Without loss of generality it can be assumed that
А. Б. Сосинский. Как написать математическую статью по-английски. — М: Изд-во «Факториал Пресс», 2000. — 112 с. ISBN 5-88688-032-1 В пособии излагаются основные принципы перевода математических текстов на английский язык. Книга выдержала несколько изданий. Работа с ней позволяет достичь уровня владения английским языком, способного обеспечить практическое использование его в профессиональной деятельности. Для студентов и аспирантов математических специальностей университетов, институтов, а также всех изучающих язык самостоятельно. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 4 Глава I. Как не надо §1. Авторский перевод 7 §2. Перевод «профессионального переводчика» 11 §3. Авторский перевод с редактированием 12 §4. * Подборка характерных ошибок 13 Глава II. Общие принципы §5. Главное — не переводите, а пересказывайте! 17 §6. Ещё раз о пословном переводе 20 §7. Математические штампы 21 §8. * Термины, характеристики, ссылки 24 §9. Термины как объекты и понятия: артикли 26 §10. * Артикли: аксиоматический подход 29 §11. Разделители, составные конструкции и запятые 32 §12. Рекурсивные конструкции 35 §13. Вводные выражения 37 §14. Долой отглагольные существительные! 39 §15. Долой it, which, whose и that! 42 §16. * А всё-таки: когда which, когда that? 43 §17. Пять способов борьбы с предлогом of 44 §18. * Глаголы и времена глаголов 47 §19. * О докладах и лекциях 48 §20. Напутствие 50 Глава III. Конкретные обороты §21. Как дать определение 52 §22. Как начать изложение теории (доказательства) и ввести обозначения 59 §23. Как сформулировать теорему 63 §24. Как комментировать вычисления 65 §25. Как вводить алгебраические структуры 68 §26. Как описывать соответствия, отображения и функции 69 §27. Как описывать топологические и геометрические построения 72 §28. Комментарии и ссылки 74 §29. Введение к статье 77 Приложения I. Список математических штампов 79 (A) Основные штампы 79 (B) Модификации основных штампов 81 (C) Определения и обозначения 84 (D) Вычисления 85 (E) Алгебра 87 (F) Соответствия и отображения 88 (G) Геометрия и топология 90 II. Список вводных выражений и идиом 92 III. Список конструкций с предлогами 95 IV. Образец математического текста 107 V. Ответы к упражнениям 109 "Well", said Owl, "the customary procedure in such cases is as follows." "What does Crustimoney Proseedcake mean?" said Pooh. "For I am a Bear of Very Little Brain, and long words bother me." "It means the thing to do." A. A. Milne — Ну, — сказала Сова, — обычная процедура в таких случаях нижеследующая ... — Что значит Бычья Цедура? — сказал Пух. — Ты не забывай, что у меня в голове опилки и длинные слова меня только огорчают. — Ну, это означает то, что надо делать. Б. Заходер ПРЕДИСЛОВИЕ Эта небольшая книга предназначена в первую очередь для русскоязычных математиков и отвечает на поставленный в её названии вопрос. Автор убеждён, что любой русскоязычный математик, проработавший её, сможет после этого написать английский текст своей очередной математической работы, пригодный для публикации в западном журнале или сборнике, даже если он до этого «совсем не знал» английского языка (например, изучал в школе немецкий). Я предполагаю, правда, что читатель владеет в какой-то мере терминологией в своей области и что ему приходилось разбирать (пусть со словарём) статьи на английском языке по своей специальности. Другой важной предпосылкой успешного использования этой книги является готовность читателя творчески подойти к языковым вопросам, готовность пользоваться «математической частью» своих мозгов не только для доказательства теорем, но и для создания текста, описывающего эти доказательства. В этом отношении особенно трудно будет читателю, считающему, что он неплохо знает язык, легко понимающему статьи по специальности и книжки Агаты Кристи, получавшему пятёрки по английскому языку в школьные, студенческие и аспирантские годы. Такому читателю будет очень трудно избавиться от ошибочных стереотипов псевдо-грамматического мышления, характерного для обучения Moscow English, которому он столько лет подвергался. «Ломке стереотипов» посвящена вся первая глава книги («Как не надо») и, в какой-то степени, вторая глава («Общие принципы»). Читатель тщетно будет искать среди общих принципов грамматические правила английского языка. Подчеркну, что книга никоим образом не является ни учебником английского языка, ни учебником английского математического языка, ни даже пособием по переводу математических текстов — она преследует узкую, практическую цель: научить писать математические статьи по-английски 1 по придуманной мною методике. Основные идеи этой методики и изложены во второй главе. Третья же глава содержит описание конкретных оборотов, используемых в тех или иных математических ситуациях. Книга завершается тремя приложениями справочного характера, позволяющими читателю в процессе написания статьи быстро найти нужный ему оборот или строение фразы. Есть и четвёртое приложение: образец математического текста, написанного по нашей методике. Звёздочка после номера параграфа означает, что его можно опустить при первом чтении. Хочу отметить, что предлагаемый здесь подход — крайне нетрадиционен и, по-видимому, противоречит всем представлениям читателя на сей счёт. Не лишним поэтому будет краткое описание истоков предлагаемой методики. Автор, выпускник Нью-Йоркского и Московского университетов, математик-исследователь по специальности, одинаково хорошо (или плохо) владеет английским и русским языками, вот уже 30 лет переводит математические книги и статьи с русского на английский (для западных издательств), а в настоящее время возглавляет службы переводчиков в серии русско-английских математических переводов под эгидой Американского Математического Общества. Описанный здесь подход разработан исходя из этого опыта, а также основан на работах автора по компьютерной лингвистике (машинному переводу). Я благодарен В. Борщеву, инициатору идеи написания этой книги, Б. Комракову, постоянно подталкивавшему меня в работе над ней, Б. Амосову за ТеХредовскую работу, Н. Кульману за конструктивную критику, и особенно М. Виноградову за моральную и ТеХническую поддержку. В течение тридцати лет жизни в Москве автора постоянно преследовали его коллеги, друзья и знакомые с просьбами о переводе их статей на английский (или, что ещё хуже, о редактировании переводов). Этим невольным вдохновителям и соавторам (особенно я им обязан за первую главу) и посвящается эта книга — with a vengence. Теперь, когда она выйдет, на новые просьбы о переводах у меня будет ответ: «Вот есть книга — купите её!» Глава I. КАК НЕ НАДО В этой главе автор пытается помочь читателю освободиться от ошибочных стереотипов, связанных с изучением Moscow English, и объективно оценить свои познания в английском математическом языке. §1. Авторский перевод Чаще всего автор статьи, имея за плечами малоуспешный, но зато многолетний опыт изучения английского языка (в школе, в вузе, в аспирантуре), часто читая литературу по своей специальности на английском, отваживается самостоятельно перевести свою статью. Перед ним русский текст статьи, общелексический русско-английский словарь, ручка и бумага. Вводная часть статьи даётся с трудом (приходится много смотреть в словарь), но затем начинается основной математический текст и дело спорится. Фраза за фразой, слово за словом рождается английский текст, удовлетворяющий автора. Однако, как правило, результат катастрофически плох. Вводная часть, в лучшем случае, вызовет у рецензента, англоязычного математика, ироническую улыбку, а основной текст он быстро перестаёт читать: какую-то часть неуклюжих конструкций ему удаётся понять, но в других местах смысл ускользает, местами он натыкается на чушь или очевидные математические ошибки, и только если он очень заинтересован (например, знает, что автор — математик высокого класса), рецензент дойдёт до расшифровки основных результатов. Автор получает вежливый отказ: «Your paper seems to be interesting, but your English requires revision by a native English-speaking mathematician». Чтобы не быть голословным, попробую привести конкретный пример. Представим себе, что статья содержит следующий кусок текста: Назовём допустимым узлом PL-вложение f : R1 → R3, если образ f (R1) асимптотически стремится к прямой x=y=z при t→±∞, tÎR1. В дальнейшем рассматриваются только допустимые узлы. Каждому (допустимому) узлу мы ставим в соответствие элемент I( f ) группы когомологий H1(E) пространства E функций ограниченной вариации, которое определено ниже. Наш среднестатистический автор переведёт этот текст примерно следующим образом: Let us call the admissible knot a PL-embedding f : R1 → R3, if an image f (R1) asymptotically tends to a line x=y=z for t→±∞, tÎR1. In the further text considered only are the admissible knots. To every (admissible) knot we put in correspondence the element I( f ) of a cohomology group H1(E) of the space of the functions of bounded variation, which is defined below. Упражнение 1. He заглядывая дальше, внимательно прочитайте этот перевод, отметьте ошибки, посчитайте их, укажите, как их надо исправить, и оцените уровень перевода. Если перевод в целом вам показался «приличным», то ваш собственный уровень как переводчика ниже всякой критики: дело в том, что предложенный перевод как раз «катастрофически плох». В его трёх фразах я насчитал 20 ошибок, в том числе 3 грубые смысловые ошибки, 10 неправильно поставленных артиклей, 1 неправильно выбранный союз, 1 лишняя запятая, 3 несуществующих оборота и 1 стилистическая ошибка. Орфографических, грамматических и терминологических ошибок нет. Разберём ошибки подробнее. Сначала смысловые. Первое предложение основано на кальке с русской конструкции назовём так-то что-то, если ..., не имеющей аналога в английском языке; в результате в английском тексте определяемое понятие — не admissible knot, a PL-embedding, в то время как по смыслу должно быть наоборот. Проще всего перевод исправить так: Let us call a PL-embedding f : R1 → R3 an admissible knot if ..., хотя на самом деле и этот оборот не очень хорош. О том, как лучше давать определения по-английски, сказано в § 21. Вторая смысловая ошибка (менее существенная) относится ко второй фразе: в результате «не английского» порядка слов слово considered подчиняется слову text, а не слову knot (рассматривается текст, а не узлы). О порядке слов см. §§ 6 и 14. Третья смысловая ошибка связана с «потерей управления» при переводе которое → which. В русском тексте которое (средний род) замещает существительное среднего рода пространство, в то время как по-английски which (не имеющее рода) можно отнести как к слову space, так и к словам group и element. О том, как бороться с ошибками, связанными с употреблением слова which, см. § 15. Теперь об артиклях. Они все поставлены неверно. Всюду, где a — требуется the. Все the (кроме двух, стоящих перед словами functions и admissible, где артиклей вообще не нужно) следует заменить на a. Правильному употреблению артиклей в математических текстах на самом деле не так трудно обучиться, как многие думают. Этой теме посвящены §§ 9, 10 главы II. О других ошибках. В первом предложении for нужно заменить на as, перед if убрать запятую. Во втором используется несуществующий оборот 2 In the further text, а далее выбран неправильный порядок слов. Второе предложение можно перевести, например, так: In the sequel, only admissible knots are considered. В третьем предложении содержится то, что мы назвали «стилистической ошибкой» — четырёхкратное наслоение союза of (как бороться с многократными of, рассказано в § 17). В этом же предложении есть ещё один неанглийский оборот we put in correspondence (можно, например, we assign; в § 25 рассказано, как описывать построение соответствий и отображений). Запятая перед which — лишняя (о запятых в английском математическом тексте сказано в § 11, а также в § 16*). Теперь читатель может подвести итог и оценить свой уровень. Если вы нашли 17 или более из указанных 20 ошибок и сумели их (хорошо) исправить, то вам эта брошюра не очень нужна. Уровень от 11 до 17 ставит вас как переводчика несколько выше среднего русскоязычного математика; я советую внимательно пролистать эту книгу, останавливаясь лишь там, где вы это сочтёте нужным, а затем пользоваться ей как справочником. Если ваш уровень 10 и ниже, эта книга — для вас; советую подробно (с карандашом и бумагой, выполняя упражнения) проработать следующую главу. В некотором смысле положение читателя, очень плохо справившегося с первым упражнением, здесь предпочтительно: он не отягощён ненужными представлениями о «грамматике английского языка» и другими вредными последствиями изучения Moscow English, ему легче будет принять предлагаемую нами методику написания статей. Как указано во введении, пользуясь этой книгой, хороший математик, совсем не знающий язык (но знакомый со специальной терминологией в своей области), сможет написать вполне приличный текст своей работы по-английски. С другой стороны, наша цель только в этом и состоит: эта книга не ставит себе более общих целей, в частности, не является ни учебником английского языка, ни учебником английского математического языка, ни даже пособием для переводчиков математических текстов (хотя и может оказаться им полезной). §2. Перевод «профессионального переводчика» Иногда авторы математических текстов обращаются за помощью к местным «профессиональным переводчикам», выпускникам наших инязов и гуманитарных факультетов. Как правило, это люди, имеющие опыт перевода «в другую сторону» (англо-русский перевод технического текста, выполняемый на неплохом уровне), но не имеющие опыта работы (обратной связи) с западными англоязычными издательствами, и поэтому искренне заблуждающиеся в оценках своих возможностей в русско-английском переводе. При этом результат обычно получается хуже среднего авторского — нарушена одна из основных аксиом перевода: переводчик не понимает смысла переводимого текста. Гуманитарный человек, естественно, не улавливает семантику исходной математической фразы и выполняет перевод «пословно», перемежая его английскими идиомами (часто невпопад) и сложными грамматическими оборотами, столь популярными в инязовском преподавании, но неуместными в математических текстах. Приведу пример «из жизни»: We see that an algebraic manifold V is the linearly connected compact. Call the primitive manifold V the solution set of the irreducible algebraic equation or system. (...) The right member rises to vertical action in the fibre space... Можно, конечно, смириться с тем, что здесь имеются четыре терминологические ошибки (нужно variety вместо algebraic manifold, arcwise вместо linearly, compact set вместо compact, lifts вместо rises) — их может исправить автор. Но вряд ли автор исправит артикли в первом предложении (оба неверны!) и поэтому не заметит грубую математическую ошибку (ведь там сказано, по существу, что все алгебраические многообразия компактны!). И во второй фразе он скорее всего доверится переводчику и не поставит под вопрос несуществующую конструкцию (call the ... the ...); англоязычный же читатель не поймёт, какой термин определяется — primitive manifold или solution set? Что же касается третьей фразы, то автор вряд ли станет её править, а любой американец расхохочется в голос, читая её. Дело в том, что русская фраза Правая часть поднимается до вертикального действия в расслоении ... вполне безобидна, в то время как соответствующая английская калька совершенно неприлична, вследствие неудачного (но формально правильного) перевода часть → member и ошибочного перевода поднимается → rises. Не все профессиональные переводы, конечно, столь неудачны. В больших математических центрах бывшего СССР имеются вполне квалифицированные переводчики математических текстов на английский язык, занимающиеся этим ремеслом достаточно успешно. Но их немного, и, главное, они, как правило, работают на западные издательства за западные гонорары, и потому их труд не по карману даже российским академикам. §3. Авторский перевод с редактированием Значительно более разумный подход к решению задачи математического перевода — самому перевести свою статью, а затем дать её редактировать человеку, «знающему английский язык». Это даёт удовлетворительный результат при условии, что редактор подобран удачно. Категорически не следует обращаться для этой цели к выпускникам наших языковых вузов или факультетов: они хотя и могут где-то внести разумную стилистическую и грамматическую правку, но не заметят ваших смысловых ошибок и могут внести свои, новые. Естественные носители английского языка, не знающие математики, тоже плохо сделают эту работу. Идеальный редактор — англоязычный коллега, специалист в вашей области. Если уровень вашего перевода достаточно высок, он сможет «подчистить» статью заочно, без вашей помощи, однако скорее всего ему потребуется обратная связь. Так или иначе, в наши дни, когда поездки «конвертируемых математиков» (выражение С. П. Новикова) стали обычным явлением, такой способ бывает доступен. Но всё же лучше создать хороший английский текст самому. Это не так трудно — читайте главы II и III. §4*. Подборка характерных ошибок Здесь приводится список наиболее часто встречающихся ошибок при переводе математических текстов, основанный на моём печальном 30-летнем опыте чтения и редактирования таких опусов. Этот параграф читать сейчас не обязательно, если вы готовы обучаться по предложенной методике. Если же, прочитав § 1, вы всё ещё сомневаетесь в оценке уровня своего перевода, чтение настоящего § 4 очень рекомендуется. Возможно, при этом вам придется выполнять упражнения дважды (второй раз после проработки глав II и III). Список мы даём в виде конкретных примеров, сразу на английском языке. Читатель легко восстановит русский оригинал каждой фразы (пословным обратным переводом). Сразу после примера мы поясняем, в чём состоит ошибка. (Закрывая эти пояснения подвижным листком бумаги, читатель может попробовать самостоятельно найти эти ошибки — это полезное, но не обязательное упражнение.) 1) Let G is an Abelian group. Не is, a be (позорная, но часто встречающаяся ошибка!). 2) Let B has the singularity in the point vÎV. Не has, a have; не the, а a; не in, а at. 3) Suppose that the sequence {a n} tend to A when n→∞. Не tend, a tends; не when, а as. 4) Now we can to prove the Theorem 3.5. He нужно ни to (грубейшая ошибка!), ни the (это более тонкий вопрос). 5) То establish Lemma 2.1, we must to prove (2.5). Не нужно второго to! 6) We now prove the Lagrange's theorem. Так нельзя обращаться с 's; нужно либо the Lagrange theorem, либо Lagrange's theorem (без артикля). 7) There is a strong algebraic geometry school in the Moscow. Убрать этот кошмарный the перед именем собственным! 8) Now we use the singular homology theory of the space Λk X which will be constructed in section 3. Which — это что? Что будет constructed — теория или само пространство ΛkX? Если по-русски было которая — значит, теория, и тогда вместо «which» можно написать «this theory». 9) Take any element xÎX, such that x>x0. Запятая лишняя (грубая ошибка). 10) Suppose G is the group, that was considered in § 2. Опять лишняя запятая! 11) Therefore we must suppose that there is the necessity of generalization of the method of bifurcation diagrams of V. I. Arnold. Нельзя так много о f 'ов и столько бессодержательных существительных! Нужно проще, например: Hence V. I. Arnold's bifurcation diagram method must be generalized. Заметим, что исходная русская фраза (которая лично мне очень не нравится) вполне характерна для наших математических текстов и у большинства читателей не вызовет раздражения: Таким образом, мы приходим к выводу о необходимости обобщения метода бифуркационных диаграмм В. И. Арнольда. 12) For f take the constructed previously function φ2,1. Нелогичный (не английский) порядок слов. Нужно: For f , take the function φ2,1 constructed previously. Или: Take the function φ2,1, constructed previously, for f . 13) The set {a1, ..., a n} generates in the complex case the demanded subalgebra. He английский порядок слов («прямое дополнение должно идти сразу после глагола»), вместо demanded нужно required. Можно так: In the complex case, the set {a1, ..., a n} generates the required subalgebra. 14) There exists the unique xÎR such that f (x) = y. Увы, здесь вместо the нужно a (хотя это может вам показаться нелогичным!). 15) Suppose x is a point in the Euclidean space. Опять the не нужен. 16) We remind that X is compact. Этот remind здесь ужасен! Нужно recall. 17) Glue the handle H to the boundary of W. Гораздо лучше не glue, а attach. 18) W1 is the space of generalized functions. Англоязычные математики как правило не признают выражения generalized functions, которое встречается в основном в статьях, переведённых с русского. Нужно distributions. 19) Let a be a proper vector of the operator А. Никаких proper vectors по-английски не бывает, а бывают eigenvectors, а также eigenvalues. 20) A Mersenne number is a simple number of the form ... Нужно не simple, а prime. Но зато простая группа переводится simple group. Нужно знать терминологию! 21) Let K be a compact in Rn. Слово compact — всегда прилагательное! Здесь нужно compact set или compact subset. 22) Т he elder coefficient is nonzero. Вместо elder (буквальный перевод слова старший) нужно leading. 23) Let V be a variety of the finite dimension. The здесь недопустимо — в этом месте никакого артикля не нужно! 24) Consider the extension of f on X. Нужно не on, а to. 25) The space X is linearly connected. Такого термина нет: вместо linearly нужно arcwise. 26) In this paragraph we prove some auxilliary lemmas. Paragraph — это вовсе не параграф, а абзац. Здесь нужно section или subsection. 27) Let us introduce the following notations. Здесь нужно notation (в единственном числе), даже если вы будете вводить очень много разных обозначений. 28) This theorem is well-known. Здесь нужно well known (без дефиса), в отличие от фразы This well-known theorem is proved in [3], где well-known является прилагательным (характеристикой, см. § 8). 29) The definition of multiplication is correct. Слово correct означает правильно, а не корректно. Нужно The product is well defined. 30) We have to prove that F is compact. Намного лучше we must prove; have to prove означает что-то вроде мы вынуждены доказать. 31) Then n equals to 5. Можно n equals 5 или n is equal to 5, но ни в коем случае нельзя equals. 32) So A is linear; it means that ... Не it, а this. Слово it относится к объектам, а this к утверждениям («ссылкам», см. § 8). Упражнение 2. Переведите на английский язык. 1) Пусть x — точка плоскости. 2) Рассмотрим гиперплоскость в пространстве Rn, которая содержит точки a1, ..., an. 3) При n→∞ последовательность { fn(x)} стремится к нулю в точке x=x0. 4) Мы можем доказать эту гипотезу только для самосопряжённых операторов. 5) Применим масловский метод комплексной фазы. 6) Множество X — компакт. 7) В этой ситуации целесообразно искать возможность распространить метод сеток поиска приближённого решения уравнений в частных производных второго порядка квазиоднородного типа на более общий случай уравнения (3.7). 8) Предположим, что группа G разрешима.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ
1) Let x be a point of the plane.
2) Consider the hyperplane in Rn which contains the points a1, ..., an. [Вместо which лучше that, см. § 16*.]
3) At the point x=x0 the sequence { fn(x)} tends to zero as n→∞.
4) We can prove this conjecture only for selfadjoint operators. [Здесь hypothesis вместо conjecture — ошибка!]
5) Let us apply Maslov's complex phase method.
6) The set X is compact. Или: X is a compact set.
7) In this situation, the lattice method for finding approximate solutions of second order partial differential equations of quasihomogeneous type can be generalized to the case of equations (3.7).
8) Assume that the group G is solvable.
Глава II. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
В этой главе, минуя традиционную «грамматику английского языка», мы объясняем основные идеи, лежащие в основе предлагаемой книги.
| §5. Главное — не переводите, а пересказывайте! |
Основная идея предлагаемой методики — не переводить русский текст статьи, а излагать свою работу непосредственно на английском языке, пользуясь только теми оборотами и конструкциями, в которых вы уверены.
Замечательное свойство математических текстов постбурбаковской эпохи состоит в том, что любая математическая теория излагается с помощью очень ограниченного набора стандартных оборотов.
Сколько нужно знать таких оборотов? Отвечаю по-английски: that depends. Например, начиная читать (по-английски) факультативный спецкурс в МИЭМе для студентов, от которых не требовалось знания английского языка, автор в течение первого получаса пользовался только тремя оборотами:
áтерминñ [.],
áтерминñ is а áтерминñ [.],
áтерминыñ are áтерминыñ [.],
четырьмя вводными словами (suppose, then, here, further), четырьмя разделительными выражениями (such that, if, and, where), одной присказкой (Is that clear?) и одним универсальным ответом на все вопросы (Never mind).
Начало лекции выглядело примерно так:
Definition. A manifold is a pair (M, A), where M is a topological space and A is an atlas; here an atlas A is a set A = { fα: Uα → Rn} such that
(i) Uα Ì M is an open set;
(ii) fα is a homeomorphism;
Examples: 1) M is Rn and A = {id: Rn → Rn}. 2) M is a sphere S n and A = {p i: S n – n i → Ri n, i=1, 2};
here p1, p2 are stereographic projections. (Здесь на доске была нарисована соответствующая картинка.) Is that clear? Definitions. Suppose (M, A) is a manifold and α, β Î J; then fα○ fβ–1 = tα,β is a transition function. Further, (M, A) is a smooth manifold, if " α, β Î J, tα,β Î C∞(Rn), where C∞(Rn) = { f : Rn → Rn | f is an infinitely differentiable map}. Suppose ... |
Далее лекция продолжалась в том же духе. В конце первого получаса формулировалась (в пределах всё того же скудного языкового материала) теорема Уитни:
Theorem [Whitney, 1921]. Suppose M is a smooth manifold and dim M = n. Then there is a smooth embedding N→R2n+1 such that M and N are diffeomorphic manifolds.
Конечно, пользуясь всего тремя оборотами (а, по существу, практически одним!), далеко не уедешь. В том спецкурсе, разумеется, репертуар используемых оборотов постепенно расширялся, но в первых трёх лекциях не превысил полутора десятков.
Чтобы написать приличный текст статьи, обычно можно обойтись 20–50 повторяющимися конструкциями, если их разбавлять достаточным (более 20) количеством вводных слов и выражений. Если ваш активный репертуар оборотов невелик, вам придётся затратить больше математических усилий, загоняя то, что вы хотите сказать, в рамки скудного запаса выразительных средств. Текст получится несколько однообразным, но зато понятным. (Кстати, в этой ситуации процесс его подготовки иногда способствует нахождению математических ошибок.)
Если ваш репертуар оборотов основателен, думать по существу придётся меньше, работа пойдёт быстрее, текст получится более разнообразным. Но здесь таится опасность — если оборотов очень много, теряется чёткая уверенность в их правильности, появляются несуществующие конструкции (обычно кальки с русского, которые, как вам ошибочно кажется, вы где-то видели по-английски).
Число необходимых (и достаточных) оборотов зависит также от характера излагаемого математического материала: если в основном проводятся вычисления и преобразования формул, то конструкций нужно совсем немного, в алгебре или теории категорий их нужно побольше, сложней приходится в геометрии, геометрической топологии и математической физике.
В этой книге приводится более 100 стандартных оборотов. Нет необходимости их все запоминать, достаточно освоить штук 20–30 основных и к ним добавлять «по вкусу» ещё столько же, выбирая их в зависимости от тематики вашей работы.
Прежде чем перейти к более формальному описанию того, что мы назвали стандартными оборотами, мы хотим подчеркнуть некоторые принципиальные различия между русским и английским языком.
| §6. Ещё раз о пословном переводе |
Одно из главных различий между русским и английским языками — наличие падежей в первом и их отсутствие во втором. Другая важная особенность русского языка, отличающая его от английского, — это большая изменяемость слов (суффиксы, окончания, спряжение) по числу, роду, падежу и пр.
Это два обстоятельства придают русскому языку бóльшую гибкость, бóльшую свободу в управлении, позволяют разнообразить порядок слов и придаточных предложений. Напротив, в английском порядок слов (и частей фразы) значительно более жёсткий — чаще всего английское предложение в научном тексте строится по схеме:
вводное слово → подлежащее → сказуемое →
→ прямое дополнение → другие дополнения
К тому же английский язык более активный, он очень плохо переносит отглагольные существительные и бессодержательные слова-заполнители, конструкции вроде «появляется возможность рассмотрения», «настоятельная необходимость построения методов исследования» и т.п.
Эти языковые особенности приводят к тому, что при пословном переводе русского математического текста на английский (при полном соблюдении так называемых «правил грамматики английского языка») получается чрезвычайно тяжеловесный, в сущности нечитаемый, не английский текст. Более того, как мы видели выше, часто «теряется управление», и как следствие возникают серьёзные смысловые ошибки.
При желании оставаться как можно ближе к русскому тексту, в частности, соблюдать общую структуру фразы и, по возможности, порядок слов, приходится передавать функции падежных окончаний каким-то другим грамматическим механизмам, свойственным английскому языку. Основной используемый механизм — употребление словечек (предлогов), в частности of, in, on, at, for, under, fromover.
Эти словечки должны появляться и при переводе русских предлогов (в, на, от, при, для, под, над). Трудность здесь состоит в том, что человек, не являющийся носителем английского языка, не знает, какие именно «словечки» нужны в той или иной ситуации. Почему-то по-английски говорится under the mapping, но as n→∞, в то время как по-русски здесь в обоих случаях при, группа преобразований переводится как transformation group, а вот система уравнений — как system of equations. Как постичь это нелёгкое искусство? Неужели для написания хорошего математического текста нужно держать в памяти тысячи и тысячи конкретных правильных конструкций с предлогами?
К счастью, без этого можно обойтись. В используемых нами оборотах мы избегаем, по возможности, конструкций с предлогами, обходясь более простыми построениями. Наиболее часто употребляемые обороты с привлечением предлогов (например, словосочетание ограничение на пространство) сведены в специальное дополнение (Приложение III). Кроме того, порядок слов в предлагаемых здесь оборотах — вполне английский, в них отсутствуют «управляющие связи» между различными частями предложений (см. по этому поводу § 15).
Итак, не перевод, а пересказ. А пересказ основывается на стандартных оборотах — штампах.
| §7. Математические штампы |
Математический штамп — это заготовка для создания однотипных математических высказываний; заготовка состоит из текста с пробелами для переменных слов (или словосочетаний); заполняя эти пробелы словами надлежащего типа, вы можете превращать штамп в конкретные математические высказывания.
Предъявляя штамп, мы будем указывать в угловых скобках тип переменных слов (словосочетаний), которые можно вставить в каждый пробел. Например, один из самых ходовых штампов
| THE áтерминñ IS áхарактеристикаñ |
имеет два пробела, типа термин и характеристика, и порождает такие математические обороты как
The function f is continuous.
The manifold M is smooth.
Мы различаем всего три типа переменных слов (словосочетаний): кроме двух названных бывают ещё и ссылки. Тип ссылка появляется, например, в таком популярном штампе:
| áссылкаñ FOLLOWS FROM áссылкаñ |
Он порождает, например, такие обороты:
Theorem 2.1 follows from Poincaré duality.
The last statement follows from Lemma 3.2.
Приведём ещё несколько часто встречающихся штампов, вместе с примерами их заполнения.
| FOR ANY áтерминñ THERE EXISTS А áтерминñ |
For any natural number there exists a successor.
For any projective space RP n there exists a smooth embedding RP n Ì R2n.
Целую серию штампов можно получить на основе бинарных отношений, таких как is, has, gives, is contained in, is isomorphic to, coincides with, generates, contains, spans и т.д.
Например,
| THE áтерминñ CONTAINS A áтерминñ |
The algebra sl(n) contains a primitive subalgebra.
The space X contains a dense ε-net.
В штампе может быть и более двух переменных слов, как, например, в популярном в алгебре штампе
| THE SET OF ALL áтерминыñ IS A áтерминñ |
The set of all integers is a group with respect to the sum operation.
The set of all square integrable functions is a Banach space with respect to the norm || f || = (∫ f 2 dx)1/2.
В роли переменного слова могут выступать математические символы или формулы, например,
For any xÎ(0, 1) there exists а y>x, yÎ(0, 1).
(I) Þ (II) follows from (2.7).
Имеются штампы, в которых некоторые пустые места обязательно должны заполняться символами, например,
| DENOTE BY áсимволñ ANY áтерминñ |
Denote by x any element of X.
Denote by r any positive number.
Закончим этот краткий список штампов примером, часто используемым при формулировке определений. Мы видели, что определения — тонкое место, в котором русскоязычный автор чаще всего использует «лже-штампы» — придуманные им самим английские кальки русских конструкций, неловко звучащие или непонятные англоязычному читателю. Приведём пример «хорошего» штампа:
| ANY áтерминñ IS CALLED áхарактеристикаñ |
Any element xÎK+ is called positive.
Any map f ÎC∞(Rn, Rm) is called smooth.
В заключение этого параграфа — два замечания.
Первое. Часть приведённых штампов чаще всего появляется не самостоятельно, а как часть более сложных конструкций. Например, последние два штампа естественно продолжаются так:
Denote by G any group such that ...
Any map i: X → X is called involutive if ...
Мы не предлагаем в этой книге никаких длинных штампов; длинные фразы можно получить, комбинируя наши короткие штампы с помощью так называемых разделителей. Об этом рассказано в § 11.
Второе. Читатель, возможно, заметив артикли, появляющиеся в некоторых штампах, задавал себе вопрос — почему the, а не a (или наоборот)? Этот вопрос мы обсудим в §§ 9–10.
Упражнение 3. Используйте каждый из штампов §7 для создания математического высказывания по вашей специальности.
Упражнение 4. Перескажите по-английски следующий математический текст, используя только обороты, основанные на семи штампах, указанных выше, вводные слова suppose, then и слова-разделители such that, if, where.
Пусть k: S 1 → R3 — гладкий узел. Обозначим через φ отображение S 1 → G(1, 3), посылающее каждую точку sÎk(S 1) в прямую, параллельную касательной к k(S 1) в точке s. Рассмотрим элемент σÎπ1(G(1, 3)), порождённый путём φ(k(S 1)). Пусть этот элемент не тривиален.
Не требуется буквальный, близкий к тексту перевод, а только пересказ, передающий смысл текста.
Ответ
Suppose k: S 1 → R3 is a smooth knot. Denote by φ the map S 1 → G(1, 3) such that for any point sÎk(S 1) the image φ(s) is the line parallel to the tangent to k(S 1) at the point s. Denote by σ the element of π1(G(1, 3)), where σ is generated by the path φ(k(S 1)). Suppose this element is nontrivial.
| §8. Термины, характеристики, ссылки |
Как было сказано в предыдущем параграфе, в штампы вставляются переменные слова, разбитые нами на три типа. Эти типы (термин, характеристика, ссылка) — нечто вроде частей речи математического текста.
Характеристики — это слова или словосочетания, исполняющие роль прилагательного, уточняющие (сужающие, характеризующие) смысл математического понятия. Примеры: continuous, Jordan integrable, abelian, decreasing, associative, k-connected, admissible, hyperelliptic, Banach, stable in the sense of Lyapunov, arcwise connected, self-contradictory, asymptotically stable и т.п. 3
Термины — это главные действующие лица математической теории, исполняющие роль существительных. Например: set, function, smooth manifold, Banach space, foliation, linear differential equation of the second order, point, element of G, x-axis, zeta-function, small category, G-structure, K(π, n)-space, multiple integral, CW-complex, Chebysheff polynomial.
Термины обычно снабжаются артиклями, но этот важный вопрос обсуждается отдельно в § 9.
Ссылки появляются, когда мы комментируем математический текст, они обычно играют роль существительных, но обозначают не объекты теории, а её высказывания или куски высказываний; выражаясь высокопарно, можно сказать, что они относятся скорей к метаматематике, чем к математике. Примеры: the proposition, Theorem 2.1, the previous lemma, Hilbert's method, the WKB method, К AM theory, the paper [3] и т.п.
Одно и то же английское слово иногда можно отнести к двум (если не к трём) разным типам (в нашем смысле). Так, слово proposition может быть как термином (в математической логике), так и ссылкой (see Proposition 3.7), слово integral является и термином, и характеристикой.
Упражнение 5. Определите тип (термин, характеристика, ссылка) выделенных слов в следующем тексте.
Пусть Xi: Ω → R — случайная величина на (Ω, F, P), измеримая относительно σ-алгебры Ai Ì F, i=1, 2, и пусть α(A1, A2) = α. В силу Теоремы 2 соотношение (3) можно заменить неравенством
|cov(X1, X2)| ≤ 15α||X1||·||X2||.
Более того, существуют вероятностное пространство (Ω, F, P) и такие случайные величины Yi, что ...
Ответ
Случайная величина — термин,
измеримая — характеристика,
σ-алгебра — термин,
Теорема 2 — ссылка,
неравенством — термин,
вероятностное пространство — термин,
случайные величины — термин.
| §9. Термины как объекты и понятия: артикли |
Термины в математических текстах бывают двух сортов — понятия и объекты. В английских математических текстах понятия снабжаются артиклем a, а объекты — артиклем the. Вы будете правильно ставить артикли перед терминами, если научитесь различать объекты и понятия. А это совсем просто (для математика, понимающего создаваемый им текст).
Математический объект — это термин (слово или словосочетание), который был ранее зафиксирован или который однозначно определён контекстом.
Математическое понятие — это термин (слово или словосочетание), описывающий целый класс объектов, или представитель такого класса, фиксируемый в данный момент.
Так, в предложении «Группа Γ0, рассмотренная в § 3, не проста» словосочетание группа Γ0 — объект (ранее зафиксирован). В предложении же «(Zn, +) является группой» слово группа — понятие (класс объектов). В предложении «Число P=max {a i} положительно» словосочетание число P — объект (однозначно определён контекстом). А в предложении «Выберем такое число nÎN, что n>π» словосочетание число nÎN — понятие (выбираемый в данный момент представитель класса).
Поэтому при пересказе этих четырёх фраз артикли расставляются так:
The group Γ0 considered in § 3 is not simple.
(Zn, +) is a group.
The number P=max {a i} is positive.
Choose a number nÎN such that n>π.
Упражнение 6. Определите, какие термины — объекты, какие — понятия, и перескажите следующие предложения по-английски.
1) Поле вычетов Z5 не является алгебраически замкнутым.
2) Значение функции f (z) = 1/(iz) при z=2 — чисто мнимое.
3) Степенной ряд вида ∑ anzn может расходиться.
4) Функция w=1/z порождает инверсию.
Ответ
Поле вычетов Z5 — объект,
значение функции — объект,
степенной ряд — понятие,
функция w=1/z — объект,
инверсия — понятие.
1) The residue field Z5 is not algebraically closed.
2) The value of the function f (z) = 1/(iz) for z=2 is purely imaginary.
3) A power series of the form ∑ anzn can diverge.
4) The function w=1/z generates an inversion.
Вернёмся теперь к нашим штампам. Самый первый (см. § 7) можно теперь уточнить, записав его в виде
| THE áобъектñ IS áхарактеристикаñ |
(Мы заменили áтерминñ на áобъектñ.) Четвёртый и пятый штампы из § 7 можно переписать так:
| |
|
В последнем штампе мы оставили без изменений слово áтерминыñ: дело в том, что здесь (в множественном числе) артикля не требуется. В дальнейшем в наших штампах мы будем явно указывать, какие термины — объекты, какие — понятия.
Упражнение 7. Сделайте это для остальных штампов из §7.
Ответ
| |
| |
|
Заметим, что в английском языке имеются вполне грамматически правильные видоизменения штампов с is — конструкции вида
| A áпонятиеñ IS A áпонятиеñ |
| A áпонятиеñ IS THE áобъектñ |
однако мы не включаем их в наш список штампов, поскольку они — особенно второй — редко используются в математических текстах. Конечно, можно (пользуясь первым из них) сказать: A one-point subset of R is a compact set, но эту мысль лучше выразить с помощью другого штампа: Any one-point subset of R is a compact set.
Отметим ещё два часто используемых 4 штампа с артиклем a:
| |
|
Может показаться, что артикль a во втором штампе не логичен (áпонятиеñ однозначно определено контекстом, поэтому хочется сказать the unique); однако, то обстоятельство, что áпонятиеñ в этом месте вводится (фиксируется, обозначается), превалирует над тем, что оно определено контекстом. Не в нашей власти менять живой английский язык — в этом контексте англоязычные математики всегда говорят a unique; запомнив этот особый случай, так же будем поступать и мы.
Вот ещё два штампа с артиклем a:
| |
|
Первый, так же как штамп there exists а (которому он синонимичен), обычно используется с разделителем such that. А вот пример употребления второго штампа:
The equation has a nontrivial solution.
В заключение этого параграфа отметим один важный штамп с двумя артиклями the:
| THE áобъектñ IS THE áобъектñ |
The number 17 is the smallest Gaussian integer.
Разумеется, всё сказанное про штампы с is переносится на штампы, в которых вместо is стоит другое бинарное отношение (см. § 7).
В заключение этого параграфа — одно замечание про модификацию an артикля aa. В Москве и в других российских городах студентов и школьников учат, что an ставится вместо a перед словом, начинающимся с гласной. Это неправда. Вот два контрпримера:
Let M be an n-dimensional manifold.
Suppose P has a y-coordinate greater than 1.
На самом же деле an ставится перед гласным звуком (звуком, а не буквой!). Названия некоторых согласных начинаются с гласного звука (например, n) и наоборот (например, y). Словом, нужно ориентироваться на произношение, а не на формальную принадлежность букв к фонетическим категориям.
| §10*. Артикли: аксиоматический подход |
В предыдущем параграфе мы видели, как выбираются артикли a и the при использовании штампов. Это оказалось делом нехитрым; автор уверен, однако, что продвинутый читатель испытывает определённое разочарование — ему хотелось знать, какой артикль ставить и в более сложных ситуациях, не ограничиваясь простыми штампами, отобранными мной для этой книги. Для такого читателя написан этот (необязательный) параграф.
Обещанные правила мы сформулируем в виде аксиом; но при этом нужно иметь в виду, что система аксиом не будет непротиворечивой: в некоторых ситуациях применимы сразу две аксиомы, дающие противоположные указания. В этом, однако, нет ничего страшного — в этих ситуациях любой выбор допустим; какой из них лучше (вопрос уже вкусовой), зависит от автора и от того нюанса, который он хотел подчеркнуть.
| А) Математические термины в единственном числе | |||
| I. | Артикль the ставится перед термином, если | ||
| II. | Артикль a ставится перед термином, если | ||
| III. | Никакого артикля не нужно, если перед термином стоит один из «языковых кванторов» (some, each, any, a certain, every и т.п.). | ||
| IV. | Нулевой артикль (= отсутствие артикля) «используется» в двух основных случаях: | ||
|
Рассмотрим соответствующие примеры. | |||
| (1) | In topology continuity is the main notion. This theorem is proved in Morse theory. Однако к более частным теориям может ставиться артикль, так: This is a standard theorem in the topology of smooth manifolds. | ||
| (2) | A polynomial of degree n. A circle of radius r. A manifold of dimension 3. The point P0 with coordinates (5, –2). The function in coordinate representation. A function of bounded variation. | ||
| (3) | A curve in space or in the plane. A surface in three-dimensional Euclidean space. | ||
| Для знатоков отметим, что артикль the иногда употребляется и перед общими понятиями, как, например, в предложении The notion of the differential equation is a great invention of mankind, хотя, по моему мнению, здесь лучше звучит конструкция с нулевым артиклем: The notion of differential equation is a great invention of mankind. | |||
| B) Ссылки в единственном числе | |||
| V. | Если ссылка снабжена номером или другим символом (например, Lemma A, Theorem 2.1, equation (2)), артикль ставить не нужно. This proves Theorem 2.1. (Но: This proves the theorem ...) It follows from Lemma 3 that ... | ||
| VI. | Если ссылка (не снабжённая номером) касается приведённого в данной статье текста, нужен артикль the (the previous lemma, the subsequent proof, the condition n>3). | ||
| VII. | Если ссылка (не снабжённая номером) относится к новым, впервые здесь упомянутым текстам, нужен артикль a. Here we construct a new theory of ... | ||
| VIII. | Если ссылка относится к какой-либо науке вообще, применяется нулевой артикль. In homology theory ... | ||
| IX. | Ссылки на литературу снабжаются артиклем the (see the paper [2]). | ||
| С) Множественное число (термины и ссылки) | |||
| X. | Если в единственном числе требуется артикль a (или есть сомнения в том, что требуется артикль the), то во множественном числе артикля не нужно. | ||
| XI. | Если в единственном числе требуется артикль the, то во множественном тоже. | ||
| XII. | Если термин или ссылка (без номера) является подлежащим основного сказуемого данного предложения, ставится артикль the. | ||
| XIII. | В заголовках следует избегать артиклей, например, используя термины во множественном числе вместо единственного. | ||
Упражнение 8. Возьмите препринт англо-саксонского автора по вашей специальности и для каждого артикля (в том числе нулевого) определите, в соответствии с какой из аксиом I–XIII он был поставлен.
| §11. Разделители, составные конструкции и запятые |
Все штампы, которыми мы пользуемся, достаточно короткие и простые. Однако, комбинируя их, можно строить и более длинные составные предложения, пользуясь служебными словами-разделителями. Схематически это выглядит так:
| [штамп 1] → áразделительñ → [штамп 2]. |
или в более общем виде
| [штамп 1] → áразделитель 1ñ → |
Примеры :
[There exists a δ>0] ásuch thatñ [U contains f (Oδ x)].
[Suppose x is a root of equation (2.1)] ásuch thatñ [(λx, x) is positive] á, whereñ [λ is the least eigenvalue of the operator A].
В качестве разделителей выступают следующие слова (словосочетания): if | , where | when | whenever | such that | and | or | but | although | unless | provided | , i.e., | whence.
Разделители обладают следующим замечательным грамматическим свойством: они семантически связывают синтаксически законченные части предложений, но не требуют никаких внутренних согласований отдельных слов (и их окончаний) внутри разных частей. Не все служебные слова обладают этим свойством: например, словечки that и which, а также местоимения, как правило, выполняют определённую грамматическую функцию внутри той части предложения, которую они открывают, и часто требуют некоторого синтаксического согласования с предыдущими частями.
Таким образом, при использовании разделителей (и их выборе) нужно следить за семантикой (математическим смыслом) предложения, но нет нужды думать о синтаксисе (грамматике). В наших составных предложениях отдельные штампы выстраиваются в ряд, а разделители играют роль маркеров, обозначая конец предыдущего штампа и начало последующего. Структура фразы поэтому получается линейной, сложноподчинённые придаточные предложения исключены.
Небольшое отступление о запятых. Заметим, что запятая сама может играть роль разделителя. Например,
[Supposef : M → N is a map] ásuch thatñ [ f (M) is compact] á,ñ [the closure f (M) coincides with N], áandñ || f || < ∞.
Далее, перед разделителями where и i.e. обязательно ставится запятая (таким образом, разделителем являются не сами эти словечки, а конструкции á, whereñ и á, i.e.,ñ. Перед разделителем and запятая ставится только, если предшествующие два штампа разделены запятой-разделителем, т.е. при перечислениях утверждений или условий. Перед остальными разделителями запятая не ставится никогда. Особенно неуместна (но часто встречается в плохих переводах) «русская запятая» перед such that.
Вообще же, использование запятых в английском языке принципиально отличается от их использования по-русски. Основная цель расстановки знаков препинания в русском тексте — продемонстрировать читателю, что автор владеет правилами русской пунктуации. В английском языке правил пунктуации просто нет, и запятые ставятся для удобства читателя. Поэтому в хороших математических текстах запятые — редкие гости. Мысль развивается линейно, с неукоснительной логикой и без пауз. Запятые появляются разве что при перечислениях, или могут отделять вводные выражения (см. § 13) в начале фразы (если требуется смысловая пауза), наконец они играют роль «слабых скобок», выделяя разные дополнения или отступления от основной мысли (как запятые перед where в ситуации, описанной выше, или запятая перед which, отделяющая так называемую restrictive clause, см. § 16).
Русскоязычному читателю особенно трудно будет отделаться от «русской запятой» перед such that и that, он будет забывать про запятую перед союзом and, возвещающую о конце перечисления. Но со временем и здесь появится свой — уже англоязычный! — автоматизм. Возвращаясь к разделителям, отметим, что их выбор не должен вызывать затруднений, однако несколько замечаний могут здесь оказаться полезными. Во-первых: such that — цельная конструкция; such и that нельзя разводить так, как разводятся такой и что по-русски. Например, следующая калька с русского:
Consider such a number n that f (n) > C.
недопустима. Здесь естественна следующая составная конструкция:
Let n be a number such thatf (n) > C.
Во-вторых, отметим явно (хотя математику это должно быть и так ясно), что разделитель áifñ (перед которым запятая не ставится) отвечает импликации Ü (а не импликации Þ, как в if ..., then конструкции). В-третьих, посоветуем пользоваться разделителем whenever; это словечко не имеет хорошего аналога на русском языке, оно означает если только, всегда когда и т.п. и хорошо звучит, например, в следующих предложениях:
The function f n is increasing whenever n is even.
The integral ∫K f dσ is defined whenever K is compact.
Упражнение 9. Разбейте следующие длинные фразы на синтаксически независимые куски и перескажите их по-английски с использованием разделителей.
Преобразование z = x–7/8 сводит уравнение (2) к виду (6), а его решение к виду (8), где a — калибровочный коэффициент, который выбирается из условия, что константа C в уравнении (6) равна 1.
Нули функции D(p) не могут иметь предельных точек на действительной оси, но так как они образуют ограниченное множество без других предельных точек, этих нулей лишь конечное число.
Для топологического пространства W пусть O(W) и O1(W) будут, соответственно, классы всех открытых подмножеств W и всех открытых подмножеств W, содержащих вместе с любой точкой замыкание некоторой её окрестности.
Указание. Не бойтесь отступать от буквы текста.
Ответ
The trasformation z = x–7/8 reduces equation (2) to the form (6); this transformation reduces the solution of (2) to the form (8); here a is the gauge coefficient; a is chosen so that the constant C in equation (6) is equal to 1.
The zeros of the function D(p) have no limit points on the real axis. The set of zeros of the function D(p) is bounded. This set has no other limit points. Therefore this set is finite.
Suppose W is a topological space. Denote by O(W) the class of all open subsets of W. Further, denote by O1(W) the class of all open subsets U of W such that if xÎU, then there exists a neighborhood V of x for which VÌU.
Успешное выполнение этого трудного упражнения говорит о довольно высоком уровне читателя. Если вы с ним не справились, имейте в виду: писать «свой» текст намного легче, чем переводить трудный чужой.
| §12. Рекурсивные конструкции |
Под рекурсивными конструкциями мы понимаем схемы построения фразы, в которых в качестве переменной появляется не слово (термин, характеристика, ссылка), а целый штамп. Вот пример, часто встречающийся в естественных текстах:
| FROM áссылкаñ IT FOLLOWS THAT [штамп] |
From Theorem 3.1 it follows that the function φ is upper semi-continuous.
From our definition it follows that M contains an irreducible manifold.
Полезна (часто используется) и такая рекурсивная конструкция:
| SINCE [штамп 1], WE SEE THAT [штамп 2] |
Since f is unbounded, we see that the integral ∫ f dx is undefined.
Вариантами этой конструкции являются:
| SINCE [штамп], WE HAVE áформулаñ |
Since f is bounded, we have ∫ f (x) dx < ∞.
|
Since the expression in brackets is positive, we obtain the required inequality.
Отметим несколько распространённых искажений этих конструкций. После follows не следует опускать словечко that; не нужно это словечко вставлять после have перед формулой, и вообще we have that звучит неловко, лучше we see that. Недопустима и конструкция since [штамп], then [штамп], аналог русской конструкции так как [штамп], то [штамп] 5.
Заметим, что на самом деле в конструкциях настоящего параграфа вместо переменных штампов можно вставлять и составные предложения. Именно поэтому мы называем эти конструкции рекурсивными. В принципе можно даже рекурсивные конструкции подставлять в качестве переменных внутри самих себя, но это редко бывает полезным и в целом нежелательно.
Приведём ещё несколько достаточно сложных, но вполне приемлемых примеров.
| FOR ALL áпонятияñ SUCH THAT [штамп], |
For all functions f of class C∞ such that the inequality || f || < C is satisfied, where the constant C is independent of t, we have ∫M f dx < ∞.
| FOR ANY áпонятиеñ SUCH THAT [штамп 1], |
For any random variable X such that X·Y0 is measurable with respect to A, it follows that the mixing coefficient is bounded.
В последнем примере мы комбинируем две из предыдущих конструкций.
Since [ f is unbounded] we see that [ for any áconstant Cñ such that [1/C < ε] it follows that [áthe integral ∫K Cf dx < ∞ñ is ádivergentñ]].
| §13. Вводные выражения |
Вводные выражения в математических текстах — это стандартные слова или словосочетания, появляющиеся в начале фразы и выполняющие определённые семантические функции, но не влияющие на дальнейший синтаксис предложения. В отличие от штампов, они не являются синтаксически замкнутыми и поэтому требуют продолжения. Для иллюстрации рассмотрим следующий текст:
Suppose f (a) andf (b) have opposite signs. Then, since f is continuous, it follows that there exists a point cÎ[a, b] such that f (c) = 0. Without loss of generality, we can assume that f (a) < 0 and f (b) > 0.
Здесь мы выделили жирным шрифтом три вводных выражения. Их функции понятны — они могут определять контекст следующей за ними фразы, связывать её с предыдущей, нести определённую смысловую нагрузку. Часто вводные выражения употребляются как комментарий к последующему тексту, могут оживлять и украшать его, не требуя при этом установления внутренних грамматических связей (синтаксических изменений) в последующем тексте.
Вводные выражения появляются очень часто (в начале абзаца — почти всегда); типичная фраза математического текста имеет вид
| |
|
А вот пример с тремя штампами:
áNow we can suppose thatñ [there exists a free group F] ásuch thatñ [G is isomorphic to FÅK] á, whereñ [K is finite].
Мы приведём здесь список наиболее ходовых вводных выражений, сгруппированный по близости смысла. Более полный список приводится в Приложении II. Наш список возглавляют два наиболее употребительных однословных вводных выражения suppose и then.
О них хочется сказать особо. Suppose (= пусть) — универсальное слово, наряду со словом let (см. § 18), открывающее почти все математические рассуждения или «подрассуждения». Then (= тогда) — универсальное слово, открывающее почти все фразы, продолжающие уже начатое рассуждение. Я очень советую пользоваться конструкцией
| SUPPOSE [штамп 1]; THEN [штамп 2] |
как можно чаще, избегая соблазна загнать присутствующую здесь импликацию ([штамп 1] Þ [штамп 2]) в единую фразу без точки с запятой. Особенно это полезно, когда перед вами уже написанный по-русски текст, состоящий из громоздких фраз, содержащих импликации явно или неявно (в виде следования или последования); как вас учили в школе, громоздкую фразу вы логически разбиваете на условие («что дано») [штамп 1] и заключение («что требуется доказать») [штамп 2] и используете suppose ...; then ... конструкцию. Это очень просто, снимает необходимость маневрировать с придаточными предложениями, хитрыми временами глаголов и прочей грамматикой и приводит к прозрачному тексту.
А вот и список основных вводных выражений. Более полный список приводится в Приложении II.
Suppose | Assume that | Now suppose that | Further assume that
Then | Further, | Finally | Moreover | Now
Therefore | Hence | It follows that | Thus
Similarly | In the same way | As above,
For example | In particular | In this case,
Let us prove that | Let us show that | We now prove that
Note that | Let us remark that
Prove that | Show that
It is clear that | It is obvious that | It is evident that | It is easily proved that
But | However | Nevertheless,
By assumption | By the inductive assumption | By definition | By construction,
Without loss of generality it can be assumed that
To be definite | For the sake of being definite
It remains to check that | Now we must only prove that
This means that | In other words,
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 242; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!