А для терминов (существительных) — штампом
| áтерминñ IS CALLED áопределяемый терминñ IF ... |
притом перед термином ставится артикль the, если этот термин однозначно фиксируется определением, и артикль a, если определяемый термин представляет собой понятие (целый класс объектов).
Предлагаемые штампы годятся для сравнительно коротких определений. Но как быть с очень сложными, с теми, что не умещаются в одну фразу после if (даже с привлечением дополнительных разделителей, например, such that)! Мы предлагаем два способа.
Первый основан на использовании штампов
| |
|
в конце которых под номерами (i), (ii), ... перечисляются условия, определяющие вводимый термин (характеристику). Здесь вопрос выбора артиклей решается так же просто, как выше.
Второй способ состоит в том, чтобы сначала описать контекст определения в виде нескольких штампов, начинающихся со слова suppose 9 и разделённых точками с запятой (и/или «разделителями», см. § 11), а затем воспользоваться штампами
| |
| |
|
При этом слово áтерминñ в начале этих штампов, разумеется, не требует артикля (так как перед ним стоит this), и это слово должно было появиться в описании контекста (до then). Вопрос об артикле перед вторым термином в первом из этих двух штампов решается так же, как и выше.
|
|
|
Если вы даёте много определений и не хотите всё время повторять одну и ту же конструкцию, вы можете, во-первых, чередовать is и is called, во-вторых, вместо is called писать is said to be и, наконец, пользоваться is-конструкцией с вводным выражением we (shall) say that.
Если при определении фиксируется стандартное обозначение вводимого объекта, полезен следующий штамп:
| ||||||
Например, можно сказать
The set of all limit points of AÌT is called the closure of A and is denoted by A.
Очень часто этот штамп предваряется suppose ..., then конструкцией.
Если вы хотите разнообразия и в этой ситуации, есть другой равносильный штамп:
| IF [утверждение], THEN WE SAY THAT áтерминñ |
Читатель, конечно, понимает, как выбрать здесь артикли перед терминами. Заметим, что вместо определяемого термина здесь можно поставить и определяемую характеристику.
В заключение этого параграфа — несколько слов о конструкциях, в которых is и is called принципиально не годятся. Это бывает, в частности, в ситуациях, когда по-русски ключевой глагол в определении — не называется, является, есть, а глагол вроде имеет или обладает.
|
|
|
Например, как определить по-английски наличие неподвижной точки у отображения или сингулярности у поверхности? Здесь уместен следующий штамп:
| WE SAY THAT áтерминñ HAS |
Например 10,
We say that the map f : X → X has a fixed point x0, if f (x0) = x0.
Нельзя пользоваться конструкцией is called и в случае, когда определяемый объект вводится в виде символа — формулой. Тогда я предлагаю такой штамп:
| BY DEFINITION, PUT áформулаñ |
Например,
By definition, put
A = {x Î T | x is a limit point of A}.
Подведём итог параграфа: с небольшим числом исключений определения удобнее всего давать с помощью основной конструкции is called, которая используется как в чистом виде, так и с прибавлением if ... с последующим перечислением или предваряется конструкцией suppose ..., then.
| §22. Как начать изложение теории (доказательства) и ввести обозначения |
В первую очередь этот параграф посвящён наиболее употребительному штампу в английских математических текстах
|
|
|
|
Этот оборот появляется как в формулировках теорем, так и в их доказательствах, особенно в начале (или в начале изложения теории), когда фиксируются рассматриваемые объекты и вводятся основные обозначения. Рассмотрим несколько примеров.
- Let f : X → Y be a continuous map.
- Let the domain D be bounded.
- Let γ be a smooth curve and let the following condition be satisfied: for any ε > 0 ...
- Let the number m be the least upper bound of the function f on the interval (0, 1).
Наиболее часто встречаются примеры, аналогичные 9); пользуясь терминологией §§ 8–9, их можно объединить в виде штампа
| LET áсимволñ BE A áпонятиеñ |
Достаточно часто используются и следующие штампы:
| LET áсимволñ BE THE áобъектñ |
Например,
Let d be the degree of f.
| LET áсимволñ BE áхарактеристикаñ |
Например,
Let n be even.
| LET THE áобъектñ BE A áпонятиеñ |
Например,
Let the origin be a critical point of f.
| LET THE áобъектñ BE THE áобъектñ |
Например,
Let the map f *: H1(X) → H1(Y) be the homomorphism induced by f : X → Y.
Читатель, проработавший §§ 7–9 (и понимающий соответствующую математику!), здесь без труда поймёт, когда нужно ставить артикли the и a и почему. Например, в самом последнем примере любой математик, хоть чуть-чуть знакомый с топологией, понимает, что в данном контексте (при фиксированном отображении f : X → Y) имеется однозначно определённое индуцированное отображение f * групп гомологий и поэтому дважды требуется артикль the.
|
|
|
Довольно часто в начале доказательств приходится фиксировать много обозначений. В этом случае можно итерировать конструкцию let ... be ... , например, можно написать
Let X be an arbitrary topological space, let H*(X) be its singular cohomology, and let n be the largest integer such that H n(X) ≠ 0.
Однако, я не очень рекомендую подобные длинные перечисления — они звучат, по-моему, слишком однообразно — и советую конструкцию suppose ... is.
Suppose X is an arbitrary topological space, H*(X) is its singular cohomology, and n is the largest integer such that H n(X) ≠ 0.
Другой вариант перечисления с let состоит в том, чтобы пропускать все be (и все let) после первого.
Let X be an arbitrary topological space, H*(X) its singular cohomology, and n the largest integer such that H n(X) ≠ 0.
Обратите внимание на отличие английской пунктуации в этой фразе от русской: нет тире после H*(X) и n (эти тире по-английски недопустимы, и скорей всего будут прочитаны англоязычными математиками как знаки минус), а запятая перед and — обязательна (здесь перечисление: см. § 11).
Другой широко распространённый способ вводить обозначения основан на следующем штампе:
| BY áсимволñ DENOTE áтерминñ |
Например,
By H*(X) denote the cohomology of X.
By g denote an arbitrary element of G.
Очень часто этот штамп участвует в составной конструкции (§ 11) с разделителями such that, where и др., например,
By g denote an arbitrary element of G, where the group G satisfies the assumptions of Theorem 2.3.
By В denote a nondegenerate form on C ∞(M) such that áA, Bñ = 0.
Можно, конечно, предварить введение обозначений необходимыми сведениями, пользуясь конструкцией suppose ...; then ... , например,
Suppose I is a directed set, πij: Y i → Y j are epimorphisms and the sets Y i are finite; then by Y = lim Y i we denote the projective limit of the family {Y i, πij; i, j Î I}.
Обратите внимание на we перед denote — это местоимение можно ставить перед denote и в предыдущих примерах. В последнем же примере (и вообще после suppose ...; then ...) это we желательно (повелительное наклонение denote — без we — не очень хорошо звучит после условного if ... , then ...).
В начале доказательств часто встречается штамп
| CONSIDER áтерминñ |
тоже используемый для введения рассматриваемых понятий и их обозначений.
Пример:
Consider a subgroup H of G such that g0 Î H.
И, наконец, — менее универсальная конструкция, без которой, однако, бывает трудно обойтись:
| SUPPOSE áтерминñ SATISFIES áссылкаñ |
чаще всего используемая в более частном виде:
| SUPPOSE áтерминñ SATISFIES |
Например,
Suppose the space X satisfies (1.2) and (1.3).
Suppose the dynamical system E satisfies the conditions of Theorem 2.3.
По ходу доказательства или в изложении теории часто бывает необходимо сформулировать не установленное ещё утверждение, а затем его тут же доказать. Тогда очень удобно пользоваться замечательным словом claim (это и существительное, и глагол), которое не имеет адекватного перевода на русский. (В устной речи неплохим переводом we claim that ... будет «теперь я утверждаю, что».) Вот один из штампов с этим словом:
| WE CLAIM THAT [утверждение]. INDEED, ... |
Например,
We claim that φ is an isomorphism. Indeed, this follows from Theorem A and five-lemma.
Наконец, довольно специальная, однако используемая во всех разделах математики конструкция:
|
Например,
The value of the pairing áh,cñ is uniquely determined by the homology class of c.
The constant C is uniquely determined by the initial condition.
| §23. Как сформулировать теорему |
В этом параграфе мы обсуждаем формулировки теорем, лемм, предложений, следствий и просто утверждений, встречающихся в изложении теорий или в доказательствах. В отличие от определений, где хватает, в сущности, одного штампа, здесь можно использовать почти всё разнообразие предлагаемых нами конструкций. И всё же некоторые общие указания в этом случае уместны.
Начну с того, что наиболее распространённые конструкции is, is a, is the, о которых уже говорилось в §§ 7, 9, 21, тоже используются при формулировке теорем. На них я останавливаться здесь не буду (считаю, что они уже освоены читателем), и ограничусь одним примером.
Proposition 4.1. The injective map j: Y → Ωk is an embedding.
Далее замечу, что бóльшая часть теорем с точки зрения логики имеют вид A Þ B или A Þ (B Þ C), и поэтому короткие теоремы хорошо укладываются в конструкцию
| IF [утверждение], THEN [утверждение] |
Lemma 8.1. If d: X × X → R is the function defined above on X, then d(a, b) = d(b, a) for all pairs x, y Î X.
В более длинных теоремах используются штампы
| |
|
Примеры.
Theorem 6.6. Suppose the regular Fréchet space F satisfies the second axiom of countability; then there exists an embedding of F into the Hilbert cube I N.
Proposition 11. Suppose the extension E is totally ramified over K. Let П be an element of order 1 at B; then П satisfies the Eisenstein equation
X k + a k–1X k–1 + ... + a0 = 0.
Принципиально другое логическое строение теорем — разного рода формулировки необходимых и достаточных условий: А Û В. Вот наиболее экономный штамп:
| [утверждение] IFF [утверждение] 11 |
Lemma 1. M is parallelizable iff ω2(τ) = 0.
Более торжественно необходимые условия формулируются так:
| ||||
|
Theorem 2. For the homomorphism ψ to be a monomorphism it is necessary and sufficient to have ψ–1(e) = e.
Theorem 3. A necessary and sufficient condition for dF to be a local homeomorphism is that the Jacobian J F be nonzero.
Другой логический тип часто встречающихся теорем характеризуется формулой
A Þ (B1 Û B2 Û … ÛB k);
словами такую теорему можно высказать так:
| SUPPOSE [утверждение]; THEN THE |
Отметим теперь полезный оборот, с которого начинаются многие формулировки:
| UNDER THE CONDITIONS OF áссылкаñ,
|
Lemma 3. Under the conditions of Lemma 1, we have w*(e) = φ(τ).
В этом штампе выражение we have можно опустить, оставив лишь запятую, особенно если [ ] состоит из выделенной формулы.
Приведём ещё одну более сложную логическую схему для теорем:
A Þ ((B1 Ú B2) Þ C).
Подобную теорему можно выразить так:
| LET áтерминñ BE áтерминñ; |
По этому образцу (и предыдущим) читатель, при желании, может построить ещё более логически изощрённые формулировки. Однако текст будет более понятным, если при этом не будут возникать слишком длинные предложения.
| §24. Как комментировать вычисления |
По-видимому, с языковой точки зрения комментарии к вычислениям (скажем, в работах по дифференциальным и интегральным уравнениям, или вообще по анализу) — наиболее простой раздел английского математического языка. Всё же и здесь полезно владеть наиболее употребляемыми штампами и уметь обходить имеющиеся подводные камни.
Обычно подобные тексты начинаются с введения обозначений. Лексически здесь нет ничего нового по сравнению с § 22, разве что формулы более громоздки и чаще выносятся на отдельные строки.
Непосредственно в комментариях вычислений наиболее употребительны следующие обороты:
| |
| |
|
Вводное выражение Therefore в этих штампах можно заменить на Hence, Whence или (в конце рассуждения) на Thus. Для разнообразия, we have можно разбавлять словечками clearly, obviously и т.п., например,
| WE OBVIOUSLY HAVE áформулаñ |
В самом процессе вычислений вместо we have чаще используются
|
|
|
но обычно этим штампам предшествует пояснение о том, как именно эта формула получается. Приведём конкретные примеры наиболее популярных пояснений.
Using á(2.7)ñ, we get áформулаñ.
If we combine this with áLemma 1ñ, we get áформулаñ.
Combining á(11), (17) and (7)ñ, we obtain áформулаñ.
Substituting á2xñ for áuñ in á(3.2)ñ, we get áформулаñ.
If we replace áuñ by á2xñ in á(3.2)ñ, we obtain áформулаñ.
Since [утверждение], it follows that áформулаñ.
Adding á3Δ2ñ to both sides, we get áформулаñ.
Multiplying both sides by áT(x)ñ, we obtain áформулаñ.
Summing á(2.1), (2.5), and (2.7)ñ, we get áформулаñ.
Subtracting á(1.7)ñ from á(1.2)ñ, we get áформулаñ.
Вот ещё несколько более специальных примеров:
Integrating á(3.1)ñ in áxñ, we obtain áформулаñ.
By áLemma 3ñ, áформулаñ, so that áформулаñ.
áThe integral (3.2)ñ is majorized by áформулаñ.
Now if we recall á(1.3) and (2.7)ñ, we get áформулаñ.
It now follows that áформулаñ.
Now, by áProperty (5)ñ, áформулаñ.
The application of áTheorem 5ñ yields ...
Ближе к концу вычислений уместны следующие обороты:
Finally, we obtain áформулаñ.
The result is áформулаñ.
Thus we have áформулаñ.
To conclude the proof, it remains to note that áформулаñ.
Заключительным аккордом данного вычисления может прозвучать стандартная фраза
This completes the proof of áTheorem 3ñ.
| §25. Как вводить алгебраические структуры |
Алгебраические тексты писать, как правило, очень просто, и обычно хватает тех штампов, что были описаны в §§ 7, 20–23. Здесь мы ограничимся несколькими специфическими оборотами, связанными с введением бинарных операций.
| LET THE áобъектñ BE THE áобъектñ |
Let Zm be the group of integers modulo m with respect to the sum operation.
Let Mat(n) be the algebra of square n×n matrices with respect to the ordinary multiplication of matrices.
На самом деле «хвост» with respect to (с последующим описанием алгебраической операции, или другой структуры) часто используется не только в статьях по алгебре. Приведём два примера:
W is a Banach space with respect to the norm || · ||.
The sequence { f n} has a finite limit with respect to the weak topology.
Для более конкретного описания бинарной операции полезен следующий штамп:
| DEFINE THE áобъектñ OF TWO |
Define the convolution of two functions f , g Î W as the integral ∫ Kf ·g dx.
Define the product of two equivalence classes {a}, {b} mod p as {a}·{b} = {a·b} mod p.
В алгебраических построениях часто приходится иметь дело с классами эквивалентностей, а затем доказывать корректность определений и конструкций. Здесь можно пользоваться таким оборотом:
| THE áобъектñ IS WELL DEFINED |
снабжая его подходящим вводным выражением, например,
It is easy to prove that the product {a}·{b} is well defined.
Obviously, the scalar product is well defined.
(Имейте ввиду, что слово correct означает «правильно», а вовсе не корректно).
Приведём один стандартный оборот, часто используемый в гомологической и категорной алгебре:
| CONSIDER THE FOLLOWING COMMUTATIVE DIAGRAM: |
за которым, разумеется, следует обещанная диаграмма; при необходимости слово commutative можно опустить, а вместо consider сказать we have или we get.
| §26. Как описывать соответствия, отображения и функции |
Как и в случае определений (ср. § 21), наиболее популярный способ устанавливать соответствия (на русском языке): тому-то поставим в соответствие то-то при дословном переводе на английский звучит несуразно (и, скорее всего, будет непонятным англоязычному читателю).
Если мы желаем сохранить естественный порядок «прообраз, затем образ», можно пользоваться конструкцией
| ТО EACH áтерминñ ASSIGN áтерминñ |
То each point x assign the point y = x2.
но по-английски более часто встречается обратный порядок:
| áтерминñ CORRESPONDS TO áтерминñ |
The point y = x2 corresponds to the point x.
| áтерминñ IS ASSIGNED TO áтерминñ |
The point y = x2 is assigned to x.
Разумеется, слова assign и correspond можно заменять стрелками, как например в конструкции
| LET áтерминñ BE GIVEN BY áформулаñ |
Let the map f be given by x → f (x) = x2.
Более подробное описание отображения (с указанием области определения и множества значений) даётся так:
| LET áтерминñ BE THE MAP OF (термин} TO áтерминñ |
Let f be the map of R to R such that f (x) = x2 for all x Î R.
Если отображение не всюду определено, предлог of нужно заменить на from, как, например, в предложении
| LET áтерминñ BE THE MAP FROM áтерминñ |
Let √ be the map from R to R such that (√ x)2 = x and x ≥ 0.
Но, пожалуй, наиболее популярная конструкция для построения отображений — следующая:
| LET THE á ñ TAKE EACH á ñ TO á ñ |
Здесь первый пробел заполняется названием отображения (функции), а последующие — прообразом (аргументом) и образом (значением функции), например,
Let the function f take each point x to x2.
Let the homomorphism φn take each element g Î G to the conjugate element φn(g) = h–1gh.
Let the projection p3 take each point (x, y, z) to (x, y, 0).
Если мы хотим подчеркнуть, что здесь даётся обозначение для вводимого отображения, можно пользоваться следующими вариантами предыдущего оборота:
| LET áтерминñ BE THE áобъектñ THAT |
Let p3 be the projection that takes each point (x, y, z) to (x, y, 0).
| DENOTE BY áтерминñ THE áобъектñ THAT |
Denote by p3 the projection that takes each point (x, y, z) to (x, y, 0).
Заметим, что последнее определение лучше выражается с помощью одного из общих штампов для определений (§ 21), например:
By p3: R3 → R2 denote the projection along the z-axis.
Если же мы описываем действие отображения (например, введённое раньше или вводимое по ходу дела), то удобна следующая конструкция:
| THE áтерминñ TAKES áтерминñ TO áтерминñ |
Например,
The projection along the z-axis takes the plane x = y to the main diagonal of the xy-plane.
The canonical homomorphism φ: G → G/H takes each element g Î G to the corresponding coset gH Î G/H.
Обратите внимание, что глагольная форма takes (а также take) применяется не только к отдельным точкам, но и к множествам.
Заметим отдельно, что выражение при отображении переводится как under the map, так что говорят, например,
The image of X under the map p3 is p3(X).
The inverse image of an element of G/H under the canonical homomorphism G → G/H is a coset.
Два других важных выражения с предлогами — это extention to и restriction to. Вот пример их использования:
| BY áтерминñ DENOTE THE RESTRICTION OF |
By f |A denote the restriction of f to the subset A Ì X.
| LET áтерминñ BE THE EXTENSION OF áтерминñ TO áтермин ...ñ |
Let f be the extension of f to Y É X by the identity on the set Y\X.
Обратите здесь внимание на использование предлогов of и by.
| §27. Как описывать топологические и геометрические построения |
Это, наверное, труднее всего. Разумеется, я не берусь обучить вас писать на том образном, но ясном языке, которым пользуются такие авторы, как Милнор, Берже или Кокстер. Читателю придётся сдерживать своё стремление к наглядным описаниям и писать формально и сухо. Начнём с описания конструкций, встречающихся в геометрии и геометрической топологии.
С этой целью мы перечислим ряд глаголов, описывающих те или иные геометрические действия, помещая в скобках подходящие к ним предлоги 12:
move, shift, bend, push (to, along, into, away from);
project (on, along);
embed (in, into, by);
map (to, onto, into);
restrict (to);
identify (with);
attach, glue, paste (to, along, together);
collapse (to, onto);
join (with, to);
remove (from);
put in general position (with respect to);
extend (to, by).
Эти глаголы можно использовать в повелительном наклонении (в начале фразы или после слов let us), а также в ing-овой форме (в начале фразы, с последующим переходом к продолжению за счёт оборота типа we obtain или we can assume that). Вот несколько примеров:
Move the variety V away from C along the trajectories of the vector field X.
Let us attach the handle D k × D n–k to the manifold W along the base S k–1 × D n–k Ì ∂W.
Putting M in general position with respect to F, we can assume that dim (M Ç F) = 0.
Gluing together the neighborhoods U i , we obtain the manifold M.
Значительную часть геометрических текстов составляет обсуждение различных отображений, но для этого хватает оборотов, приведённых в § 24 (см. также приложение I, пункт (G)).
Некоторой экономии места при описании отображений можно достичь, добавляя деепричастия к глаголу map (или глаголам, перечисленным в начале этого параграфа). Вот несколько таких деепричастий: continuously, diffeomorphically, smoothly, isometrically, analytically, birationally.
Примеры:
Extend the map Φ smoothly to all of Rn.
The projection p maps M diffeomorphically onto N.
| §28. Комментарии и ссылки |
Я не рекомендую начинающим авторам пытаться вложить глубокий или тонкий смысл в комментарии, а советую ограничиваться для безопасности стандартными оборотами.
Для начала, вот несколько способов обойти доказательство за счёт комментария:
| THE PROOF IS á ñ |
The proof is omitted.
The proof is trivial.
The proof is given in § 5.
The proof is found in [2].
| THIS áссылкаñ WAS PROVED BY á ñ |
This lemma was proved by Smale (see [2]).
This was proved by Postnikov in [5].
| THIS áссылкаñ CAN BE PROVED BY á ñ |
This lemma can be proved by standard methods of KAM theory.
This theorem can be proved by direct calculations.
Если вы всё же решились привести доказательство, но начинаете со вспомогательных утверждений, можно сказать так:
| ТО PROVE áссылкаñ, WE NEED áссылкаñ |
То prove Theorem 2, we need several lemmas.
To prove this statement, we need some notation.
Если вы будете доказывать от противного, то можно сказать:
The proof is by reductio ad absurdum.
Но это несколько старомодно, и лучше начать так:
| ASSUME THE CONVERSE. THEN ... |
Закончить тогда можно стандартной фразой
| THIS CONTRADICTION PROVES á ñ |
This contradiction proves the theorem,
или комбинацией из двух фраз, которую мы сразу проиллюстрируем примером:
This contradicts Lemma 2.1. The theorem is proved.
Если вы доказываете что-то по индукции, то можно начать так:
| THE PROOF IS BY INDUCTION ON á ñ |
Вместо on в последние годы многие математики говорят over.
The proof is by induction on n.
The proof is by induction over the dimension of V.
Продолжить можно (иногда) штампом
| FOR á ñ, THERE IS NOTHING TO PROVE |
For n = 1, there is nothing to prove.
Этот штамп бывает полезен и в других контекстах, например,
For the case M = CP2, there is nothing to prove.
В процессе индукции часто используются штампы
| |
|
By the induction hypothesis, a n–1 is divisible by b.
By the inductive assumption, φn–1 is injective.
Если вы доказываете разбором случаев или поэтапно, полезны следующие штампы:
| |
|
В обоих случаях пробелы á ñ заменяются числом.
Часто в математических текстах подчёркивается полезность чего-либо для дальнейшего, и хотя без подобных комментариев прекрасно можно обойтись, мы приведём одну такую конструкцию:
| THE FOLLOWING á ñ ARE NEEDED FOR THE SEQUEL |
The following lemmas are needed for the sequel.
Иногда нужно указывать на сравнительную силу тех или иных утверждений; здесь работают такие штампы:
| |
|
Theorem 2.1 is stronger than Theorem A in [3].
The following condition is weaker than (2.5).
This assumption is stronger than condition (i).
В описанных здесь комментариях уже появились ссылки на литературу, в частности в наиболее стандартном виде, именно
| (SEE áномерñ) |
Приведём несколько более сложных примеров ссылок:
| IN áссылкаñ, áавторñ PROVED THAT [...] |
In his paper [3], Rokhlin proved that П3 = 0.
| áссылкаñ WAS CONSIDERED BY áавторñ IN áссылкаñ |
The case n = 2 was considered by Mostow in [5].
Morse theory for sheaves was developed by Hirsch in his book [2].
Разумеется, мы ограничились здесь очень небольшим спектром штампов-комментариев. Расширять этот спектр можно, пользуясь конструкциями, найденными у англо-саксонских математиков, но начинающим авторам (а также самоуверенным маститым) я настойчиво советую сводить комментарии к минимуму.
| §29. Введение к статье |
Здесь, как и во многих других разделах, мои рекомендации — скорее негативного свойства: пишите очень короткие введения, ограничиваясь, например, одной фразой:
| ||||
|
Ещё лучше, напишите в виде заголовка слово
Introduction ,
кратко сформулируйте основные (новые) определения и результаты, попутно сошлитесь на близкие работы:
| ||||
| ||||
|
опишите план статьи (если она не очень короткая):
| THIS PAPER IS ORGANIZED AS FOLLOWS. IN § 1, WE ... |
и, наконец, поблагодарите научного руководителя:
| THE AUTHOR IS GRATEFUL TO PROFESSOR á ñ |
и /или коллегу:
| ... AND TO á ñ FOR USEFUL DISCUSSIONS |
В современных работах благодарности часто выражаются под заголовком
Acknowledgements
и включают стандартную фразу
| THIS RESEARCH WAS PARTIALLY SUPPORTED BY ... |
где вместо многоточий стоит что-то вроде an AMS fSU grant. Полезен и такой оборот: This research was carried out while the author was visiting at (...) или I would like to express my gratutude to professor (...) for his hospitality.
Но всем этим не стоит увлекаться. Пусть чётко изложенное математическое содержание вашей статьи говорит само за себя!
ПРИЛОЖЕНИЯ
| I. СПИСОК МАТЕМАТИЧЕСКИХ ШТАМПОВ |
Для тех читателей, которые обратились к этому приложению, не прочитав основные разделы книги (§§ 5–9, 11), отмечу, что, как правило, предложения английского математического языка можно строить, комбинируя штампы с помощью так называемых разделителей (таких словечек, как where, such that и т.п.). Поэтому я советую хотя бы просмотреть §§ 7–9 (где объясняется смысл слов термин, характеристика, ссылка и поясняется, как обращаться с артиклями) и § 11 (разделители), прежде чем строить предложения по нижеследующим спискам штампов.
Начинающему читателю я настоятельно рекомендую твёрдо усвоить основные штампы (их всего 12), по своему усмотрению выписать и освоить ещё штук 10–20 и, пролистав пару статей по своей специальности 13, отобрать из них ещё штук 10. С полученным списком из 30–40 штампов стоит немного поупражняться (покомбинировать их с помощью разделителей, как в § 11) и добавить выбранный по вкусу список вводных выражений (см. § 13 и Приложение II). После этого можно начинать писать текст своей статьи на этой основе. При этом надо не переводить, а пересказывать русский текст, а ещё лучше сразу писать по-английски из головы или по черновым формульным записям.
| (A) Основные штампы |
Эти штампы используются постоянно во всех математических текстах. В обычных англоязычных статьях они составляют от 60 до 70% оборотов. Комбинируя их, можно в принципе выразить практически любую математическую семантику. Поучительно, что почти все основные штампы пословно не переводятся, или плохо переводятся на русский — это чисто английские идиомы. Для читателей, освоивших различие между «объектами» и «понятиями» (§§ 9, 10), отметим, что в штампах из этого списка среди терминов мы не различаем объекты и понятия, и поэтому не указываем артикли; читателя, не владеющего этим искусством, мы отсылаем к §§ 9, 10. Впрочем, правильно расставить артикли помогают приведённые после каждого штампа примеры применения этих штампов.
1. áтерминñ IS áхарактеристикаñ.
The function f is continuous.
Функция f — непрерывна.
2. áтерминñ IS áтерминñ.
The set R is a ring.
Множество R является кольцом.
3. CONSIDER áтерминñ.
Consider the point (1,1) Î R2.
Рассмотрим точку (1,1) Î R2.
4. WE HAVE áвыделенная формулаñ.
We have
| sin2 x + cos2 x = 1. | (1) |
Имеем
| sin2 x + cos2 x = 1. | (1) |
5. LET áсимвол или терминñ BE áтерминñ.
Let V be a vector space.
Пусть V — векторное пространство.
6. FOR ANY áсимвол или терминñ THERE EXISTS áтерминñ.
For any continuous mapf : I → I there exists a fixed point c Î I.
Для любого отображения f : I → I существует неподвижная точка c Î I.
7. BY áсимволñ DENOTE áтерминñ.
By R denote the set of real numbers.
Обозначим через R множество действительных чисел.
8. IT FOLLOWS FROM áссылкаñ THAT [утверждение].
It follows from Lemma 2 that α is injective.
Из Леммы 2 следует, что α инъективно.
9. áтерминñ IS CALLED áопределяемое понятиеñ IF [утверждение].
A manifold is called acyclic if H i(M) = 0 (i > 0).
Многообразие называется ацикличным, если H i(M) = 0 (i > 0).
The map s: B → E is called a section of ξ if ξ ○ s = id.
Отображение s: B → E называется сечением расслоения ξ, если ξ ○ s = id.
10. IF [утверждение], THEN [утверждение].
If D( f ) is compact, then f is bounded.
Если D( f ) — компактно, то f — ограничена.
11. [утверждение] IF AND ONLY IF 14 [утверждение].
A closed 3-manifold M is S 3 if and only if π1M = 0.
Замкнутое трёхмерное многообразие M является сферой S 3 тогда и только тогда, когда π1M = 0.
12. áтерминñ HAS THE FORM áформула или ссылкаñ.
The simplest parabola has the form x2 = y.
Простейшая парабола имеет вид x2 = y.
| (B) Модификации основных штампов |
Здесь собраны видоизменения основных штампов (связанные, например, с множественным числом); они обозначены теми же номерами, только со штрихами.
1′. áтерминыñ ARE áхарактеристикаñ.
The numbers 5 and 17 are prime.
Числа 5 и 17 — простые.
2′. áтерминыñ ARE áтерминыñ.
Z and Q are abelian groups.
Z и Q — абелевы группы.
Обратите внимание на букву s, указывающую на множественное число в конце примера 2′, и на её отсутствие в примере 1′: по-английски прилагательные неизменяемы по числу.
Добавляя слово not после is или are, мы получаем логические отрицания штампов 1, 2, 1′, 2′.
3′. TAKE áтерминñ.
Take a point x Î X.
Возьмём точку x Î X.
Этот оборот синонимичен штампу 3, им следует пользоваться, чтобы разнообразить речь. Аналогичную (стилистическую) роль играют обороты 4′ и 4″ по отношению к 4:
4′. WE GET áвыделенная формулаñ.
4″. WE OBTAIN áвыделенная формулаñ.
5′. LET áтерминыñ BE áтерминыñ.
Let x, y, z be the coordinates in R3.
Пусть x, y, z — координаты в R3.
5″. LET áтермин или символñ BE áтерминñ, áтермин или символñ BE áтерминñ, ...
Let M be a manifold, X be a vector field on M, and x0 Î M be the initial point.
Пусть M — многообразие, X — векторное поле и x0 Î M — начальная точка.
По-английски категорически нельзя заменять повторяемый глагол на тире, а слово be лучше повторять; обратите внимание на запятую перед and (ср. с § 11).
В штампе 6 можно опустить начальные for any.
6′. THERE EXISTS áтерминñ.
There exists a nontrivial smooth solution of the Bellman equation.
Существует нетривиальное гладкое решение уравнения Беллмана.
Множественное число получается так:
6″. THERE EXIST áтерминñ.
There exist two maximums of the function f.
У функции f существуют два максимума.
Добавляя слово unique после exists, получаем следующие важные штампы.
6′′′. FOR ANY áтермин или символñ there exists a unique áтерминñ.
For any bounded sequence there exists a unique least upper bound.
Для любой ограниченной последовательности существует единственная точная верхняя грань.
6′′′′. THERE EXISTS A UNIQUE áтерминñ.
There exists a unique nontrivial subgroup of G.
Существует единственная нетривиальная подгруппа группы G.
7′. LET áсимволñ DENOTE áтерминñ.
Let p0 denote the largest prime.
Обозначим через p0 наибольшее простое число.
8′. BY áссылкаñ, IT FOLLOWS THAT [утверждение].
By Lemma 1, it follows that V is semialgebraic.
Из леммы 1 следует, что V — полуалгебраическое множество.
8″. USING áссылкаñ, WE GET [утверждение].
Using (5.3), (5.7), and (6.2), we get
| w*(L) = 0. | (6.3) |
Пользуясь (5.3), (5.7) и (6.2), мы получаем
| w*(L) = 0. | (6.3) |
9′. áтерминñ IS CALLED áопределяемое понятиеñ.
The number Δ = b2 – 4ac is called the discriminant of equation (1).
Число Δ = b2 – 4ac называется дискриминантом уравнения (1).
9″. áтерминыñ ARE CALLED áопределяемые понятияñ.
Solutions of the equation |A – λE| = 0 are called eigenvalues of A.
Решения уравнения |A – λE| = 0 называются собственными значениями оператора A.
Если утверждения в штампе 10 достаточно длинные, можно разбить фразу на две следующим образом:
10′. SUPPOSE [утверждение]; THEN [утверждение].
| (C) Определения и обозначения |
Под этим заголовком можно было бы поместить штампы 7, 7′, 9, 9′ и 9″, но они попали в «основные». Здесь приводятся менее ходовые.
13. áтерминñ IS SAID TO BE áназваниеñ IF [утверждение].
A group G is said to be commutative if "g′, g″ Î G, g′ * g″ = g″ * g′.
Говорят, что группа G коммутативна, если "g′, g″ Î G, g′ * g″ = g″ * g′.
A set with operations Å, · is said to be an idempotent semiring if the operations satisfy conditions (1) ...
Говорят, что множество с операциями Å, · есть идемпотентное полукольцо, если эти операции удовлетворяют условиям (1) ...
14. ... ; THEN THIS áтерминñ IS CALLED áназваниеñ.
... ; then this group is called abelian.
... ; тогда эта группа называется абелевой.
... ; then this set is called the convex hull of A.
... ; тогда это множество называется выпуклой оболочкой множества A.
15. WE SAY THAT áтерминñ HAS áназваниеñ IF [утверждение].
We say that the polynomial p(x) = a n x n + ... + a0 has degree n, if a n ¹ 0.
Говорят, что полином p(x) = a nx n + ... + a0 имеет степень n, если a n ¹ 0.
16. áтерминñ IS CALLED áназваниеñ IF THE FOLLOWING CONDITIONS HOLD: (i) [утверждение]; (ii) [утверждение]; ...
A set with operations Å, · is called an idempotent semiring if the following conditions hold:
(i) a · (b Å c) = (a · b) Å (a · c); (ii) ...
Множество с операциями Å, · называется идемпотентным полукольцом, если выполнены следующие условия:
(i) a · (b Å c) = (a · b) Å (a · c); (ii) ...
17. WE SAY THAT áтерминñ IS áназваниеñ AND WRITE áсимволñ.
We say that the set {xÎE : xÏA} is the complement of A and write A = E\A.
Говорят, что множество {xÎE : xÏA} является дополнением к A, его обозначают A = E\A.
18. BY DEFINITION, PUT áформулаñ.
By definition, put
| f ′(x0) = | lim | f (x0 + h) – f (x0) h | . | |
| h → 0 | ||||
По определению полагаем
| f ′(x0) = | lim | f (x0 + h) – f (x0) h | . | |
| h → 0 | ||||
| (D) Вычисления |
При описании вычислений чаще всего используется штамп 4:
WE HAVE áформулаñ
или конструкции, в которых формула непосредственно следует за вводным выражением:
THEREFORE, áформулаñ,
HENCE, áформулаñ.
Вводные выражения можно варьировать; кроме двух указанных выше рекомендуется использовать now, but, whence, so, it follows that, however.
Кроме штампа 4 (WE HAVE), наиболее часто используются его варианты; в простейшем виде:
19. WE GET áформулаñ.
20. WE OBTAIN áформулаñ.
Или в более сложных вариантах:
21. USING áссылкаñ, WE GET áформулаñ.
Using Theorem 2.3, we get W(x) = A–1 ○ B(x) ○ A.
Используя теорему 2.3, мы получаем W(x) = A–1 ○ B(x) ○ A.
Using (2.1), (8.3), and (8.4), we get X = ...
Воспользовавшись (2.1), (8.3) и (8.4), получаем X = ...
Когда этот штамп приедается, можно пользоваться следующим.
22. TAKING INTO ACCOUNT áссылкаñ, WE OBTAIN áформулаñ.
Taking into account Theorem 2.3, we obtain W(x) = A–1 ○ B(x) ○ A.
Используя теорему 2.3, мы получаем W(x) = A–1 ○ B(x) ○ A.
23. COMBINING áсписок ссылокñ, WE GET áформулаñ.
Combining (12), (13), and (24), we get ...
Комбинируя (12), (13) и (24), получаем ...
24. COMBINING THIS WITH áссылкаñ, WE GET ...
Combining this with (21), we get Lemma 2.1.
Сопоставив это с уравнением (21), мы получаем лемму 2.1.
25. SUBSTITUTING á ñ FOR á ñ IN á ñ, WE OBTAIN ...
Substituting 2x for u in (25), we get ...
Заменяя u на 2x в формуле (25), получаем ...
26. ADDING á ñ ТО BOTH SIDES, WE GET ...
Adding 3Δ2 to both sides, we get ...
Добавляя 3Δ2 к обеим частям, получаем ...
27. SUBTRACTING á ñ FROM á ñ, WE GET ...
Subtracting this integral from (2.1), we obtain ...
Вычитая этот интеграл из (2.1), получим ...
28. MULTIPLYING BOTH SIDES BY á ñ, WE GET ...
Multiplying both sides by T(y), we get ...
Умножив обе части на T(y), получим ...
29. SUMMING á ñ, WE OBTAIN ...
Summing (21), and (73), we obtain ...
Складывая равенства (21) и (73), получаем ...
30. INTEGRATING á ñ W.R.T. 15 á ñ, WE GET ...
Integrating (3.1) with respect to x, we get ...
Differentiating (3.1) w.r.t. x, we get ...
Интегрируя (дифференцируя) (3.1) по x, получаем ...
31. INTEGRATING á ñ OVER á ñ, WE GET ...
Integrating this expression over M, we get ...
Интегрируя это выражение по области M, получаем ...
32. FROM á ñ, WE GET THE FOLLOWING á ñ: ...
From Lemma 3, we get the following estimate: ...
Из леммы 3 получается следующая оценка: ...
| (E) Алгебра |
Здесь мало специфических штампов.
33. á ñ IS ISOMORPHIC ТО á ñ.
The tensor product A Ä B is isomorphic to W.
Тензорное произведение A Ä B изоморфно W.
34. LET á ñ BE á ñ WITH RESPECT TO á ñ.
Let GL(n) be the algebra of n×n -matrices w.r.t. matrix multiplication.
Пусть GL(n) — алгебра матриц размера n×n относительно матричного умножения.
35. LET á ñ BE á ñ OVER á ñ.
Let V be a finite-dimensional vector space over C.
Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем C.
36. DEFINE THE á ñ OF TWO á ñ AS á ñ.
Define the sum of two residues mod m as the residue mod m of their ordinary sum.
Определим сумму двух вычетов по модулю m как остаток по модулю m их обычной суммы.
37. THIS á ñ IS WELL DEFINED.
This residue is well defined.
Этот вычет определён корректно.
38. á ñ FORM A á ñ UNDER á ñ.
Unitary matrices form a group under multiplication.
Унитарные матрицы образуют группу по умножению.
| (F) Соответствия и отображения |
39. DEFINE á ñ BY THE RULE á ñ.
Define the map α: GL(n) → Rn² by the rule ||a ij|| → (a11, ... , a nn).
Определим отображение α по правилу ||a ij|| → (a11, ... , a nn).
40. LET á ñ BE GIVEN BY á ñ.
Let the mapping f : C → R be given by f : z → 2|z|2.
Пусть отображение f : C → R задано следующим образом: f : z → 2|z|2.
41. LET THE á ñ TAKE EACH á ñ TO á ñ.
Let the map y take each z to √ z, arg √ z ≤ π.
Пусть отображение y переводит каждое число z в число √ z, arg √ z ≤ π.
42. LET á ñ BE THE á ñ FROM á ñ TO á ñ TAKING á ñ TO á ñ.
Let φ be the map from A to X 2 taking a Î A to (j(a), 0) Î X 2.
Пусть φ — отображение из A в X 2, переводящее a Î A в (j(a), 0) Î X 2.
43. DENOTE BY á ñ THE á ñ THAT TAKES EACH á ñ TO á ñ.
Denote by i* the isomorphism that takes each {c} to the class {i(c)}.
Обозначим через i* изоморфизм, переводящий каждый класс {c} в класс {i(c)}.
44. THE á ñ TAKES á ñ ТО á ñ.
The operator d/dx takes the function f (x) to f ′(x).
Оператор d/dx переводит функцию f (x) в f ′(x).
45. á ñ UNDER THE á ñ IS á ñ.
The preimage of 1 under the map z → z n is the set e2πik/n, k = 0, ... , n–1.
Полный прообраз числа 1 при отображении z → z n состоит из точек e2πik/n, k = 0, ... , n–1.
46. DENOTE BY á ñ THE RESTRICTION OF á ñ TO á ñ.
Denote by f |A the restriction of f to A Ì X.
Обозначим через f |A ограничение f на A Ì X.
47. DENOTE BY á ñ THE EXTENSION OF á ñ TO á ñ BY á ñ.
Denote by α the extension of α to the entire space Rn by the identity on Rn\X.
Обозначим через α продолжение отображения α на всё пространство Rn посредством тождественного отображения на Rn\X.
48. LET á ñ BE GIVEN BY á ñ ON á ñ AND BY á ñ ON á ñ.
Let the map f : A È B → X be given by f (a) = φ(a) on A and by f (b) = ψ(b) on B.
Пусть отображение f : A È B → X задано формулой f (a) = φ(a) на A и формулой f (b) = ψ(b) на B.
| (G) Геометрия и топология |
Специфические конструкции, используемые в топологии, очень разнообразны. Я советую:
- прочитать § 27;
- прочитать и сделать выписки из статьи хорошего геометра или тополога по вашей специальности.
Здесь я привожу лишь несколько образцов и замечаний.
49. ATTACH á ñ ТО á ñ BY á ñ.
Attach the cell Cζ to X n by the map ζ: D n+1 → X n.
Приклеим клетку Cζ к «остову» X n посредством отображения ζ: D n+1 → X n.
50. CUT OUT á ñ AND ATTACH á ñ ALONG á ñ.
Cut out the disk D2 from M and attach a handle H2 along an orientation-preserving homeomorphism h: δD2 → δH.
Вырежем диск D2 из M и приклеим ручку H2 по сохраняющему ориентацию гомеоморфизму h: δD2 → δH.
51. PUT á ñ IN GENERAL POSITION WITH RESPECT TO á ñ.
Put the smooth map φ in general position w.r.t. the submanifold M k Ì Rn.
Приведём гладкое отображение φ в общее положение относительно подмногообразия M k Ì Rn.
52. á ñ BOUNDS á ñ IN á ñ.
The sphere S n–1 bounds a disk D n in the space Rn.
Сфера S n–1 ограничивает диск D n в пространстве Rn.
Заметим (в связи с примером 52), что слово boundary по-английски означает как «границу», так и «край» (омонимия!); слово же edge означает «ребро» (графа или полиэдра) и в смысле «край» (многообразия) никогда в математических текстах не используется. В этой же связи обратим внимание читателя на слово span (существительное и глагол), не имеющее аналога в русском языке и означающее (в глагольной форме) что-то вроде «натянуть на». Вот примеры его употребления.
53. á ñ SPANS á ñ.
The disk Δ spans the curve γ.
Диск Δ натянут на кривую γ.
54. LET á ñ BE á ñ THAT SPANS á ñ.
Let Δ be a singular disk that spans the curve γ.
Пусть Δ — сингулярный диск, натянутый на кривую γ.
Let L be the linear subspace that spans the vectors e1, ... , e n.
Пусть L — линейное подпространство, натянутое на вектора e1, ... , e n.
В заключение, три полезных штампа для топологов.
55. LET á ñ BE á ñ JOINING á ñ ТО á ñ.
Let α: [0, 1] → X be a path joining a to b.
Пусть α: [0, 1] → X — путь, соединяющий a и b.
Let F t be a homotopy joining a to b.
Пусть F t — гомотопия, соединяющая отображения a и b.
56. BY APPROPRIATELY MODIFYING á ñ, WE CAN ASSUME THAT [ ].
By appropriately modifying the map f , we can assume that all singularities of f are canonical.
Модифицируя отображение f соответствующим образом, мы можем считать каноническими все его сингулярности.
Последний штамп — для тех, кому проще нарисовать, чем объяснить словами:
57. THE CONSTRUCTION áof the map f ñ IS SHOWN IN [Fig. 5].
| Приложение II. СПИСОК ВВОДНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ И ИДИОМ |
Вводные выражения (или слова), подробно описанные в § 13, кратко можно определить как группы слов, которые ставятся в начале предложения, синтаксически не связаны с ним, но влияют на его семантику. Чаще всего используются suppose и then, которые обычно появляются последовательно (подряд в двух фразах). Приводимый ниже список организован в 26 групп семантически близких выражений.
Further, | Moreover, | Besides, | On the other hand, | Furthermore, | In addition, | Finally, | Also,
However | But | Nevertheless | At the same time | Now | On the other hand, | Still
Obviously, | Clearly, | Evidently, | Trivially, | It is obvious that | It is clear that | It is readily seen that
It is easy to prove that | It can be proved that | It is easily shown that | We see that | It follows easily that | It can easily be checked that | It is not hard to prove that
That is | In other words, | Equivalently, | This means that | In these terms, | In this notation, | In other notation,
Therefore | Hence | Whence | Thus | It follows that | This implies that | This yields that | Consequently 16
In the converse case, | Otherwise | Conversely, | Assuming the converse,
Similarly, | In the same way, | For the same reason, | By the same argument, | As before, | As above, | Likewise,
Let us prove that | Let us show that | We claim that | Let us check that | We shall prove that | We shall see that | We shall show that
By assumption, | By the inductive hypothesis, | By the inductive assumption, | Suppose inductively that, | By the previous statement,
By definition, | By construction, | By the above
We may assume that | It can be assumed that | Without loss of generality it can be assumed that | To be definite, assume that | For the sake of being definite, suppose | We can assume without loss of generality that | To be precise,
For example, | In particular, | Specifically, | As an example, | For instance,
Note that | Notice that | Let us remark that | Note also that | We stress that
First | Secondly | Thirdly | First we shall show that | Now we show that | Finally we shall show that
First note that | Now note that | Further note that | Finally note that
First let us prove that | Now let us prove that | Finally let us prove that
It can be shown in the usual way that | It follows in the standard way that | We already know that
In general, | Generally, | In the general case,
Here | In this case, | In our case,
Indeed, | In fact, | Namely | Actually
Recall that | Let us remember that
We have proved that | This proves that | This shows that | This argument shows that
The reader will easily prove that | The reader will have no difficulty in showing that
In this paper we prove that | In this section we show that
Arguing as above, we see that | Continuing this line of reasoning, we see that
В предыдущем списке приводятся слова и выражения, не образующие грамматически замкнутые конструкции: они нуждаются в продолжении. Нижеследующий же список состоит из замкнутых идиом, которые используются как цельные фразы без изменений и добавлений.
The proof is trivial.
The proof is omitted.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 217; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!