Формула уменьшения числа на заданный процент.
Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое меньше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:
или
Пример. Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13%) составляет:
(руб)
5. Формула вычисления исходной суммы.
Пусть задано число A1, равное некоторому исходному числу A2 с прибавленным процентом P. Надо вычислить число A2. Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС.
Имеем, или
Тогда,
Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС – 18%. Стоимость без НДС составляет: (руб)
Расчет процентов на банковский депозит. Формула расчета простых процентов.
Если проценты на депозит начисляются один раз в конце срока депозита, то сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов.
, где - это сумма процентов (доход)
S — сумма банковского депозита с процентами,
K — первоначальная сумма (капитал),
P — годовая процентная ставка,
d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу,
D — количество дней в календарном году (365 или 366).
Пример 1. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 1 год по ставке 20 процентов.
(руб) – сумма банковского депозита с процентами
(руб) – доход
Пример 2. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 30 дней по ставке 20 процентов годовых.
|
|
(руб)
Доход: 101643,8 – 100000 = 1643,84 (руб)
Расчет процентов на банковский депозит при начислении процента на процент. Формула расчета сложных процентов.
Если проценты на депозит начисляются несколько раз через равные промежутки времени и зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами вычисляется по формуле сложных процентов.
где:
S — сумма депозита с процентами,
К — сумма депозита (капитал),
P — годовая процентная ставка,
n — число периодов начисления процентов.
Пример 1. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 90 дней по ставке 20 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней.
(руб) – сумма банковского депозита с процентами
105013,02 – 100000 = 5 013.02 (руб) – доход
7.2. Формула сложных процентов.
Если процентная ставка дана не в годовом исчислении, а непосредственно для периода начисления, то формула сложных процентов выглядит так
где:
S — сумма депозита с процентами,
К — сумма депозита (капитал),
P — процентная ставка,
n — число периодов начисления процентов.
Пример. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 3 месяца с ежемесячным начислением процентов по ставке 1,5% в месяц.
Доход составил: 104567,84 – 100000 = 4567,84 (руб)
|
|
Рассмотренные выше задачи являются «кирпичиками» из которых в дальнейшем будет складываться решение нашей «экономической» задачи.
Вывод формул
Как оказалось, при решении «экономических» задач на экзамене нельзя пользоваться формулами, которые не изучаются в школе. А ведь именно эти формулы (формулы нахождения простых и сложных процентов) в значительной мере помогают при решении рассматриваемых задач.
Выведем эти формулы самостоятельно.
Для этого рассмотрим два типа задач: с начислением процентов на вклад и начислением процентов на кредит.
ЗАДАЧА 1: Вкладываем деньги в банк, открыв накопительный вклад
Положим в банк 3 млн. рублей под 15% годовых.
(В=3 млн.руб – ежегодная сумма взноса)
Вспомним, что:
Другими словами можно сказать, что сумма на нашем счёте ежегодно будет увеличиваться в 1,15 раза.
Давайте посчитаем, сколько денег будет на нашем счёте после каждого года:
В первый год, когда мы только начнём откладывать деньги, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года мы отложим три миллиона рублей:
В=3m (сумма взноса = 3 миллиона рублей)
В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нам нужно умножить на 1,15. Однако в течение второго года мы также доложили еще три миллиона рублей. Разумеется, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, потому что к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:
|
|
3m⋅1,15+3m
Итак, третий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15.
И опять же, в течение всего года мы еще отложили три миллиона рублей:
(3m⋅1,15+3m)⋅1,15+3m
Четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще три миллиона, потому что в течение четвертого года мы также откладывали деньги:
((3m⋅1,15+3m)⋅1,15+3m)⋅1,15+3m
А теперь давайте раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к концу четвертого года откладывания денег:
((3m⋅1,15+3m)⋅1,15+3m)⋅1,15+3m = (3m⋅1,152+3m⋅1,15+3m)⋅1,15+3m = =3m⋅1,153+3m⋅1,152+3m⋅1,15+3m = 3m(1,153+1,152+1,15+1) = =3m(1+1,15+1,152+1,153)
Как видим, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у нас стоит сумма элементов геометрической прогрессии.
|
|
Вспомним, что если геометрическая прогрессия задана элементом b1, а также знаменателем q, то сумма элементов будет вычисляться по формуле:
В нашем случае b1=1; q=1,15
Теперь мы можем посчитать сумму:
В итоге мы получаем, что за четыре года накоплений наша исходная сумма увеличится в пять раз, т. е. составит 3m 5 = 15 миллионов.
Но нашей целью было не просто решить задачу, а увидеть закономерность, которая дала бы возможность записать формулу, позволяющую найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через проценты, которые начисляет банк.
Получили:
где:
S – общая сумма вклада
В – ежегодная сумма взноса
n – число периодов начисления процентов
ЗАДАЧА 2: Проценты по кредитам
Возьмем два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору мы должны платить x рублей в месяц. Допустим, что кредит мы взяли по ставке 20% годовых. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет три года.
Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.
Итак, в самом начале, как только мы вышли из банка у нас в кармане два миллиона, и это и есть наш долг.
К = 2m ( кредит = 2 миллиона рублей)
Затем спустя один год на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:
В нашем случае речь идет о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:
Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. В конце первого года на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после этого нам будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. x рублей в год:
2m⋅1,2 − x
Далее к концу второго года уже на эту сумму будут вновь начислены проценты:
(2m⋅1,2 − x) ⋅1,2 − x
И вновь мы вносим платеж в размере x рублей.
Затем к концу третьего года сумма нашей задолженности еще раз увеличивается на 20%:
((2m⋅1,2 − x)⋅1,2 − x)1,2 − x
И по условию за три года мы должны полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:
((2m⋅1,2 − x)⋅1,2 − x)1,2 – x = 0
Решим это уравнение:
(2m ⋅ 1,22 − x⋅1,2 − x) ⋅ 1,2 – x = 0
2m ⋅ 1,23 – x ⋅ 1,22 – x ⋅ 1,2 – x = 0
2m ⋅ 1,23 = x ⋅ 1,22 + x ⋅ 1,2 + x
2m ⋅ 1,23 = x (1,22+1,2+1)
Перед нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:
2m ⋅ 1,23 = x (1+1,2+1,22)
Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Запишем:
b1=1; q=1,2
Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:
Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами (b1;q) считается по формуле:
Подставляем эту формулу в наше выражение:
А теперь, запишем эту формулу в общем виде:
где:
К – сумма кредита
x – сумма платёжа
– процентная ставка
n – сроки предоставления кредита
Эта формула связывает проценты, кредиты, платежи и сроки.
Именно с помощью этой формулы и формулы суммы геометрической прогрессии решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по математике.
Решение задач .
Задача 1.
31 декабря 2017 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (т.е. за три года)?
Решение:
1 год:
2 год: =
3 год:
После третьего взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решим полученное уравнение.
Ответ: x = 2916000 рублей.
Как видим, этот вариант записи решения не очень эффективен, так как содержит промежуточные вычисления величин. А в условиях экзамена (стрессовая ситуация) это может привести к ошибочным вычислениям и, как следствие, к неверному решению задачи.
Применим другую запись решения этой задачи.
Решение:
Пусть S = 6 944 000 – величина кредита,
x – искомая величина ежегодного платежа.
Первый год: долг: 1,125S;
платеж: x;
остаток: 1,125S – x.
Второй год: долг: 1,125(1,125S – x);
платеж: x;
остаток: 1,125(1,125S – x) – x.
Третий год: долг: 1,125(1,125(1,125S – x) – x;
платеж: x;
остаток: 0, потому что по условию было всего три платежа.
Единственное уравнение, которое надо решить:
1,125(1,125(1,125S – x) – x) – x = 0
1,1253 S = 3,390625x
x = 2916000
Ответ: 2 916 000 рублей.
При решении этих задач можно заметить некоторую закономерность и, оформив решение в общем виде, получить выражение для описания долга по кредиту на любое количество лет.
Если S - сумма кредита,
n = , где р - процентная ставка,
х – сумма ежегодных выплат;
I год: S·k – х
II год:
III год:
IV год:
и т.д.
Воспользуемся данным выводом при решении следующей задачи.
Задача 2.
31 декабря 2017 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на р%), затем Родион переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит долг за четыре года. Если по 2 674 100 рублей, то за два года. Под какой процент Родион взял деньги в банке?
Решение:
Пусть S – сумма кредита, – увеличенная процентная ставка
суммы ежегодных выплат:
1 464 100 обозначим в (на четыре года),
2 674 100 обозначим с (на два года).
В общем виде рассчитаем оплату кредита за два года и за четыре года.
I. За два года:
II. За четыре года: =0
Решим полученную системы:
В полученное выражение подставим числовые значения.
Ответ: 10%
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 715; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!