П.4 Формула полной вероятности. Формула Байесса.
Формула Бернулли.
Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.
Пусть некоторое событие А происходит только с каким-нибудь одним из событий Н1, Н2, Н3, …, Нn, которые образуют полную группу событий и называются гипотезами. В этом случае событие А можно представить в виде: А=А×Н1 + А×Н2 + А×Н3 + … +А×Нn. Отсюда, применяя теоремы сложения и умножения вероятностей и учитывая, что гипотезы попарно несовместны, получим:
(8), которая называется формулой полной вероятности. Используя формулы (6) и (8), можно получить формулу Байесса (формулу вероятности гипотез):
(9).
Пример 5.4.1.В районе имеется три хлебных магазина. Вероятность того, что человек пойдет за хлебом в первый магазин, равна 0,5; во второй – 0,3; в третий – 0,2. Вероятность купить в магазинах свежий хлеб равна соответственно 0,7; 0,5 и 0,3. Человек пошел за хлебом. Найти вероятность того, что он купит свежий хлеб.
Решение: Обозначим А – событие, состоящее в том, что человек купит свежий хлеб; Н1- покупка была сделана в первом магазине, Н2 - во втором, Н3 – в третьем. Из условия задачи известны: Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,2, а также 
, 
, 
. По формуле полной вероятности имеем:
. ¨
Пример 5.4.2. Данные из предыдущего примера. Известно, что человек купил свежий хлеб. Найти вероятность того, что покупка сделана в первом магазине.
Решение: Используя полученные выше результаты, по формуле (9) находим: 
. ¨
|
|
|
Если производится несколько опытов, вероятность появления события А в каждом из которых постоянна и не зависит от исходов остальных опытов, то такие опыты называются независимыми от события А.
Пусть производится n независимых опытов, вероятность появления события А в каждом из которых постоянна и равна р. Тогда вероятность его непоявления в каждом из опытов также постоянна и равна 1-р=q. Требуется найти вероятность того, что в n опытах событие А появится ровно m раз и не появится n-m раз. Формула для ее нахождения: 
, где 
(10), называется формулой Я. Бернулли.
Пример 5.4.3.Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет р=0,8. Найти вероятность 7 попаданий при 10 выстрелах.
Решение: Здесь n=10, m=7, р=0,8, q=1-0,8=0,2. По формуле (10) находим: 
. ¨
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 154; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!