмкін болатын нәтижеге түскен гербтің санын сәйкес қарастыруға болады;

36-дан 5 лото ойынында әрбір мүмкін болатын нәтижеге ұтыстың көлемін сәйкес қарастыруға болады;

Валюталардың курсын да осылай қарастыруға болады. Қалыптасқан экономикалық жағдайға байланысты валютаның курсы қалыптасады.

Бұл мысалдар келесі анықтамаға алып келеді

Анықтама: - ықтималдық кеңістігі берілсін. аралығы үшін

шартын қанағаттандыратын функциясын кездейсоқ шама дейді.

Ескерту:Кездейсоқ шама терминін сәтті термин деп айтуға болмайды , ол жаңылыс пікір туғызуы мүмкін. Өйткені бұл жерде функция біреу , заңдылық тұрақты , тек қана функцияның аргументі кездейсоқ.

Үлестірім

кездейсоқ шамасының үлестірімі деп

(16.1)

түріндегі ықтималдықтар жиынын айтады. Мұндағы - аралықтар және олардың ақырлы , саналымды бірігулері түріндегі санды жиындар.

Кездейсоқ шамасының үлестірімі оның қай аралықта мән қабылдау ықтималдығы қандай екенін көрсетеді.

Үлестірім функциясы. Қасиеттері

(16.2)

функциясын кездейсоқ шмасының үлестірім функциясы дейді.

(16.1) –ді ескерсек (16.2)-ні былай да жазуға болады:

Қсаиетері:

F1)

F2) үшін болады. Бұдан функциясы кемімейтін функция екені шығады.

F3) әрбір нүктесінде оң жақты үзіліссіз:

F4) ,

Дәлелдеуі:F2) :

Бұдан F2) дәлелденеді.

F3) және F4) қасиеттерін дәлелдеу үшін келесі лемма пайдаланылады:

Леммма: - ықтималдық кеңістігі.

1) оқиғалар тізбегі үшін

2) оқиғалар тізбегі үшін

Бұл лемма Р3)- аксиомасынан шығады. Керісінше, бұл леммадан Р3)- аксиомасы щығады. Сондықтан бұл лемма тұжырымын кейде Р3’) деп белгілейді.

Дәлелдеуі:F3) :

, (k=1,2,…,n,… )

Олай болса лемма бойынша

Дискрет кездейсоқ шама Егер

кездейсоқ шамасының мүмкін болатын мәндер жиыны ақырлы немесе саналымды болса, яғни

, онда

дискрет кездейсоқ шама деп аталады. Дискретті жағдайда дискретті кездейсоқ шаманың үлестірімін білу үшін

(17.1’) мына түрдегі ықтималдықты білу жеткілікті. Себебі оларды білсек кез келген В жиыны үшін

шамасы табылады.

Абсолют үзіліссіз кездейсоқ шама Егер

кездейсоқ шамасының үлестірімі қандайда да бір

(17.1”) функциясы арқылы кез келген В борель жиыны үшін

(17.2”) түрінде берілетін болса , онда

абсолют үзіліссіз кездейсоқ шама дейді, ал

оның тығыздығы.

Үлестірім қасиеттері

бұдан екені шығады.

7. Кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен дисперсиясы. Қасиеттері.

Дискрет кездейсоқ шаманың математикалық күтімі

Анықтама: дискрет кездейсоқ шама беріліп,

- мәндер жиыны,

, - үлестірімі белгілі болсын. Егер

(24.1)

шарты орындалса, онда кездейсоқ шаманың ақырлы математикалық күтімі бар дейді. Оның математикалық күтімі деп

(24.2)

санын айтады.

Қасиеттері: (Математикалық күтім)

- ықтималдық кеңістікте кездейсоқ шамалары беріліп, олардың ақырлы математикалық күтімдері бар болсын.

М1) ,

М2) Сызықты қасиеті

М3) Егер кездейсоқ шама болса, ол дегеніміз

, онда

М4)

М5) Егер өзара тәуелсіз болса, онда

М6)

М7) Коши- Буряковский теңсіздігі

Абсолют үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық күтімі

абсолют үзіліссіз кездейсоқ шама берілсін.

- оның тығыздығы болсын

Егер

болса, онда кездейсоқ шамасының ақырлы математикалық күтімі бар дейді және оның математикалық күтімі деп

санын айтады.

Дискрет жағдайда дәлелдеген М1)- М7) қасиеттерінің барлығы абсолют үзіліссіз сақталады. Оны дискрет жағдайда пайдаланып , шекке көшу арқылы дәлелдеуге болады.

Кездейсоқ шаманың дисперсиясы

кездейсоқ шама берілсін. Оның дисперсиясы деп