Расчет статически определимых систем
Консольные рамы
Консольные рамы состоят только из одного диска, жестко заделанного в землю. В заделке возникают три реакции, но обычно их не определяют. При построении эпюры изгибающих моментов используется равновесие отсеченной части консоли. Рассмотрим порядок построения эпюр внутренних усилий на примере рамы, показанной на рисунке 3.1.
Эпюра изгибающих моментов строится по участкам. Если на прямолинейном участке стержня нет внешней нагрузки, то эпюра изгибающих моментов будет прямолинейна, и для её построения достаточно определить значения по концам участка. Для равномерно распределенной нагрузки также определяются значения изгибающих моментов по концам участка, и к ним подвешивается квадратная парабола, обращенная выпуклостью в сторону действия нагрузки q.
Начнем с участка 1-2. Изгибающий момент на конце консоли всегда равен нулю, за исключением случая приложения внешнего сосредоточенного момента. В точке 1 приложен внешний сосредоточенный момент 26 кН·м, следовательно, в этой точке изгибающий момент равен 26 кН·м. Это значение откладывается внизу со стороны растянутых волокон, так как эпюра изгибающих моментов не имеет знака(рис.3.6). Чтобы определить изгибающий момент во втором сечении, разрезаем раму в этом сечении и рассматриваем равновесие левой части рамы (рис. 3.2а). В месте разреза действуют три внутренних усилия: изгибающий момент, поперечная сила, нормальная сила. На рисунке 3.2а показан только изгибающий момент М2, так как остальные внутренние усилия в дальнейших расчетах не участвуют. Кроме внешнего сосредоточенного момента больше никакой внешней нагрузки на эту часть рамы нет, следовательно, изгибающий момент М2 равен внешнему сосредоточенному моменту 26 кН.м., при этом растянутые волокна лежат снизу. Чтобы легче представить себе, какие волокна растягивает данная нагрузка, надо место разреза мысленно закрепить жесткой заделкой (рис. 3.2б) Пунктирная линия, изображающая изогнутую ось рамы, показывает, что растянутые волокна лежат снизу. Соединяя полученные крайние изгибающие моменты прямой линией, получим эпюру изгибающих моментов на этом участке.
Теперь рассмотрим следующий участок рамы 3 – 4. Разрезаем раму в точке 4 (рис.3.2в). На рассматриваемом участке приложена равномерно распределенная нагрузка. В точке 4 изгибающий момент будет равен произведению равнодействующей этой нагрузки на плечо. Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки равна ql = 3×4 = 12(кН) и приложена в середине участка 3 – 4. Плечо равно 2 м. Тогда М4 = 12×2 = 24 (кН·м). На рисунке 3.2г пунктирной линией показана изогнутая ось консоли. Видно, что растянутые волокна лежат сверху.
Перейдем на участок 5 – 6. Изгибающий момент в сечении 5 равен М4=24(кН·м) (рис. 3.3а). Он направлен по часовой стрелке и растягивает внутренние волокна так же, как и изгибающий момент в сечении 4.
Для определения изгибающего момента в сечении 6, разрезаем раму и рассматриваем равновесие верхней её части (рис 3.3б). М6=3×4×2=24(кН·м). Также, как и в предыдущем случае мысленно вставляем заделку в сечение 6 и представляем себе изогнутую ось рамы(рис.3.3.в). В этом случае растянутые волокна будут лежать с левой стороны.
Определяем изгибающий момент в сечении 7. Для этого разрезаем раму в точке 7 и рассматриваем равновесие верхней части (рис.3.4а). На эту часть действует равномерно распределенная нагрузка и сосредоточенный момент. Изгибающий момент будет равен М7=3×4×2 +26=60(кН·м). Растянутые волокна и от равномерно распределенной нагрузки, и от сосредоточенного момента будут лежать с левой стороны. Если трудно представить, какие волокна растянуты, то можно поступить следующим образом. Разрезав раму в сечении 7, прикладываем изгибающий момент. Направление этого момента выбираем произвольно, например, против часовой стрелки. После этого записываем сумму моментов всех сил относительно точки 7 (чтобы не учитывать поперечные и нормальные силы в этой точке).
SМ7 = 26 + 3×4×2 – М7 = 0.
Из этого уравнения следует, что М7 = 60(кН·м). Знак момента указывает его направление. В нашем случае изгибающий момент положителен и поэтому растягивает левые волокна.
Аналогично определяется изгибающий момент в 8 сечении (рис.3.4б)
SМ8 = 26 + 3×4×2 – М8 = 0.
М8 = 60(кН·м)
В восьмом сечении, там, где приложена внешняя сосредоточенная сила, эпюра изгибающих моментов будет иметь перелом. Определение изгибающего момента в последней точке 9 показано на рисунке 3.5.
SМ9 = 26 + 3×4×2 + 6×3 – М9 = 0.
М9 = 78(кН·м)
Эпюра изгибающих моментов для всей консольной рамы представлена на рисунке 3.6а.
Построенную эпюру изгибающих моментов необходимо проверить. Для этого вырезаем и рассматриваем равновесие всех узлов. На рисунке 3.6б показан вырезанный узел. Изгибающий момент М2 = 26(кН·м) и изгибающий момент М6 = 24(кН·м) направлены по часовой стрелке и уравновешиваются изгибающим моментом М7 = 60(кН·м).
Учитывая зависимость Q = dM/dx, по эпюре изгибающих моментов строится эпюра поперечных сил. Поперечная сила для прямолинейной эпюры изгибающих моментов равна разности изгибающих моментов по концам участка, деленной на длину участка. Если ось стержня поворачивается до совмещения с эпюрой изгибающих моментов по направлению часовой стрелки, то поперечная сила положительна (рис.3.7).
На участке 1 – 2 разность изгибающих моментов нулю, поэтому поперечная сила также нулевая (рис. 3.7а). Аналогично, получаем нулевую поперечную силу на участках 5 – 6, 7 – 8. На участке 8 – 9 поперечная сила равна Q = (78 – 60)/3 = 6 (кН). На этом участке ось стержня поворачивается до совмещения с эпюрой моментов по часовой стрелке и, соответственно, имеет знак плюс.
Для криволинейного участка эпюры изгибающих моментов поперечная сила определяется следующим образом. Эпюра изгибающих моментов разбивается на прямолинейную эпюру и параболу. После этого отдельно строится эпюра поперечных сил для прямолинейного участка и для параболы (рис. 3.7б).
В точке приложения внешней сосредоточенной силы в эпюре поперечных сил должен быть скачок на величину этой силы ( 6 (кН·м) в точке 8).
Нормальные силы строятся после построения эпюры поперечных сил. Для этого вырезают и рассматривают равновесие узлов. Вырезая узел, прикладывают поперечные силы, все известные нормальные силы и внешние сосредоточенные силы, если они приложены в этом узле. Поперечные силы прикладываются, учитывая знаки (поперечная сила положительна, если вращает узел по часовой стрелке). Известные нормальные силы также прикладываются со своими знаками (нормальная сила положительна, если направлена от узла и вызывает растяжение стержня). Неизвестные нормальные сил прикладываются по положительному направлению, то есть, направлены от узла. Это позволит в дальнейшем получить автоматически знак поперечной силы. Проектируя все силы на оси x,y, определяют неизвестные нормальные силы. Так как уравнений равновесия для каждого узла можно записать только два, то из равновесия одного узла можно найти не более двух сил. Поэтому необходимо рассматривать сначала узлы, где имеется не более двух неизвестных нормальных сил. В нашей раме имеется два узла. В верхнем узле соединяются два стержня, и соответственно мы имеем две неизвестные нормальные силы – N56, N43, а в нижнем узле имеем три – N56, N21, N78 . следовательно, в первую очередь необходимо вырезать верхний узел и определить N56, N43 (рис. 3.8а). После этого, зная N56, вырезаем нижний узел и определяем оставшиеся неизвестные нормальные силы (рис. 3.8б ). Эпюра нормальных сил показана на рисунке 3.8в.
Однодисковые системы
Однодисковые системы представляют собой диск, прикрепленный к земле с помощью трех опорных стержней, не пересекающихся в одной точке(рис.3.9).
В таких системах расчет начинается с определения опорных реакций. Для этого составляются статические уравнения равновесия системы в виде суммы проекций всех действующих сил на оси Х, У и суммы моментов этих сил относительно опорных или других моментных точек: SХ = 0, SУ = 0, SМ = 0. При составлении последнего уравнения примем моменты, действующие по часовой стрелке, положительными. Реакция одной из опор определяется из суммы моментов всех сил относительно точки пересечения линий действия двух других опорных реакций. Такая точка называется моментной. Например, для схемы на рисунке 3.9а реакция RC может быть определена из уравнения SМ1 = 0, предварительно определив НВ из уравнения SХ = 0 (сумма проекций всех сил на ось, перпендикулярную двум другим реакциям RA и RC ).
Проверочными уравнениями в общем случае будут: SХ = 0 и SУ = 0.
Для системы, показанной на рисунке 3.9б, опорные реакции определяются следующем образом:
SУ = 0, откуда определяется RC,
SМА = 0, найдем НВ, и, наконец,
SМВ = 0, определяем НА.
После определения опорных реакций строится эпюра изгибающих моментов М, которая не имеет знака и откладывается со стороны растянутого волокна. Построение эпюры М выполняется следующим образом. Рама отделяется от земли путем отбрасывания опор, которые заменяются найденными опорными реакциями. Далее рассматривается равновесие внешних сил и опорных реакций. Моменты определяются в нескольких сечениях:
а) в точках примыкания стержней к узлам,
б) в точках приложения сосредоточенных сил и моментов,
в) на границах участков с распределенной нагрузкой, где эпюра представляет собой кривую второго порядка, полученную «навешиванием» балочной эпюры моментов (квадратной параболы) на эпюру опорных моментов (рис.3.10).
Момент в середине пролета МСР = – (МА + МВ)/2.
Для определения момента МК в любой точке К проводим через неё сечение и рассматриваем равновесие менее загруженной части рамы под действием внешних и внутренних сил.
При построении эпюр внутренних усилий М,.Q, N будем использовать таблицу эпюр для простейших балок и консолей, показанную на рисунке 3.11.
В балках изгибающий момент считается положительным, если он растягивает нижние волокна (деформация балок на рисунке 3.11 показана пунктирной линией).
Пример Построить эпюры внутренних усилий М, Q, N для рамы (рисунок 3.12а).
Опорные реакции определяются из следующих уравнений равновесия:
SУ=0; RВ – 1×4 =0, RB = 4кН.
SМА = 0; 10×2 + 8 + 1×4×6 – 4×4 + НС×8 = 0, НС = -4,5 кН (знак (-) показывает, что реакция НС направлена не направо, а налево).
SМС = 0; НА×8 – 10×6 + 8 + 4×4 – 1×4×2 = 0, НА = 5,5 кН.
Проверка: SХ = 0; 5,5 + 4,5 – 10 = 0.
На рисунке 3.12б показаны значения и направления опорных реакций, а также характерные сечения, в которых надо определить изгибающие моменты.
Для нахождения этих моментов будем проводить сечения через точки, и рассматривать равновесие той части рамы, на которую действует меньшее количество нагрузок (рис.3.12б). В результате задача сведется к построению эпюр в консольных балках со стороны растянутого волокна (на рисунке 3.13 растянутое волокно показано пунктиром).
На участке А-1 от действия реакции НА растянуто правое волокно и М1=НА×2=5,5×2=11 (кН·м) – рис.3.13а. Из рисунка 3.13б находим М2=НА×8-10×6=5,5×8-10×6=-16(кН·м). Сила F создает больший момент, чем реакция НА, поэтому будут растянуты левые волокна от действия силы. Момент М3 определяем из равновесия узла: М3=М2=16кН·м(рис.3.13е) Изгибающий момент М4 найдем по рис.3.13в: М4=НА×8-7×6=5,5×8-10×6=-16(кН·м), растянуты верхние волокна от силы F, которая вызывает больший момент. В опоре «В» момент МВ=8кН·м от действия сосредоточенного момента m=8кН·м, который растягивает правое волокно. В сечении 5 (рис. 3.13г) момент также равен 8кН·м, так как реакция RВ момента не создает. В шарнирной опоре «С» изгибающий момент равен нулю, а в сечении 6 (рис. 3.13д) М6=q×4×2=1×4×2=8(кН·м), растянуто верхнее волокно. На рис. 3.13ж показано равновесие трехстороннего узла, что доказывает правильность найденных моментов.
Эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 3.14.
Эпюру поперечных сил Q строим либо по эпюре М, используя известную зависимость Q =, либо, определяем поперечные силы в характерных сечениях, рассматривая равновесие менее загруженной части из проекции всех сил на ось, перпендикулярную стержню. Поперечная сила положительна, если вращает отсеченную часть стержня относительно противоположного конца по ходу часовой стрелки. Если эпюра моментов прямолинейная, то Q=tga, то есть поперечная сила численно равна тангенсу угла наклона эпюры моментов к оси стержня. Для определения знака Q надо повернуть ось стержня до совмещения с эпюрой моментов М. Если вращение по часовой стрелке, то положительная, против – отрицательная.
На участке А-1 поперечной силой является реакция НА=5,5кН, которая вращает стержень относительно сечения 1 по ходу часовой стрелки, следовательно, она положительная. Эту же поперечную силу можно определить через тангенс угла наклона М на участке А-1: QА-1=11/2=5,5(кН) (рис. 3.15б). Q1-2=-(16+11)/2=-4,5(кН); Q3-4=0, так как на участке 3-4 эпюра моментов постоянная и tga=0; QВ-5=0; Q6-С=ql=1×4=4(кН). В сечении С поперечная сила равна нулю.
Эпюра поперечных сил Q для всей рамы показана на рис. 3.15а.
Эпюра продольных сил представлена на рис.3.17, которая построена способом вырезания узлов из эпюры Q. Начинаем с двухстержневого левого узла (рис. 3.16а). Так как Q1-2 отрицательная, то мы прикладываем её «поперек», стержня, а стрелку направляем так, чтобы она вращала стержень относительно узла прогибов против часовой стрелки. Продольные силы N3-4 и N1-2 считаем положительными и направляем от узла. Затем составляем уравнения равновесия узла в виде SХ=0, SУ=0, из которых находим искомые продольные силы.
SХ=0; 4,5+N3-4=0. N3-4=-4,5 кН (сжат).
SУ=0; N1-2=-0.
Равновесие правого узла (рис 3.16б)
SХ=0; 4,5+N5-С=0. N5-С=-4,5 кН(сжат),
SУ=0; 4+N4-В=0. N4-В=+RB=-4 кН(сжат).
Трехшарнирные рамы
Трехшарнирные рамы составлены из двух дисков, соединенных между собой ключевым шарниром и прикрепленных к земле шарнирно неподвижными опорами (3.18).
Трехшарнирная рама является распорной системой, так как в её опорных связях от вертикальной нагрузки возникают горизонтальные составляющие реакций. В трехшарнирной раме от внешних нагрузок возникает четыре опорные реакции: две вертикальные и две горизонтальные. Для их определения записываются три обычных уравнения статического равновесия. Четвертое дополнительное уравнение составляют из условия равенства нулю изгибающего момента в промежуточном шарнире от всех сил, действующих слева или справа от этого шарнира. Полная система уравнений имеет вид:
SМА=0; SМВ=0; SХ=0; SУ=0; SМСлев=0; SМСпр=0.
Четыре из уравнений данной системы являются разрешающими, а два – проверочными. Порядок их использования зависит от расположения опор рамы.
1. Трехшарнирная рама с опорами в одном уровне (рис. 3.18а)
Вертикальные реакции RA и RB определяются из уравнений SМА=0; SМВ=0. Уравнения SХ=0; SУ=0 являются проверочными.
2. Трехшарнирная рама с опорами в разных уровнях (рис. 3.18б)
Для определения опорных реакций нужно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Для определения реакций RA и НА записывается система уравнений
SМВ=0; SМСлев=0.
Реакции RВ и НВ определяются из решения системы
SМА=0; SМСправ=0.
Уравнения SХ=0; SУ=0 являются проверочными.
Если стержень СВ является прямым рис. 3.18в, то решение системы уравнений можно избежать, начав определение реакции RB из условия SМСпр=0. Остальные реакции определяются из условий
SМА=0; SМСлев=0.
Пример. Построить эпюры М, Q, N для трехшарнирной рамы (рис. 3.19а)
Определяем опорные реакции.
SМА=0, 2×6+1×2×1+6-RВ×4=0, RВ=5кН.
SМВ=0, 2×6-1×2×1+6-RА×4=0, RА=3кН.
SМСправ=0, 6+НВ×6-5×2=0, НВ=2/3кН.
SМСлев=0, -3×2-1×2×1+НА×6=0, НА=4/3кН.
Проверка: SХ=0; 2-2/3 - 4/3=0.
SУ=0; 1×2+3-5=0.
На рис. 3.19б показаны истинные направления и значения опорных реакций, а также характерные сечения, в которых необходимо найти моменты.
Момент в шарнире А равен нулю. Сечение 1: М1=4/3×3=4кН·м. Так как растянуто правое волокно, то эпюра откладывается вправо. Эпюра моментов на консоли 2-3 является табличной (см. рис. 3.11.д) с верхними растянутыми волокнами. Сечение 4: М4 =4/3×3+1×2×1=6кН·м, то есть откладываем момент вправо. Сечение 5: М5=4/3×6+1×2×1=10кН·м. Из равновесия узла следует, что М5=М6 и растянуты будут внутренние волокна. Сечение 8: М8=2/3×6=4кН·м – растянуто правое волокно. Из равновесия узла М7=М8 и растянуты будут внешние волокна. Эпюра М показана на рис. 3.21а
Эпюра Q на всех участках, кроме 2-3, строится по формуле Q=tga:
QA-1=4/3кН; Q4-5= (10-6)/3=4/3кН;
Q6-С=-10/2=-5кН; QС-7=-10/2=-5кН; Q8-В=4/6=2/3кН.
На участке 2-3 эпюра Q2-3 является табличной (см. рис.3.11д).
Уравновешивание узлов по поперечным и продольным силам показано на рис.3.20а,б,в.
Трехшарнирные рамы с затяжкой
В этом случае рама составлена из трех дисков, соединенных тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой (рис. 3.22). Чтобы не передавать горизонтальное давление на нижележащие конструкции, в трехшарнирную раму вводят затяжку, а одна из шарнирно- неподвижных опор заменяется на шарнирно подвижной.
Опорные реакции в таких рамах определяются так же, как в однодисковых системах. Затяжка – это прямой или ломанный стержень, ограниченный по концам шарнирами. В в незагруженной затяжке возникает только продольное усилие НЗ. Для нахождения НЗ нужно провести сечение через промежуточный шарнир С и затяжку, записав
SМСлев=0 или SМСпр=0.
При построении эпюры моментов затяжку можно временно удалить, а вместо неё приложить найденные усилия НЗ и считать их как обычные сосредоточенные силы.
Пример. Построить эпюры М, Q, N для трехшарнирной рамы с затяжкой (рис. 3.23а).
Определяем опорные реакции.
SМА=0, 2+1×8×4+3×6-RВ×8=0, RВ=6,5кН.
SМВ=0, 2+1×8×4-3×2+RА×8=0, RА=-3,5кН.
SХ=0; -НА+1×8=0, НА=8кН.
Для определения усилия в затяжке проведем сечение через шарнир С и затяжку. Искомое усилие Н3 направляем от узла (рис. 3.23.а).
SМСлев=0, -3,5×4+2+Н3×8=0, Н3=1,5кН.
На рисунке 3.23б показаны истинные направления и значения опорных реакций, усилие в затяжке, характерные сечения, в которых определяются моменты.
Из анализа рис. 3.24б получим, что МА=М4=М7=МС=М8=0. М1=3,5×2=7кН·м – растянуто верхнее волокно. М3верх=1,5×4=6кН·м – растянуто левое волокно. М3ниж=1,5×4+2=8кН·м – растянуто левое волокно.М2=1,5×8+2=14кН·м – растянуто левое волокно. М5 получим из равновесия узла (рис. 3.24а). М8=-1,5×8+1×8×4=20кН·м. Равномерно распределенная нагрузка создает большой момент, следовательно, растянуто левое волокно. М9=-6,5×2=-13кН·м – растянуто нижнее волокно. Из равновесия узла получим М6=7кН·м (рис.3.24б). Эпюры М и Q представлены на рис. 3.26а,б. Построение эпюры Q на участке 7-8 показано на рис.3.24в.
Определение продольных сил показано на рис. 3.25, а эпюра N – на рис. 3.26в.
Расчет с помощью поэтажной схемы многопролетных рам
Многопролетной шарнирно-консольной балкой называется статически определимая система, состоящая из расположенных в определенной последовательности простых балок, соединенных идеальными шарнирами. Опорные реакции в таких балках можно определить непосредственно как по расчетной схеме, так и по её поэтажной схеме.
В качестве основных частей выбираются балки, имеющие три опорных связи (рис.3.27а).
Каждая подвесная балка, не имеющая ни одной опоры, при построении поэтажной схемы получает четыре опорные связи. Одна из её горизонтальных связей может быть перенесена на любую другую балку. Поэтому в качестве основных балок могут также выбираться балки с двумя вертикальными связями (рис. 3.27б).
Примеры построения поэтажной схемы представлены на рис.3.28а,б.
Расчет начинается с верхних второстепенных балок с последующим переходом к нижележащим балкам. Верхняя балка рассчитывается на нагрузку,
которая к ней приложена. Затем рассчитываются нижележащие балки на нагрузку, непосредственно приложенную к ним, и на дополнительную нагрузку, в качестве которой принимаются опорные реакции от смежных вышележащих второстепенных балок, взятых с противоположными направлениями.
Пример. Построить эпюры М и Q для многопролетной шарнирно-консольной балки рис. 3.29а. Поэтажная схема балки показана на рис. 3.29б. Порядок расчета и эпюры М для каждого этажа представлены на рис. 3.29в. Эпюры М и Q для всей балки изображены на рис. 3.29г.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 908; | Поделиться с друзьями:
|
Мы поможем в написании ваших работ!
