П.3. Правила суммы и произведения

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Элементы комбинаторики. Соединения без повторений и с повторениями. Правила суммы и произведения. Комбинаторика – теория соединений – изучает некоторые операции над конечными множествами, как упорядочение множества и разбиение множества, интересуется расположением элементов в множестве, выясняет, сколькими способами можно расположить элементы множества в том или ином порядке. Это приводит к понятиям перестановок, размещений и сочетаний. Основными задачами комбинаторики являются: 1) определение вида соединения; 2) подсчет числа соединений.

П.1 Соединения без повторений

Пусть дано множество М, состоящее из n элементов.

Опр. 4.1.1 Перестановки – всевозможные упорядоченные множества, составленные из всех элементов данного множества. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Р_n и находят по формуле

Р_n= n! (1),

где n!= 1×2×3× ¼ ×n, 0!=1 по определению.

Пример 4.1.1. Сколько перестановок можно составить из трех букв а, в, с?

Решение: Р₃=1×2×3=6. Действительно: авс, вас, асв, сав, вса, сва.¨

Пример 4.1.2.Сколькими способами можно переставить буквы в слове «треугольник»?

Решение: Т.к. все буквы в данном слове разные, т.е. нет повторений, то можно воспользоваться формулой (1): Р₁₁=11!=39916800.¨

Опр. 4.1.2 Размещениями изn поmназываются всевозможные упорядоченные подмножества, содержащие m элементов из данных n. Обозначаются и вычисляются по формуле:

(2).

Пример 4.1.3. Сколько можно составить четырехзначных чисел, содержащих различные цифры из 5 цифр.

Решение: Четырехзначное число – это упорядоченная последовательность цифр, т.е. имеем дело с размещениями без повторений: А₅⁴=5×4×3×2=120. ¨

Пример 4.1.4. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами может быть составлено расписание на 1 день?

Решение: ¨

Опр. 4.1.3 Сочетаниями изn поmназываются всевозможные подмножества данных nэлементов, состоящие из m элементов. Для подсчета их числа используются следующие обозначение и формула:

(3).

Пример 4.1.5. Сколькими способами можно из 7 различных открыток выбрать три?

Решение: Совокупность трех открыток является неупорядоченным подмножеством семи открыток, поэтому имеем дело с сочетаниями: ¨

П.2 Соединения с повторениями

Опр: 4.2.1 Перестановками с повторениями называются перестановки из n элементов, в каждую из которых входит n₁ элементов а, n₂ элементов b, …, n_k элементов l, где n=n₁+n₂+…+n_k. Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле:

Пример 4.2.1Сколькими способами можно переставить буквы в слове “математика”.

Решение: В слове “математика” есть повторяющиеся буквы: “м” – 2 раза, “а” – 3 раза, “т” – 2 раза, “е” – 1 раз, “и” – 1 раз, “к” – 1 раз. Порядок расположения элементов имеет значение (это очевидно, так как если переставить местами 2 буквы, то получатся разные слова) и все элементы используются, следовательно, это перестановка с повторениями.

Таким образом, в слове “математика” можно переставить буквы 151200 способами.

Опр 4.2.2 Сочетания из n элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в каждом сочетании любое число раз, но не более m, называются сочетаниями с повторениями. Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:

Пример 4.2.2 на почте продаются открытки 10 сортов. Сколько вариантов существует для покупки 12 открыток.

Решение: Порядок расположения элементов не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как открытки в наборе могут повторяться, то это сочетание с повторениями.

Таким образом, из 10 открыток можно выбрать набор из12 штук 293930 способами.

Опр 4.2.3 Размещениями с повторениями из n элементов по k элементов называются упорядоченные множества, каждое из которых содержит k необязательно различных элементов из данного множества n элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

Пример 4.2.3 В стену здания вмонтированы 8 гнезд для флажков. В каждое гнездо вставляется либо голубой, либо красный флажок. Сколько различных случаев распределения флажков на здание.

Решение: Так как порядок расположения элементов важен и не все элементы используются в данном соединении, то это размещение. А так как всего 8 гнезд, а флажков 2 вида (голубой и красный), то они будут повторяться, т.е. это размещение с повторением.

Таким образом, существует 256 способов украсить здание с 8 гнездами флажками двух цветов.

п.3. Правила суммы и произведения

При определении вида соединения удобно пользоваться следующей схемой:

Все расчетные формулы комбинаторики базируются на двух основных правилах:

1. Правило суммы: если объект А может быть выбран n способами, а объект В – m способами, то выбор «А или В» может быть осуществлен n+m способами.

2. Правило произведения: если объект А может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект В – m способами, то выбор «А и В» в указанном порядке может быть осуществлен n×m способами.

Пример 4.3.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?

Решение: На первое место в трехзначном числе можно выбрать любую цифру их трех (кроме нуля), после каждого такого выбора на второе место можно поставить любую цифру из оставшихся трех, на третье – из оставшихся двух. По правилу 2 получим: 3×3×2=18 чисел.¨

Примеры

Пример 1. Сколькими способами можно раскрасить диаграмму из 4 столбцов четырехцветной ручкой так, чтобы каждый столбец был окрашен в определенный цвет.

Решение: Порядок расположения элементов имеет значение и в диаграмме 4 столбца, а ручка тоже четырехцветная, т.е. все элементы присутствуют в соединении, следовательно, это соединение – перестановка. А так как окраска столбцов не повторяется (в условии сказано, что столбцы имеют разные цвета), то это перестановка без повторения. Итак, P_n = n! = 4! = 1×2×3×4 = 24

Ответ: столбцы можно закрасить 24 способами.

Пример 2. Имеется 5 кружков: 3 белых и 2 черных. Сколько различных узоров можно получить, располагая кружки в ряд.

Решение: Порядок расположения элементов имеет значение и в узоре 5 кружков, т.е. все элементы присутствуют в соединении, следовательно, это соединение – перестановка. А так как окраска кружков повторяется (в условии сказано, что 3 белых и 2 черных), то это перестановка с повторением. Итак,

Ответ: узор можно составить 10 способами.

Пример 3. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить перевод с любого из 5 языков на любой из 5 языков.

Решение: Порядок имеет значение (так как русско-английский и англо-русский словари различны) и не все элементы присутствуют в соединении (а только 2 из 5), значит, это размещение. Так как языки различны, то это размещение без повторения. Итак, .

Ответ: надо составить 20 словарей.

Пример 4. На железнодорожной станции имеется 5 светофоров. Сколько может быть дано различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния.

Решение: Порядок имеет значение и не все элементы присутствуют в соединении, значит, это размещение. Так как цвета повторяются, то это размещение с повторением. Итак, .

Ответ: может быть дано 243 различных комбинаций цветов.

Пример 5. 12 человек играли в городки. Сколькими способами они могут разбиться на команды по 4 человека в каждой.

Решение: Порядок расположения игроков в команде не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как игроки не повторяются (все члены команды различные люди), то это сочетание без повторения. Итак, .

Ответ: игроки могут разбиться на команды по 4 человека в каждой 495 способами.

Пример 6. В цветочном магазине продаются цветы 6 видов. Сколько можно составить букетов из 10 цветов в каждом (букеты отличающиеся лишь расположением цветов считать одинаковыми).

Решение: Порядок расположения цветов в букете не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как цветы повторяются, то это сочетание с повторением. Итак, .

Ответ: букеты можно составить 3003 способами.

Пример 7. В группе 25 студентов, из которых 5 отличников, 11 хорошистов и остальные троечники. Сколькими способами можно выбрать группу для выполнения лабораторной работы, состоящей из 3 хорошистов, 1 отличника и 1 троечника.

Решение: Сначала узнаем сколькими способами можно выбрать 3 хорошистов из 11 человек. Порядок расположения студентов не важен, значит, это сочетание. А так как люди в группе не повторяются, то это соединение – сочетание без повторения. Итак, одного хорошиста можно выбрать способами. Аналогично рассуждая, приходим к тому, что 1 отличника можно выбрать способами и одного троечника можно выбрать способами. Так как команда для выполнения лабораторной работы выбирается одновременно, т.е. 5 хорошистов, затем 1 отличник, затем 1 троечник, то, применив правило произведения, получим: способами.

Ответ: группу для выполнения лабораторной работы можно составить 3300 способами.

Пример 8: Имеется 4 чашки, 5 блюдец, 6 ложек (все чашки, блюдца, ложки различны). Сколькими способами можно накрыть стол к чаю на 3 человека, если каждый получает 1 чашку, 1 блюдце и 1 ложку.

Решение: Выберем для 3 человек чашки из 4 имеющихся. Порядок расположения элементов имеет значение, и не все элементы входят в соединение, значит, это размещение. Но так чашки не повторяются, то это размещение без повторения. Итак, из 4 чашек 3 можно выбрать способами. Аналогично рассуждая, получим, что из 5 блюдец 3 можно выбрать способами, а из 6 ложек 3 можно выбрать способами. Так блюдце, чашка и ложка входят в набор одновременно, то стол можно накрыть способами.

Ответ: стол можно накрыть 172800 способами.

Элементы теории вероятностей.

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 313; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!