Кинематический анализ сооружений

Стр 1 из 3Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВО «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

___________________________________________________________

Кафедра строительной механики

Ганджунцев М.И., Петраков А.А.

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Учебное пособие

ЧАСТЬ 2.

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Москва 2016

Введение

Все создаваемые человеком инженерные сооружения требуют предварительного расчета для обеспечения надежности и долговечности их эксплуатации. Науку о методах расчета сооружений на прочность, устойчивость и жесткость называют строительной механикой. В широком смысле строительная механика может быть названа и теорией сооружений. В этом случае в качестве отдельных её частей могут рассматриваться такие дисциплины, как знакомое вам уже сопротивление материалов, изучающее поведение под нагрузкой отдельных брусьев, строительная механика стержневых систем, основы которой нам предстоит изучить, а также теория упругости, пластичности и ползучести. Широта вопросов, охватываемых строительной механикой, определяется и тем, что в каждом из её разделов разрабатываются методы расчета методы на различные воздействия: статические, динамические, связанные с устойчивостью положения, тепловые, радиационные и пр.

Что следует понимать под расчетной схемой сооружения?

Необходимо иметь в виду, что любое сооружение представляет собой совокупность множества элементов, работающих как одно целое в условиях тех или иных внешних воздействий как-то: собственный вес, воздействие ветра, динамическое воздействие от работы оборудования, перепады температуры, осадки фундамента и т.д. С позиций строительной механики рассчитать данное конкретное сооружение – это суметь определить его напряженно-деформированное состояние (или НДС ) в любом интересующем нас сечении любого элемента этого сооружения для его последующей оценки с позиций удовлетворения условиям прочности, жесткости или же устойчивости. Расчет реального сооружения с учетом всех особенностей формирования в нем НДС является обычно крайне сложной задачей. В строительной механике моделью сооружения служит его расчетная схема – некоторая условная идеализированная система, отражающая наиболее важные свойства действительного поведения сооружения при тех или иных воздействиях, не учитывая при этом второстепенные факторы, предполагаемые несущественными. Следует учесть, что формирование расчетной схемы является непростой задачей, успех решения которой определяется часто опытом и интуицией инженера-расчетчика.

Как классифицировать системы в соответствии с их расчетными схемами?

Рис.1.1

Стержневые или одномерные. Их расчетная схема представляется в виде осевой линии, проходящей через центры тяжести сечений стержня. При этом стержни могут быть прямо- и криволинейными, от реального описания свойств их поперечных сечений абстрагируются, оперируя лишь геометрическими и жесткостными характеристиками, такими как площадь поперечного сечения F, жесткость на растяжение-сжатие EF и жесткость на изгиб EJ. При этом выделяют основное свойство элемента – длина стержня существенно превалирует над его поперечными размерами. На рис. 1.1 представлен некий призматический элемент системы - брус и его расчетная схема.

Плоские или двумерные. К данному классу систем, рассматриваемых в строительной механике, относятся пластины и оболочки. В этих конструкциях два линейных размера (назовем их длиной и шириной) существенно больше их толщины. В качестве примера можно привести плиты перекрытий, различного рода панели. Их расчетная схема – срединная плоскость (у пластин) или же срединная поверхность (у оболочек) с соответствующими характеристиками жесткости: Eh – при растяжении – сжатии и – при изгибе, или т.н. цилиндрическая жесткость (рис. 1.2).

Рис.1.2

Массивы или трехмерные. Все три их размера сопоставимы между собой. К этому классу систем можно отнести дамбы, плотины и пр.

Следует заметить, что стержневые системы можно подразделить на плоские, которые станут объектом наших исследований в дальнейшем, и пространственные.

Каким образом отдельные элементы системы объединяют в одно целое и как система «крепится» к основанию ?

Напомним понятие «связи», известное из теоретической механики. Это устройство, снижающее степень свободы системы на единицу и способное «блокировать» свободу линейного перемещения системы, либо поворота какого-либо её сечения.

Рис.1.3

Начнем со связи, называемой «шарнирно-подвижная опора». Кинематическая характеристика этой одиночной связи – исключение возможности взаимного перемещения связываемых элементов по её направлению (рис.1,3,а ). При креплении конструкции к основанию с помощью шарнирно-подвижной опоры возникает одна опорная реакция, направленная вдоль абсолютно жесткого стержня данной опоры (рис.1.3, б). Если обозначить число опорных стержней через С₀, то для данного вида опоры С₀=1.

Другой тип связи, объединяющий элементы системы воедино, – это т.н. простой шарнир. Это идеализация подвижного сочленения двух элементов плоской стержневой системы (рис.1.4,а ). При использовании данной связи для крепления сооружения к основанию она получила название «шарнирно-неподвижной опоры», различные виды графического отображения которой показаны на рис.1.4,б,в,г. Эта связь «блокирует» две степени свободы, а в статическом смысле – приводит к возникновению двух составляющих сил взаимодействия (при сочленении двух элементов) и двух опорных реакций (в случае шарнирно-неподвижной опоры). Обычно опорные реакции направляют в горизонтальном и вертикальном направлениях и обозначают их, соответственно, H и V. При этом С₀=2.

Рис.1.4

Простой соединительный шарнир может выглядеть также следующим образом (рис.1.5).

Рис.1.5

Введем понятие жесткого диска. Жестким диском называют элемент конструкции, не меняющий своей геометрической формы без приложения нагрузки. Если в узле объединены более двух стержней (или дисков), подобный шарнир называют сложным или кратным. Степень кратности сложного шарнира Ш зависит от количества стержней или дисков N, которые он объединяет:

Ш= N – 1

На рис.1.6 рассмотрен ряд примеров, позволяющих на практике уяснить процесс «приведения» сложных шарниров к эквивалентному количеству простых.

Следующий вид соединения стержней (или дисков) системы – т.н. жесткий узел, делающий невозможным взаимную подвижность входящих в него элементов (рис.1.7,а). При присоединении к основанию с помощью аналога жесткого узла – т.н. «жесткой заделки» - конструкция в этом месте не имеет возможности перемещаться по вертикали и по горизонтали. Кроме того, заделка блокирует поворот опорного сечения. В жесткой заделке к опорным реакциям, свойственным шарнирно-неподвижной опоре (H и V), добавляется реактивный момент М ( рис. 1.7,б ), а число опорных стержней С₀= 3.

C₀=4-1

C₀=3-1

Рис. 1.6

а)

Рис.1.7

Кроме того, при расчете сооружений широкое применение имеет т.н. «тепловая или температурная заделка», позволяющая (в отличие от жесткой заделки) опорному сечению перемещаться по горизонтали (рис.1.8). Число опорных стержней С₀=2.

Рис.1.8

Какие нагрузки и воздействия будут использованы в дальнейшем при расчете плоских стержневых систем?

Разработка расчетной схемы приводит также и к определенной идеализации внешних нагрузок и воздействий. Далее при расчете плоских стержневых систем будем использовать только статические нагрузки. Отметим, что статической принято считать нагрузку, прикладываемую к сооружению постепенно, при малых скоростях, без возникновения инерционных сил. Такие нагрузки постоянны по величине, не меняют своего направления и места приложения. Основными типами статических нагрузок являются:

- сосредоточенная сила P (рис.1.9,а), она имеет размерность кН (килоньютон);

- равномерно-распределенная нагрузка q (рис.1.9,б),её размерность – кН/м;

- сосредоточенный момент m (рис.1.9,в), он имеет размерность кН·м.

Среди других внешних воздействий при расчете строительных конструкций выделим тепловое и т.н. «кинематическое смещение опор» или же попросту осадку опор. При тепловом воздействии закон распределения температур считаем заданным, также, как и величины и характер осадок опор.

Рис. 1.9

Как классифицировать расчетные схемы стержневых систем?

Среди огромного разнообразия стержневых систем, применяемых в качестве строительных конструкций, выделим основные типы, приведенные на рис. 1.10: балочные системы (балки ) (рис 1.10,а); арочные системы ( арки ) (рис.1.10,б); рамные системы (рамы) (рис. 1.10,в ); рамно-связевые системы (рис.1.10,г); фермы (рис.1.10,д); висячие системы (рис.1.10,е); комбинированные системы (рис.1.10,ж).

ж)

Рис. 1.10

Как классифицировать стержневые системы по кинематическому признаку?

Их можно подразделить на три категории: геометрически изменяемые или механизмы, у которых перемещения узлов не связаны с деформированием элементов; геометрически неизменяемые или же кинематически неподвижные, у которых перемещения узлов возможны только при условии деформирования элементов; мгновенно изменяемые.

По статическому критерию стержневые системы делятся на статически определимые и статически неопределимые. У первых усилия во всех элементах, включая опорные связи, определяются исключительно при помощи одних уравнений равновесия. Все остальные системы отнесем к классу статически неопределимых.

Выяснить, является ли заданная стержневая система геометрически неизменяемой, т.е. пригодной для использования в строительстве можно с помощью кинематического анализа расчетных схем.

Кинематический анализ сооружений

Перед расчетом любой системы необходимо провести кинематический анализ сооружения, который определяет: является ли данная система мгновенно изменяемой или неизменяемой, статически определимой или неопределимой.

В мгновенно изменяемой системе невозможно определить внутренние усилия, так как они стремятся к бесконечности и такие системы в строительстве не применяются. В статически определимых системах внутренние усилия можно определить, используя только уравнения равновесия. Изгибающие моменты, поперечные силы, продольные силы и реакции в этих системах не зависят от физических свойств материала и от размеров поперечного сечения. Для определения усилий в статически неопределимых системах уравнений равновесия уже недостаточно и дополнительно применяются уравнения неразрывности деформаций и физические уравнения. Вследствие этого внутренние усилия в этих системах зависят от модуля упругости материала и от формы и размеров поперечного сечения стержней.

Для установления к какой категории относится данная система необходимо подсчитать степень свободы. Степенью свободы W называется количество независимых геометрических параметров, определяющих положение системы на плоскости. Пусть сооружение состоит из Д дисков. Число простых цилиндрических шарниров, соединяющих эти диски, равно Ш. Сооружение прикреплено к земле при помощи С_о опорных стержней.

Диск при движении на плоскости имеет три степени свободы, так как он может относительно неподвижного основания поступательно перемещаться вдоль осей 0х и 0у и поворачиваться вокруг любой точки. Пока диски не соединены между собой и не связаны с основанием, их общая степень свободы будет равна 3Д.

Рассмотрим взаимные перемещения двух дисков, соединенных между собой простым цилиндрическим шарниром. Пока диски не были соединены между собой, общая их степень свободы равна утроенному числу дисков, т.е. шести. Степень свободы двух дисков, соединенных между собой простым цилиндрическим шарниром, равна четырем, так как они совместно как единое целое могут перемещаться вдоль осей 0х и 0у и вращаться около любой точки плоскости, а также один диск относительно другого может поворачиваться вокруг шарнира. Следовательно, простой цилиндрический шарнир, соединяющий два диска. Эквивалентен двум связям и степень свободы уменьшиться на 2Ш.

Если диск прикрепить к неподвижному основанию опорным стержнем, то его степень свободы будет равно двум, т.е. степень свободы уменьшается на величину С_о.

Русским ученым П.Л. Чебышевым на основании проведенных рассуждений получена следующая формулу для определения подвижности плоского сооружения

W=Д–2Ш–С_о.

Здесь Д – количество жестких дисков. Для их определения надо отбросить все опоры и шарниры и посчитать количество получившихся элементов. Ш – количество простых шарниров. Простым шарниром называют шарнир, соединяющий только два диска. Если шарнир соединяет три или более дисков, то он называется кратным или сложным шарниром (рис. 2.1) Такой шарнир эквивалентен n-1 простому шарниру, где n - количество дисков, соединенных одним шарниром. С_о – количество опорных стержней, при этом заделка эквивалентна трем опорным стержням, а температурная заделка – двум.

Ш = 4-1 =3

По формуле Чебышева можно получить три качественно различных результата:

1) W>0. Сооружение не имеет достаточного количества связей, т.е. является геометрически изменяемым (механизмом) и в строительстве не применяется;

2) W=0. Сооружение обладает необходимым числом связей, которые при правильной их расстановке образуют геометрически неизменяемую, статически определимую систему. Равенство нулю степени свободы является необходимым, но недостаточным условием геометрической неизменяемости системы. Для этого необходимо исследовать способы соединения дисков друг с другом;

3) W<0. Сооружение обладает избыточным числом связей, которые при правильной их расстановке образуют геометрически неизменяемую, статически неопределимую систему.

Таким образом, для образования геометрически неизменяемого сооружения необходимо, чтобы число связей было больше или равно степени свободы.

Аналитическое условие W≤0 является необходимым, но недостаточным для суждения о неизменяемости и неподвижности сооружения, поскольку его неизменяемость зависит не только от количества связей и дисков, но и от их взаимного расположения, т.е. от геометрической схемы. Для выяснения вопроса о неизменяемости и неподвижности сооружения необходимо (в дополнение к подсчету степени свободы) проанализировать, как и в какой последовательности соединяются между собой диски и как они прикрепляются к основанию. Иногда система может иметь необходимое число связей, но при неправильном их расположении будет изменяемой.

В геометрически неизменяемом сооружении соединение его отдельных элементов должно производиться по следующим правилам

1. Неизменяемые системы получаются, если три диска соединены тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой (рис 2.2а ). В случае, если шарниры лежат на одной прямой, то система будет мгновенно изменяемой, так как в такой системе возможны бесконечно малые перемещения без деформации стержней. В примере на рисунке 2.2 б диск AB может поворачиваться вокруг точки А, при этом точка В будет перемещаться по касательной к прямой АВ. Аналогично диск ВС может поворачиваться вокруг точки С и перемещения точки В будут перпендикулярны прямой ВС. Шарниры А, В, С лежат на одной прямой, то перпендикуляры к АВ и ВС будут совпадать, следовательно, точка В может иметь бесконечно малое перемещение до тех пор, пока точки А.В.С перестанут быть на одной прямой.

бP

Рис. 2.2

2. Два диска, соединенные шарниром и стержнем, не лежащих на одной прямой, образуют геометрически неизменяемую систему (рис 2.2в). В противном случае система становится мгновенно изменяемой (рис 2.2г).

3. Два диска, соединенные тремя стержнями, являются геометрически неизменяемой системой в случае, если оси этих стержней не пересекаются в одной точке или не параллельны (рис 2.2д). На рисунке 2.2е показана мгновенно изменяемая система, так как оси трех стержней, соединяющих два диска, пересекаются в одной точке.

Все приведенные способы создания геометрически неизменяемых систем основаны на принципе образования шарнирного треугольника.

В случае неправильной расстановке необходимого количества связей могут образоваться мгновенно изменяемые системы допускающие бесконечно малые перемещения ее отдельных элементов без их деформации.

В мгновенно изменяемой системе усилия в её элементах и опорные реакции будут неопределенными или равными бесконечности. Докажем это утверждение на примере балки, прикрепленной тремя опорными стержнями, оси которых пересекаются в одной точке В (рис. 2.3а). Данная балка является мгновенно изменяемой. Так как может поворачиваться на бесконечно малый угол вокруг мгновенного центра вращения В. Введем предположение, что ось опорного стержня С не проходит через шарнир В, а занимает положение, показанное на рис. 2.3б. Тогда опорная реакция может быть определена из уравнения статического равновесия

откуда

R_с

Рис. 2.3

При повороте опорного стержня С в первоначальное горизонтальное положение расстояние стремится к рулю. В пределе

При отсутствии внешней нагрузки Р=0 получим неопределенность R_с=0/0.

Проведенное исследование показывает, что в строительных конструкциях не должны применяться мгновенно изменяемые конструкции. Также не следует применять системы,

Рис.2.4

Проведем кинематический анализ системы, изображенной на рисунке 2.3. Сначала необходимо вычислить степень свободы W. Отбросив все шарниры и опорные стержни, найдем количество дисков Д = 3. Шарниры в точках В и С, связывающие только два диска, являются простыми, и значит Ш = 2. Количество опорных стержней равно пяти (шарнирно неподвижные опоры в точках А и В эквивалентны двум опорным стержням).

W=3Д–2Ш–С_о=3×3–2×2–5=0.

Следовательно, система может быть неизменяемой и для доказательства этого необходимо выполнить анализ геометрической структуры. Диски 1 и 3 можно рассматривать как стержни, соединяющие два диска: землю и второй диск. Таким образом, мы приходим к системе, состоящей из двух дисков (второй и земля), соединенных между собой тремя стержнями АВ, СD и опорным стержнем в точке Е. Оси этих стержней пересекаются в одной точке О и вследствие этого система будет мгновенно изменяемой. Чтобы исправить это положение достаточно повернуть опорный стержень в точке Е., например, сделать его горизонтальным. В этом случае оси трех стержней, связывающих два диска, не будут пересекаться в одной точке, и система станет статически определимой и неизменяемой.

Рис 2.5

Выполним кинематический анализ системы, показанной на рис 2.4. Степень свободы этой системы равна

W=3×3–2×2–5=0.

Произведем геометрический анализ системы. Три диска АВ, ВЕ и земля соединены тремя шарнирами в точках А, В, Е, которые не лежат на одной прямой, значит они образуют неизменяемую систему. Принимаем эту систему за один диск. Вместе с диском CD, он образует систему двух дисков, соединенных шарниром в точке С и опорным стержнем в точке D. Так как шарнир и стержень, не лежат на одной прямой, то вся рама будет неизменяемой и статически определимой.

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 1123; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!