Линейные операторы в евклидовом пространстве.
Как уже отмечалось в §1.4 (теорема 3), в унитарном пространстве всякий линейный оператор имеет собственный вектор (одномерное инвариантное подпространство). В случае евклидова пространства это утверждение неверно. Однако имеет место следующая
ТЕОРЕМА 1. У всякого линейного оператора в евклидовом пространстве существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем в базис . Оператору в этом базисе соответствует матрица .
Рассмотрим систему уравнений
(1)
и будем искать для нее ненулевое решение . Такое решение существует тогда и только тогда, когда определитель
равен нулю. Приравняв его нулю, мы получим уравнение ой степени относительно с действительными коэффициентами. Пусть есть корень этого уравнения. Возможны два случая:
a) есть вещественный корень этого уравнения. Тогда можно найти вещественные не все равные нулю числа , являющиеся решением системы (1). Считая их координатами некоторого вектора в базисе , мы можем систему (1) переписать в виде
(где столбец из координат вектора )
или ,
т. е. порождает одномерное инвариантное подпространство.
b) , т. е. комплексно. Пусть
есть решение системы (1), подставляя эти числа вместо в (1) и отделяя вещественную часть от мнимой, получим:
(2)
и соответственно
(2')
|
|
Будем теперь (соответственно ) считать координатами некоторого вектора (соответственно ) в , тогда соотношения (2) и (2') можно записать следующим образом:
(3)
Равенства (3) означают, что двумерное подпространство, порожденное векторами и , инвариантно относительно . □
Если потребовать в доказательстве теоремы, чтобы базис был ортонормированным, а оператор нормальным, то векторы и будут ортогональными. Действительно, если собственное значение, то и также будет собственным значением (как корни многочлена с действительными коэффициентами). Соответствующие собственные векторы
,
будут ортогональными (теорема 2 §1.4). Тогда . Следовательно, .
Докажем теперь, что подпространство векторов , ортогональных векторам и , инвариантно, относительно оператора . Оно является пересечением двух подпространств, ортогональных собственным векторам нормального оператора. Если , т. е. , то
.
Аналогично, .
Рассмотрим ограничение оператора в двумерном подпространстве, порождённом векторами и из доказательства предыдущей теоремы. Матрица оператора в базисе будет:
.
Представляя комплексное число в тригонометрической форме , придадим матрице следующий вид
|
|
.
Таким образом, оператор есть композиция операторов с матрицами
и .
Первый из которых соответствует преобразованию подобия с центром в начале координат и коэффициентом растяжения ; второй поворот в плоскости на угол около начала координат.
ТЕОРЕМА 2. (основная о нормальных операторах в евклидовых пространствах). Матрица нормального оператора в евклидовом пространстве имеет клеточно-диагональный вид в подходящем ортонормированном базисе. В клетках порядка 1 находятся действительные числа, а клетки порядка 2 имеют вид .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно аналогично доказательству теоремы 3 §1.4 о нормальных операторах. Отличие состоит в том, что мы не можем утверждать, что характеристический многочлен всегда имеет действительный корень. Но тогда он имеет 2 комплексно-сопряжённых корня и , которые по теореме 1 позволяют определить подпространство размерности 2, инвариантное относительно , которое порождено двумя ортогональными векторами и . Клетка матрицы ограничения оператора в базисе имеет вид .
Так как пространство векторов, ортогональных векторам и так же инвариантно относительно , то осталось воспользоваться индукцией по размерности пространства. □
|
|
ТЕОРЕМА 3. (основная об ортогональных операторах в евклидовых пространствах). В подходящем ортонормированном базисе матрица ортогонального оператора клеточно-диагональная с клетками порядка 1 и 2; причём в клетках порядка 1 содержатся числа 1 или -1, а клетки порядка 2 имеют вид , .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно следует из теоремы 2 о нормальных операторах в евклидовых пространствах и того факта, что собственные значения ортогонального оператора (как частного случая унитарного оператора) по модулю равны 1. Действительно, если модули собственных значений чисел и равны 1, то в тригонометрической форме и клетка имеет вид . □
Пример 3. Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство . По теореме 3 для каждого ортогонального оператора пространства можно найти такую ортонормированную систему векторов , что матрица оператора будет иметь один из следующих шести видов:
Операторы соответствуют следующим преобразованиям пространства:
a) тождественное преобразование;
b) зеркальное отображение относительно плоскости ;
c) зеркальное отображение относительно прямой ;
|
|
d) зеркальное отображение относительно точки ;
e) вращение на угол около оси ;
f) вращение на угол около оси , сопровождаемое зеркальным отображением относительно плоскости .
Для симметрических операторов теорема формулируется так же, как и для эрмитовых. Согласно теореме 2 данного параграфа матрица оператора распадается на клетки порядков 1 или 2. При этом клетки порядка 2 появляются только тогда, когда характеристический многочлен оператора имеет комплексные корни. Но характеристические корни симметрических операторов действительны. Следовательно, справедлива
ТЕОРЕМА 4. (основная о симметрических операторах). Матрица симметрического оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной с действительными числами по главной диагонали. □
ТЕОРЕМА 5. (основная о кососимметрических операторах в евклидовых пространствах). В подходящем ортонормированном базисе матрица кососимметрического оператора евклидова пространства имеет клеточно-диагональный вид с клетками порядков 1 или 2; причём в клетках порядка 1 находится число 0, а клетки порядка 2 имеют вид .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из теоремы 2 о нормальных операторах в евклидовых пространствах и того факта, что собственные значения кососимметрического оператора либо 0, либо чисто мнимое число. □
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I .
1. Выяснить, являются ли ортогональными в евклидовом пространстве следующие системы векторов:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ?
2. Установить, образует ли каждая из указанных систем векторов ортогональный базис в евклидовом пространстве :
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж)
?
3. Является ли нормированным каждый из векторов евклидова пространства :
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж) ?
4. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова пространства , построить ортонормированный:
а) ;
б) ;
в) .
5. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова пространства , построить ортонормированный:
а) ;
б) .
6. Даны векторы евклидова пространства . Найти длины векторов и , их скалярное произведение, косинус угла между ними:
а) ;
б) ;
в) .
7. Выяснить, является ли матрица ортогональной, и если является, то найти обратную ей:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
8. Какому условию должны удовлетворять и , чтобы матрица была ортогональной?
9. Оператор в некотором ортонормированном базисе задан матрицей . Выяснить, является ли оператор ортогональным, если:
а)
б)
в)
10. При каких условиях диагональная матрица будет ортогональной?
11. Оператор имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу . Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, если:
а)
б)
в)
12. Оператор имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу . Выяснить, является ли оператор самосопряжённым, если:
а)
б)
в)
г)
13. При каком значении оператор, заданный матрицей в некотором ортонормированном базисе, является одновременно ортогональным и самосопряжённым, если:
а)
б)
14. Линейный оператор в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу . Найти матрицу сопряжённого оператора в ортонормированном базисе , если:
а)
б)
в)
Дата добавления: 2018-09-20; просмотров: 626; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!