Топологические элементы схемы

Рис. 1.11. Иллюстрация топологических элементов схемы в ( в схеме не хватает узлов)

Основными топологическими элементами схем электрических цепей являются ветви, узлы и контуры.

Ветвью называют весь участок электрической цепи, вдоль которого ток имеет одно и то же значение. Место соединения трех и более ветвей называется узлом. Отсюда появляется важное свойство ветви, по которому ее легко определять на схеме: она ограничена двумя узлами. Узел электрической цепи на схеме отмечается жирной точкой (рис. 1.11). Если на схеме в месте скрещивания проводов точка не поставлена, это означает, что электрического соединения между проводами в месте их пересечения нет.

Контуром электрической цепи называется замкнутый путь, образуемый одной или несколькими ветвями. Если внутри площади выбранного контура не лежат другие ветви, связывающие между собой точки, принадлежащие тому же контуру, то такой контур будем называть простым, или ячейкой.

На рис. 1.11 схема содержит два источника э.д.с. и семь резисторов. В схеме семь ветвей и четыре узла. Если бы сопротивление было равно нулю, узлов было бы три, так как между узлами аи б не было бы сопротивления, и их можно было бы соединить в один на том основании, что они имеют общий потенциал. В схеме четыре простых контура. Всего на рис. 1.11 можно найти девять различных замкнутых путей обхода, т.е. девять контуров. Схема рис. 1.11 называется плоской. Плоскими схемами называются такие, которые можно изобразить на чертеже без пересекающихся ветвей.

Основные законы электрических цепей

Свойства любой линейной электрической цепи могут быть определены при анализе уравнений, составленных для этой цепи на основе известных физических законов. Эти уравнения должны отражать особенность самой цепи, особенности воздействия на цепь и связывать все величины, участвующие в анализируемом электромагнитном процессе.

Выявление реакции электрической цепи на заданное воздействие и определение количественных результатов этого воздействия может быть осуществлено двумя путями: или с помощью экспериментов, или решением уравнений рассматриваемой цепи.

Второй путь исследования — математический — дает ответы более общего характера и позволяет более просто устанавливать закономерности, требующие для установления опытным путем множества экспериментов, связанных со сложными измерениями и дорогостоящей аппаратурой. Естественно, что в инженерной практике оба пути дополняют друг друга и проверкой правильности составления и решения уравнений электрической цепи в любых условиях является опыт.

Основными законами электрических цепей, позволяющими описать любые режимы их работы, являются закон Ома и законы Кирхгофа.

1. Закон Ома. Если между двумя точками, расположенными вдоль проводника, имеет место разность потенциалов, в проводнике проходит ток, и наоборот, если в проводнике есть ток, между любыми двумя точками вдоль проводника должна быть разность потенциалов.

В 1827 г. немецкий физик 0м установил закон, связывающий ток в проводнике с напряжением на проводнике и его сопротивлением . Закон был установлен при питании цепи источником постоянного напряжения.

Математическое выражение этого закона имеет вид

, . (1.6)

Рис. 1.12. Вольтамперные характеристики пассивных двухполюсников

Формулируется это равенство так: при неизменном сопротивлении проводника напряжение на нем пропорционально току в проводнике. Эта зависимость изображена в виде прямой линии на рис. 1.12.

График, изображающий зависимость напряжения на двухполюснике от тока через двухполюсник, называется вольтамперной характеристикой этого двухполюсника.

В том случае, если сопротивление пассивного двухполюсника не зависит ни от тока через двухполюсник, ни от напряжения на нем, его вольтамперная характеристика будет представлять собой прямую линию, проходящую через нуль. Поэтому такие двухполюсники и называются линейными.

Не все сопротивления, однако, линейны. Кривая б рис. 1.12 представляет собой вольтамперную характеристику такого двухполюсника, сопротивление которого возрастает с увеличением тока. Примером такого двухполюсника может служить лампочка накаливания с вольфрамовой нитью. Удельное сопротивление вольфрама растет с увеличением температуры, и, следовательно, с ростом тока через нить накаливания. На рис. 1.12 кривая в изображает вольтамперную характеристику газоразрядного прибора. Согласно этой вольтамперной характеристике сопротивление прибора с увеличением тока должно падать. Характеристики б, в, и г принадлежат сопротивлениям, не подчиняющимся закону Ома.

Таким образом, лампа накаливания и газоразрядный прибор являются нелинейными сопротивлениями. Если в электрической цепи имеется хотя бы один нелинейный пассивный элемент, или э.д.с., или задающий ток одного из генераторов изменяются при изменении нагрузки, вся цепь должна рассматриваться как цепь нелинейная.

2. Первый закон Кирхгофа. Немецкий физик Кирхгоф в 1845 г. установил законы равновесия в электрических цепях. Уравнения, составленные согласно этим законам, называются уравнениями Кирхгофа.

Первый закон определяет баланс токов в узлах электрической цепи: алгебраическая сумма токов в ветвях, связанных общим узлом электрической цепи, равна нулю; или сумма токов, уходящих от узла электрической цепи, равна сумме токов, приходящих к этому узлу. Уходящие токи будем считать положительными, приходящие — отрицательными. Математическое выражение первого закона Кирхгофа имеет вид

или , (1.7)

где — номера ветвей, связанных данным узлом.

Первый закон Кирхгофа вытекает из того, что в узле не могут накапливаться электрические заряды и поэтому заряды, переносимые токами к узлу и уносимые от узла за любой промежуток времени, должны быть одинаковы.

Уравнение в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла, изображенного на рис. 1.13, а, имеет вид

и для узла, изображенного на рис. 1.13, б,

Рис. 1.14. Обобщение первого закона Кирхгофа

Рис. 1.13. Иллюстрация применения первого закона Кирхгофа

В последнем уравнении нет ошибки, так как стрелками на рисунке обозначены не направления токов, а направления, в которых мы решили считать токи положительными. А эти направления могут случайно совпадать или не совпадать с направлениями самих токов. Мы можем себе позволить такой подход, так как при решении задачи на основании выбранных направлений, мы будем строить систему уравнений, где выбранные направления токов будут едины для всей системы. С математической точки зрения это не нарушит баланса при расчетах, а с физической это напоминает явление зашкаливания датчика в обратном направлении, если подключить его к источнику постоянной э.д.с., перепутав полярность. В этой связи, при выборе положительных направлений токов, согласно рис. 1.13, б, после проведения расчетов хотя бы один ток в итоге окажется отрицательным.

Первый закон Кирхгофа можно обобщить и на «узел», представляющий собой часть цепи. На рис. 1.14 часть электрической цепи очерчена штриховой линией. Независимо от характера двухполюсников и схемы их соединения внутри области, очерченной штриховой линией, алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся в этой области, равна нулю.

В данной цепи

Это равенство можно проверить, написав уравнения Кирхгофа для всех узлов, находящихся внутри очерченной области произвольной схемы рис. 1.14:

Сложив левые и правые части равенств, получим то, что и требовалось.

На основании первого закона Кирхгофа можно утверждать, что в схеме рис. 1.14

3. Второй закон Кирхгофа. Второй закон Кирхгофа определяет связь между э. д. с., и падениями напряжения в замкнутых контурах разветвленных цепей. Если рассматривать φ какой-нибудь замкнутый контур разветвленной цепи и проследить, как меняются потенциалы (по отношению к потенциалу какой-нибудь выбранной нами точки) при последовательном обходе всех сторон этого контура, то мы после обхода всего контура и возвращения к исходной точке получим тот же потенциал.

Возьмем контур, изображенный на рис.1.15. Пусть в этом контуре э. д. с. и токи имеют указанные на фигуре направления, и пусть потенциалы узлов будут φA, φB, φC и φD.

Рис. 1.15. Обобщение второго закона Кирхгофа

При переходе от узла А к узлу В (поскольку мы перемещаемся по направлению тока) потенциал в сопротивлении R₁ понизится на R₁I₁, а при переходе через источник Э.Д.С, потенциал повысится на величину e₁-r₁I₁ поэтому

Где r₁ — внутреннее сопротивление источника е₁. При переходе от точки В к С мы будем иметь в сопротивлении R₂ понижение потенциала на R₂I₂; но дальше, переходя через источник тока е₂ с внутренним сопротивлением r2, от его положительного электрода к отрицательному в направлении, обратном его э. д. с., мы будем иметь снижение потенциала на e₂+r₂I₂, поэтому

При переходе от точки С к D мы идем навстречу току и потому

равным образом при переходе от точки D к точке A мы будем иметь повышение потенциала

Из последнего уравнения следует, что

Если в рассмотренном контуре э. д. с. и токи, направленные в одну сторону, например, по направлению движения стрелки часов, брать с плюсом, э. д. с. и токи, направленные в противоположную сторону, брать с минусом, то для замкнутого контура второй закон Кирхгофа может быть сформулирован следующим образом: в замкнутом контуре алгебраическая сумма э. д. с. равна алгебраической сумме падения напряжения во всех сопротивлениях, входящих в этот контур:

или ,

Изменение потенциала вдоль рассмотренного контура может быть представлено графически (рис. 1.16), если по оси абсцисс откладывать сопротивления и , а по оси ординат — значения потенциалов в соответствующих R₁, r₁, R2, r₂, R3, R4 точках. Тангенсы углов наклона α, β, γ и δ пропорциональны токам в соответствующих ветвях.

Если какая-нибудь точка, например D, заземлена, то φ_D =0 и значения потенциалов отдельных точек будут определяться ординатами относительно горизонтали, проведенной через точку D.

Второй закон Кирхгофа при независимости сопротивлений от тока можно рассматривать как обобщение закона Ома, представляющего собой частный случай применения второго закона Кирхгофа к неразветвленной цепи, в которой ток во всех частях имеет всегда одно и то же значение

Рис. 1.16. Потенциальная диаграмма

и ,

Проведем в разветвленной цепи или в какой-нибудь проводящей среде, в которой течет ток, контур в виде замкнутой на себя линии и выразим падение напряжения вдоль этой линии как сумму падений напряжений на бесконечно малых участках ее. Если эта линия не проходит через сторонние электрические поля (через источники тока), то применение второго закона Кирхгофа к этой замкнутой линии должно дать:

Рис. 1.17. Иллюстрация применения закона Кирхгофа

но так как для каждого проводника

( , , ), то второй закон Кирхгофа для контуров, не проходящих через сторонние поля (т. е. источники тока), может быть выражен интегральным соотношением

причем здесь E-напряженность электростатического (т. е. безвихревого) поля, ибо никакого другого электрического поля в точках этого контура нет.

Если же контур проходит через сторонние поля (через источники тока с э. д. с.) и если под вектором pδ=E понимать вектор результирующего электрического поля, определяющий плотность тока в данной точке, то

или

Последнее уравнение является выражением в интегральной форме второго закона Кирхгофа в проводящей среде со сторонними электрическими полями.

4. Закон Джоуля—Ленца. В 1844 г. русский академик Ленц и независимо от него английский физик Джоуль установили закон выделения тепла электрическим током. Согласно открытому ими закону работа, совершаемая током в сопротивлении за время , определяется выражением

или , (1.13)

где — напряжение на сопротивлении , равное .

Мощность, поглощаемая сопротивлением , или скорость преобразования электромагнитной энергии в тепло в сопротивлении равна

(1.14)

В том случае, если и изменяются с течением времени, величина называется мгновенной мощностью. Мощность, развиваемая генератором напряжения, определяется как произведение э.д.с., генератора на ток через генератор

Мощность, развиваемая генератором тока,

где — задающий ток; — напряжение генератора.

Контрольные вопросы

1. Определите понятие «электрическая цепь, «электрическая схема», «узел», «ветвь», «источники тока», «источник э.д.с.».

2. Что понимается под ВАХ?

3. Нарисуйте ВАХ реального источника, источника э.д.с, источника тока, линейного сопротивления.

4. Сформулируйте закон Ома для участка цепи с э.д.с, первый и второй законы Кирхгофа. Запишите в буквенном виде, сколько уравнений следует составлять по первому и второму законам Кирхгофа?

5. В чем отличие напряжения от падения напряжения?

6. Какие вам известны проявления магнитного поля?

7. Что понимают под явлением само- и взаимоиндукции?

8. Какие вам известны проявления электрического поля?

9. Дайте определение С.

10. Сформулируйте закон Джоуля-Ленца.

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 458; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 23

Мы поможем в написании ваших работ!