Процедуры генерации логических рядов с помощью обратных связей. Прямая и обратная задача генерации логического ряда.
Уточним и формализуем данные в разделе 1.7 определения.
Постоянное атомарное высказывание - символы a, b, c…
Значения постоянных высказываний в случае классической логики высказываний - И или Л. В общем случае высказывание может иметь k значений. Значения постоянных высказываний не меняются при изменении итерации.
Переменное атомарное высказывание- символы ai, bi, ci …
Сложное высказывание - высказывание, составленное из атомарных высказываний, тех или иных логических символов (например - ®, Ø, \/, &, º, в классической логике) и технических знаков (скобки, запятые) по правилам определеной логики высказываний (например - классической или рейхенбаховской).
Обратная связь - формула, описывающая способ присвоения нового значения высказыванию ai+1, при известных старых значениях ai по правилам определенной логики высказываний.
Записывается с помощью символа двоеточия ":". Формула содержит левую и правую часть. Слева от двоеточия записывается переменное атомарное высказывание, справа - сложное высказывание, значение которого будет присвоено переменному атомарному высказыванию в следующей итерации.
Пример.
Запись "ai+1: ai&b" означает: присвоить переменному атомарному высказыванию ai+1 значение сложного высказывания ai&b.
Система обратных связей - несколько обратных связей, меняющих свои значения одновременно на одной итерации. Система записывается путем записи в строчку всех обратных связей через точку с запятой.
|
|
Пример записи системы обратных связей:
ai+1: ai&b i; bi+1: ai&b i&c
Вероятность перехода – числовое значение от 0 до 1 изменения значения переменного атомарного высказывания на новое. Вероятность определяется с помощью генератора случайных чисел с равномерным распределением вероятности.
Пример.
Запись "0.8ai+1: ai&b" означает: присвоить переменному атомарному высказыванию bi+1 значение сложного высказывания ai&b с вероятностью 0.8. Ясно, что с вероятностью 0.2 обратная связь сохранит свое старое значение.
Если в обратной связи вероятность не указана, то она по умолчанию, равна 1.
Бифуркация – расщепление возможных значений атомарных высказываний с некоторой вероятностью.
Пример:
0.8ai+1: ai&b; 0.2ai+1: ai&c
Это означает следующее: в обратной связи высказывание ai+1 принимает значение ai&b с вероятностью 0.8, а значение ai&c с вероятностью 0.2.
Начальные условия - значения переменных атомарных высказываний при i=0. Запись a0 = И означает: «Присвоить начальному условию высказывания ai значение И.
Мир (множество) начальных условий – совокупность всех комбинаций значений начальных условий.
Возможность - значения переменных атомарных высказываний при i¹0.
|
|
Мир (множество) возможностей - совокупность всех комбинаций значений возможностей в обратной связи или системе обратных связей.
Граничные условия - значения постоянных атомарных высказываний в формуле.
Мир (множество) начальных и граничных условий - совокупность всех комбинаций значений начальных условий и значений граничных условий.
Прямая задача генерации логического ряда – построить логический ряд при заданных обратных связях, граничных и начальных условиях, проанализировать все аттракторы рядов в мире начальных и граничных условий.
Обратная задача генерации логического ряда – по логическому ряду реконструировать тип логики и систему обратных связей, которая сгенерировала этот ряд истинности.
Пример решения прямой задачи генерации.
Дана система высказываний, построенная с помощью классической логики высказываний:
ai+1: (ai&bi) ®c; bi+1: Ø(c\/ai) ®bi
Граничные условия: c есть Л.
Исследуем поведение системы при разных начальных условиях.
Рассмотрим мир начальных условий с фиксированными граничными условиями, и мир возможностей, обозначив одинаковыми цифрами одинаковые возможности и комбинации начальных условий:
|
|
Таблица 2.2.1 Исследование логического ряда
в мире начальных условий
Вариант начальных условий | A0 | b0 | c | a1 | b1 | Возможность по варианту н.у. при i=1 |
1 | И | И | Л | Л | И | 3 |
2 | И | Л | Л | И | И | 1 |
3 | Л | И | Л | И | И | 1 |
4 | Л | Л | Л | И | Л | 2 |
Видно, что мир возможностей уже при первой итерации беднее мира начальных условий – в нем нет варианта 4.
Исследуем каждую комбинацию начальных условий.
Пусть a0 есть И, b0 есть И (комбинация 1), тогда по таблице, a1 есть Л, b1 есть И и реализуется вариант 3 (такой же как a0 есть Л, b0 есть И), который опять переходит в вариант 1. Обозначим знаком “>” переход от одной возможности к другой. Схема переходов: 1>3>1>3>…
Ряд для ai есть ИРЛ. Значение bi будет истинным всегда.
Для начальных условий по набору 2 переходы будут: 2>1>3>1… Аналогично и для 3: 3>1>3>1…
Для начальных условий при варианте 4: 4>2>1>3>1…
Вывод: при всех значениях начальных условий в случае граничных условий с есть Л, наша система приходит к предельному циклу, при котором bi есть И, а аi колеблет свое значение.
Теорема 1 прямой задачи генерации.
Рассмотрим систему из n переменных высказываний k-значной логики, с вероятностью перехода 1. Такая система может иметь только два аттрактора – аттрактор первого рода или аттрактор второго рода с максимально возможным периодом длиной в kn значений.
|
|
Доказательство. Выпишем все возможные варианты переходов из мира начальных условий в возможности, используя обозначения предыдущего примера. Их всего kn. Запишем их в kn строчки:
1>1, 1>2, 1>3, …, 1> kn ,
2>1, 2>2, 2>3, …, 2 > kn ,
3>1, 3>2, 3>3, …, 3> kn,
…
kn >1, kn >2, kn >3, …, kn > kn .
Наличие какой-либо системы высказываний означает, что в мире возможностей одновременно не может быть двух разных переходов - из всех комбинаций переходов одновременно может реализоваться только по одной комбинации высказываний из каждой строчки.
Действительно, любое высказывание ai не может при одном и том же i иметь одновременно два значения.
Например, если у нас – в результате системы высказываний реализовался переход 1>1, то в этой системе высказываний переход из возможности 1 в возможность 2 невозможен.
Пусть Х – какое либо начальное условие из мира начальных условий (1, 2, 3…, kn), переходящее в возможность.
Назовем возможность новой, если она еще не реализовывалась в переходе, и старой, если она уже где-то встречалась.
При i=0 есть kn–1 новых возможностей, при i=1 есть kn-2 и т.д. Цикл образуется тогда, когда у нас встречается на i-q итерации старая возможность – повтор возможности. Если возможности на i и i+1 итерациях одинаковы, то образуется на цикл, а фиксированное значение. Таким образом, получается аттрактор ряда истинности первого рода.
С каждой новой итерацией количество новых возможностей уменьшается. Допустим, что у нас не встречаются старые возможности – циклы и фиксированные значения не образуются. Но тогда на на i+1 итерации число новых возможностей станет равным нулю, и мы неизбежно перейдем к старой возможности, которая образует цикл.
Таким образом, самый длинный цикл будет длину kn.
Теорема доказана.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 165; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!