Какое место заняла каждая команда, если известно, что в каждом высказывании одно утверждение верно, а другое ложно?
РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:
· с помощью рассуждений.
· табличный способ;
· средствами алгебры логики;
III. Решение логических задач средствами алгебры логики.
Обычно используется следующая схема решения:
1. изучается условие задачи;
2. вводится система обозначений для логических высказываний;
3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
4. определяются значения истинности этой логической формулы;
5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.
Пример 1.
Учитель проверил работы трех учеников: Алеши, Димы и Саши, но не захватил их с собой. Ученикам он сказал:
"Все вы написали работу и получили разные оценки.
У Саши не "5",
у Димы не "4",
а вот у Алеши, по-моему "4".
Впоследствии оказалось, что учитель ошибся: одному ученику сказал верно, а двум другим - нет. Определите, какие оценки ученикам поставил учитель?
Решение: 1. С5 - Саша получил не "5";
2. Д4 - у Димы не "4";
3. А4 - У Алеши "4".
Мы знаем, что учитель одному сказал верно, другим двум нет. Тогда получаем: С5•Д4•А4+С5•Д4•А4+С5•Д4•А4 = 1 (Истина);
|
|
|
Учитывая, что ученики получили разные оценки, имеем:
С5•Д4•А4 = 0 (Ложь), поскольку два ученика одновременно не могут получить "4"; С5•Д4•А4 = 0 (Ложь), так как, если Сергей получил "5", то один из двух других должен получить "4";.
Следовательно истинно только высказывание: С5•Д4•А4
Ответ: Алеша - "5", Дима - "4",Саша - "3".
Пример 2.
Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.
— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.
— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.
Питер, к которому обратился Ник, возмутился:
— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.
По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?
Решение.
Введем обозначения для логических высказываний:
Ш — победит Шумахер;
Х — победит Хилл;
А — победит Алези.
Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.
|
|
|
Зафиксируем высказывания каждого из друзей:
Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание:
Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.
Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.
Пример 3. Четыре команды: "Артек", "Сокол", "Вымпел" и "Метеор" - в спортивных соревнованиях заняли четыре призовых места, причем ни одно место не было разделено между командами. О занятых командами местами были получены три высказывания:
1. "Второе место "Сокол", а "Метеор" третье";
2. "Победителем вышел "Сокол", а "Вымпел" был вторым";
3. "Второе место занял "Артек", а "Метеор" был последним".
Какое место заняла каждая команда, если известно, что в каждом высказывании одно утверждение верно, а другое ложно?
Решение:
Обозначим каждое высказывание используя алгебру логики:
1. С2•М3; 2. С1•В2; 3. А2•М4.
Нам известно, что в каждом высказывании одно утверждение истинно, другое ложно. Итого получаем:
|
|
|
(С2•М3+С2•М3)•(С1•В2+С1•В2)•(А2•М4+А2•М4) = 1;
Используя распределительный закон получаем:
(С2•М3•С1•В2+С2•М3•С1•В2+С2•М3•С1•В2+С2•М3•С1•В2)•(А2•М4+А2•М4) = 1;
С2•М3•С1•В2 = 0, С2•М3•С1•В2 = 0, так как "Сокол" не может находиться на двух местах одновременно и на втором месте не может находиться две команды одновременно.
(С2•М3•С1•В2+С2•М3•С1•В2)•(А2•М4+А2•М4) = 1
Снова применяем распределительный закон имеем:
С2•М3•С1•В2•А2•М4 + С2•М3•С1•В2•А2•М4 + С2•М3•С1•В2•А2•М4 + С2•М3•С1•В2•А2•М4= 1.
С2•М3•С1•В2•А2•М4 = 0, одновременно на втором месте две команды быть не может.
С2•М3•С1•В2•А2•М4 = 0 С2•М3•С1•В2•А2•М4 = 0, "Метеор" не может занимать сразу третье и четвертое позиции.
Значит, остается только С2•М3•С1•В2•А2•М4 = 1, так как дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Ответ: "Сокол" - 1 , "Артек" - 2, "Метеор" - 3 и "Вымпел" - 4.
Дата добавления: 2018-09-20; просмотров: 775; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!