Приведение квадратичной формы к главным осям.
Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду, изложенная в предыдущем параграфе, построена по аналогии с геометрической теорией центральных кривых второго порядка, но не может считаться обобщением этой последней теории. В самом деле, в нашей теории допускается использование любых невырожденных линейных преобразований, в то время как приведение кривой второго порядка к каноническому виду достигается применением линейных преобразований весьма специального вида (2), являющихся вращениями плоскости. Эта геометрическая теория может быть, однако, обобщена на случай квадратичных форм от неизвестных с действительными коэффициентами, если потребовать, чтобы матрица преобразования была ортогональной. Такое преобразование называется ортогональным, а сама процедура приведением квадратичных форм к главным осям.
ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем смотреть на матрицу квадратичной формы как на матрицу некоторого линейного оператора в евклидовом пространстве. Если матрица квадратичной формы, то она симметрическая порядка . Если некоторый ортонормированный базис мерного евклидова пространства, то матрица задаёт в этом базисе симметрический оператор . По основной теореме о симметрических операторах в евклидовом пространстве в подходящем ортонормированном базисе его матрица будет диагональной. Пусть матрица перехода от к , тогда .
|
|
Но матрица , как матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому, по теореме 2 §1.6 будет ортогональной, а значит, . Поэтому . А именно так преобразуется матрица квадратичной формы, подвергнутой линейному преобразованию неизвестных с матрицей .
Итак, преобразование неизвестных, имеющее матрицу ортогонально, а матрица , будучи диагональной, соответствует квадратичной форме канонического вида. □
Тот факт, что матрица линейного оператора в базисе, составленном из собственных векторов, имеет диагональный вид (с собственными значениями по главной диагонали) [2], даёт нам метод практического отыскания канонического вида квадратичной формы, а также самого этого ортогонального преобразования.
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
к каноническому виду и написать этот канонический вид.
Решение. Матрица этой формы имеет вид
,
Найдём её характеристический многочлен:
.
Таким образом, матрица имеет двукратный корень и простой корень . Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет
|
|
.
Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям , т. е. решим системы линейных однородных уравнений для каждого .
При имеем
.
Откуда , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный набор решений будет:
Применив к ним процесс ортогонализации, получим:
При имеем
.
Данная система эквивалентна следующей:
,
решением которой будет
.
Остаётся нормировать систему :
Таким образом искомое преобразование имеет вид:
Для того чтобы найти матрицу преобразования , нужно выразить переменные через , т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования . А так как , то достаточно транспонировать матрицу преобразования . Окончательно имеем:
.
Закон инерции.
Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими различными способами. Возникает вопрос, что общего у тех различных канонических квадратичных форм, к которым приводится данная форма ? Этот вопрос тесно связан с другим вопросом: при каком условии одна из двух данных квадратичных форм может быть переведена в другую невырожденным линейным преобразованием? Ответ на эти вопросы, оказывается, зависит от того, рассматриваются ли комплексные или действительные квадратичные формы.
|
|
Рассмотрим вначале произвольные комплексные квадратичные формы, допуская употребление невырожденных линейных преобразований также с произвольными комплексными коэффициентами. Известно, что всякая квадратичная форма oт неизвестных, имеющая ранг , приводится к каноническому виду
,
где все коэффициенты отличны от нуля. Пользуясь тем, что из всякого комплексного числа извлекается квадратный корень, выполним следующее невырожденное линейное преобразование:
при ; при .
Оно приводит форму к виду
, (1)
называемому нормальным; это просто сумма квадратов неизвестных с коэффициентами, равными единице.
Из равенства видно, что нормальный вид зависит лишь от ранга формы . Тогда, если формы и от неизвестных имеют одинаковый ранг , то можно перевести в (1), а затем (1) в , т. к. преобразование, обратное невырожденному, также невырожденное. Таким образом, существует невырожденное линейное преобразование, переводящее в . Так как, с другой стороны, никакое невырожденное линейное преобразование не изменяет ранга формы, то мы приходим к следующему результату:
|
|
ТЕОРЕМА 1. Две комплексные квадратичные формы от неизвестных тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями с комплексными коэффициентами, если эти формы имеют один и тот же ранг. □
Из этой теоремы без труда вытекает
СЛЕДСТВИЕ. Каноническим видом комплексной квадратичной формы ранга может служить всякая сумма квадратов неизвестных с любыми отличными от нуля комплексными коэффициентами. □
Иная ситуация в том случае, когда рассматриваются действительные квадратичные формы и допускаются лишь линейные преобразования с действительными коэффициентами. В этом случае уже не всякую форму можно привести к виду (1), так как это могло бы потребовать извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Если, однако, мы назовем теперь нормальным видом квадратичной формы сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами или , то легко показать, что всякую действительную квадратичную форму можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными, коэффициентами к нормальному виду.
В самом деле, форма ранга от неизвестных приводится к каноническому виду, который можно записать следующим образом (меняя, если нужно, нумерацию неизвестных):
, ,
где все числа отличны от нуля и положительны. Тогда невырожденное линейное преобразование с действительными коэффициентами:
при ; при ,
приводит к нормальному виду
.
Общее число входящих сюда квадратов будет равно рангу формы.
Действительная квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями, однако с точностью до нумерации неизвестных она приводится лишь к одному нормальному виду. Это показывает следующая:
ТЕОРЕМА 2. (закон инерции действительных квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависят от выбора этого преобразования.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть квадратичная форма ранга от неизвестных двумя способами приведена к нормальному виду:
(2)
Так как переход от неизвестных к неизвестным был невырожденным линейным преобразованием, то обратное преобразование, выражающее через также будет невырожденным:
. (3)
Аналогично
, (4)
причем определители из коэффициентов отличны от нуля. Коэффициенты же как в (3), так и в (4) действительные числа.
Предположим теперь, что , и напишем систему равенств
(5)
Если левые части этих равенств будут заменены их выражениями из (3) и (4), мы получим систему линейных однородных уравнений с неизвестными . Число уравнений в этой системе меньше числа неизвестных, поэтому, как мы знаем из [1], наша система обладает ненулевым действительным решением .
Заменим теперь в равенстве (2) все и все их выражениями (3) и (4), а затем подставим вместо неизвестных числа .Если для краткости через и будут обозначены значения неизвестных и , получающиеся после такой подстановки, то (2) превращается, ввиду (5), в равенство
. (6)
Так как все коэффициенты в (3) и (4) действительные, то все квадраты, входящие в равенство (6), положительны, а поэтому (6) влечет за собой равенство нулю всех этих квадратов; отсюда следуют равенства
.
С другой стороны, по самому выбору чисел
.
Таким образом, система линейных однородных уравнений
,
с неизвестными обладает, ввиду (7) и (8), ненулевым решением , т. е. определитель этой системы должен быть равен нулю. Это противоречит, однако, тому, что преобразование (4) предполагалось невырожденным. К такому же противоречию мы придем при . Отсюда следует равенство . □
Число положительных квадратов в той нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма , называется положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов отрицательным индексом инерции. Разность между положительным и отрицательным индексами инерции сигнатурой формы .
Понятно, что при заданном ранге формы задание любого из определенных сейчас трех чисел вполне определяет два других, и поэтому в дальнейших формулировках можно будет говорить о любом из этих трех чисел.
ТЕОРЕМА 3. Две квадратичные формы от неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными действительными линейными преобразованиями, если эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть форма переводится в форму невырожденным действительным преобразованием. Мы знаем, что это преобразование не меняет ранга формы. Оно не может менять и сигнатуры, так как в противном случае и приводились бы к различным нормальным видам, а тогда форма приводилась бы, в противоречие с законом инерции, к этим обоим нормальным видам. Обратно, если формы и имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, то они приводятся к одному и тому же нормальному виду и поэтому могут быть переведены друг в друга. □
Дата добавления: 2018-09-20; просмотров: 676; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!