Для доведення центральної граничної теореми використовуються характеристичні функції.

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРАЇНИ

 

ОДЕСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМIЧНИЙ УНIВЕРСИТЕТ

 

Кафедра математичних

Методів аналізу економіки

Реферат на тему:

“ Закон великих чисел. Граничні теореми теорії ймовірностей ”

 

Виконала:

Кирилова Аліна

Студентка 11 групи КЕФ

 

Перевiрив :

Клименко Сергiй Семенович

к.ф.-м.н., доцент

Одесса 2014

Закон великих чисел

Математичні закони теорії ймовірностей одержані внаслідок формалізації реальних статистичних закономірностей, що притаманні масовим випадковим подіям. Під час спостереження масових однорідних випадкових подій у них виявляються певні закономірності типу стабільності. Так, у разі великого числа проведених експериментів відносна частота події W(A) виявляє стабільність і за ймовірністю наближається до ймовірності P (A); середнє арифметичне для випадкової величини наближається за ймовірністю до її математичного сподівання.

Усі ці явища об’єднують під спільною назвою закону великих чисел, який можна загалом сформулювати так: у разі великого числа експериментів, що здійснюються для вивчення певної випадкової події або випадкової величини, середній їх результат практично перестає бути випадковим і може передбачатися з великою надійністю.

Закон великих чисел об’єднує кілька теорем, у кожній з яких за певних умов виявляється факт наближення середніх характеристик під час проведення великої кількості експериментів до певних невипадкових, сталих величин.

Для доведення цих теорем використовується нерівність Чебишова.

Нерівність Чебишова

Якщо випадкова величина Х має обмежені М (Х); D (Х), то ймовір­ність відхилення цієї величини від свого математичного сподівання, взятого за абсолютною величиною e (e > 0), не перевищуватиме величини: .

Це можна записати так:

.                 (328)

Доведення нерівності. Нехай випадкова величина Х є неперервна, закон розподілу ймовірностей якої f (х); M (Х), D (Х) — обмежені величини. Випадкові події  і  будуть протилежними (рис. 105).

Рис. 105

А тому

     (329)

            .         (а)

Отже, знаючи оцінку для , ми згідно з (а), знай­демо оцінку і для .

Розглянемо нерівність:

.                                                     (б)

Помноживши ліву і праву частини нерівності (б) на f (x)(f (x) > 0), дістанемо:

.                 (в)

Зінтегруємо праву і ліву частини нерівності (в) на проміжках

                 (г)

або  .     (д)

Згідно з рис. 105 запишемо: ,

оскільки

.

З огляду на те, що  маємо:

Зрештою, нерівність (д) набере такого вигляду:

.               (е)

Отже,

.              (330)

Підставивши оцінку для  (330) в (329), дістанемо:

, що й потрібно було довести.

Приклад 1. Випадкова величина Х має закон розподілу
N (– 2; 4).

Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність , якщо e = 4s.

Розв’язання.

Оскільки a = – 2, s_x = 4, D (Х) = 16, то згідно з (328) маємо:

.

Приклад 2. Імовірність появи випадкової події в кожній із 400 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює 0,9. Використовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність події , якщо e = 10.

Розв’язання: За умовою задачі маємо: n = 400, p = 0,9; q = 0,1; e= 10.

M (Х) = np = 400 × 0,9 = 360; D (Х) = npq = 360 × 0,1 = 36.

.

Теорема Чебишова

Нехай задано n незалежних випадкових величин X₁, X₂, … X_n, які мають обмежені M (Х_і)(і = 1,…, n) і дисперсії яких D(Х_і) не перевищують деякої сталої С (С > 0), тобто D(Х_і) £ C. Тоді для будь-якого малого додатного числа e імовірність відхилення середнього арифметичного цих величин

від середнього арифметичного їх математичних сподівань

,

взятого за абсолютним значенням на величину e, прямуватиме до одиниці зі збільшенням числа n:

або

.            (331)

!

Доведення. Оскільки Х_і — випадкові величини, то і  буде випадковою. Числові характеристики для :

;    .

Застосуємо нерівність Чебишова для випадкової величини

 або .

Ураховуючи умову D(Х_i) £ C, записуємо:

.

Тоді при n ® ¥ дістаємо

.

Оскільки ймовірність не може бути більшою за одиницю, а нерів­ність є не строгою, одержимо

або  

що й потрібно було довести.

Приклад 3. Дисперсія кожної із 4500 незалежних випадкових величин, що мають один і той самий закон розподілу ймовірностей, дорівнює 5. Оцінити ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного цих величин від середнього арифметичного їх математичних сподівань, взяте за абсолютною величиною, не перевищить 0,4.

Розв’язання.

Використовуючи нерівність Чебишoва для теореми Чебишoва, одержимо:

Приклад 4. Унаслідок медичного огляду 900 допризовників було виявлено, що середня маса кожного з них на 1,2 кг більша від середньої маси попереднього призову. Чи можна це констатувати як випадковість, якщо середнє відхилення маси допризовника дорівнює 8 кг?

Розв’язання.

Оскільки ця ймовірність дуже мала, відхилення маси можна вважати невипадковим.

Теорема Бернуллі

Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то при необмеженому збільшенні числа експериментів n ® ¥ імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р, взятої за абсолютною величиною на e (e > 0) прямуватиме до одиниці зі зростанням n, що можна записати так:

                (332)

!

Доведення. Оскільки W(A) = m / n,де m — число експериментів — яких випадкова подія А спостерігалась, n — загальне
число проведених експериментів, то ми можемо записати, що , де Х_і — дискретна випадкова величина, яка може набувати лише одного з можливих значень: 0 або 1. У табличній формі закон дискретної випадкової величини Х_і можна записати так:

хі	0	1
рі	q	p

Числові характеристики Х_і:

M(X_i) = 0 q + 1 p = p;

M(X²_i) = p;

D(X_i) = M(X²_i) – M²(X_i) = p – p² = p(1 – p) = pq.

Нерівність Чебишова для теореми Бернуллі матиме такий вигляд:

. (333)

Отже, доведено, що

Приклад 5. Імовірність виготовити стандартну деталь робітником дорівнює 0,95. Контролю підлягає 400 деталей. Оцінити ймовір­ність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі W(A) від імовірності 0,95 не більше ніж на величину 0,02.

Розв’язання. За умовою задачі: р = 0,95; q = 0,05; n = 400. На підставі (333) дістаємо:

Приклад 6. Скільки необхідно провести експериментів n, щоб імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р = 0,85, взяте за абсолютною величиною, на e = 0,001, була б не меншою за 0,99.

Розв’язання. Із умови задачі маємо р = 0,85; q = 0,15; e = 0,001,

5. Центральна гранична
теорема теорії ймовірностей
(теорема Ляпунова)

5.1. Характеристичні функції
та їх властивості

Для доведення центральної граничної теореми використовуються характеристичні функції.

Розглядається випадкова величина , де Х — дійсна випадкова величина, закон розподілу якої відомий, t — параметр, а  — уявна одиниця.

Така випадкова величина називається комплексною.

Характеристичною функцією називають математичне сподівання від e^itХ:

.               (334)

Якщо Х є дискретною, то

.                    (335)

Якщо Х є неперервною, то

.                   (336)

Основні властивості a_x(t):

1. a_x(0) = 1, оскільки в цьому разі (t = 0), то

2. Якщо взяти похідну від a_x(t) по t, то . Прирівнявши параметр t = 0, одержимо

,              (337)

оскільки і²= – 1 .

3. Якщо взяти другу похідну від a_x(t) за параметром і при цьому t = 0, то одержимо:

.

Отже,

.               (338)

4. Якщо випадкові величини Y і Х пов’язані співвідношенням Y = ах + b, де а і b є сталими, то їх характеристичні функції пов’язані між собою так:

.

Отже,

.                    (339)

5. Якщо випадкові величини Х₁, Х₂, … Х_n є незалежними і відомі їх характеристичні функції , то для випадкової величини характеристична функція:

. (340)

6. Якщо випадкові величини Х₁, Х₂, … Х_n є незалежними, кожна із них має один і той самий закон розподілу, то характеристична функція для                     . (341)

Приклад 7. Неперервна випадкова величина X має закон розподілу N (0; 1). Знайти характеристичну функцію для цього закону.

Розв’язання. Оскільки , то

,

через те, що , де , .

Отже, для нормованого нормального закону розподілу випадкової величини Х характеристична функція

.                     (342)

Центральна гранична теорема

Розглядається один із найпростіших варіантів цієї теореми.

Теорема. Нехай задано n незалежних випадкових величин Х₁, Х₂, … Х_n, кожна із яких має один і той самий закон розподілу ймовірностей із M(Х_i) = 0, s (Х) = s і при цьому існує за абсолютною величиною початковий момент третього порядку , тоді зі зростанням числа n закон розподілу  наближатиметься до нормального.

!

Доведення. Оскільки випадкові величини Х_і мають один і той самий закон розподілу, то кожна із них має одну і ту ж характеристичну функцію a_x(t). Згідно з (341) маємо:

.

Розвинувши a_Y(t) в ряд Маклорена в околі точки t = 0 і обмежив­шись при цьому трьома членами й залишковим членом в формі Лагранжа, запишемо:

,  (343)

де .

Із властивостей характеристичної функції випливає:

a_x(0) = 1; a¢_x(0) = iM(Х) = 0, оскільки M(Х) = 0;

= – M(Х ²) = – s².

Тоді вираз (342) набирає такого вигляду:

.                (344)

Оскільки  і при цьому

.

Це випливає з того, що

.

Уведемо випадкову величину .

Маємо:

Використовуючи властивість характеристичної функції (339), дістаємо:

,       (345)

де

.                (346)

Прологарифмуємо вираз (345): .           (347)

Використовуючи в (347) при п ® ¥ еквівалентність нескінченно малих , одержимо:

Оскільки  то

.

Звідси випливає, що

.

Таким чином, доведено, що характеристична функція випадкової величини Z при n ® ¥ дорівнює характеристичній функції нормованого нормального закону, а звідси випливає, що Z і пов’язана лінійною залежністю величина Y наближатимуться до нормального закону розподілу.

Приклад 8. Кожна із 100 незалежних випадкових величин X_і має рівномірний закон розподілу на проміжку [0; 0,12]. Записати наближено закон розподілу для випадкової величини

Розв’язання.

Знаходимо числові характеристики для Х_і: M(Х_і) = 0,06; D (Х) = 0,1.

Тоді

---

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 278; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!