П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Дано: ∆АВС.
Доказать, что АВ < АС + СВ.
Доказательство: Строим отрезок СМ = ВС на продолжении стороны АС. В равнобедренном ΔВСМ ∠1 = ∠2 (по свойству углов в равнобедренном треугольнике). ∠1 < ∠АВМ, значит и ∠2 < ∠АВМ.
Рассмотрим треугольник АВМ. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тоАВ < АМ, АВ < АС + СМ, АВ < АС + ВС.
(т.к. СМ = ВС). Ч.т.д.
3.Отрезки АВ и СМ пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и ВМ параллельны.
Доказательство:
|
|
Билет. 11 1. (п. 31) Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой, т.е. равен 900. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами. Гипотенуза всегда большего любого из катетов, т.к. лежит напротив большего угла в треугольнике. 2. (п.29) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Дано: а||b, с – секущая, Доказать, что соответственные углы ∠1 = ∠2. Доказательство: т.к. а||b, то ∠1 = ∠3 (накрест лежащие), а ∠3 = ∠2 (вертикальные), следовательно ∠1 = ∠2. Ч.т.д. 3.Найти смежные углы, если один из них на 450 больше другого. Решение: Обозначим ∠2 = х, тогда ∠1 = х + 450. По свойству смежных углов ∠1 + ∠2 = 180. Составим уравнение х + х + 450 = 1800; 2х = 1350; х = 1350 : 2 = 67,50. Значит ∠2 = 67,50, тогда ∠1 = 67,50 + 450 = 112,50. Ответ: ∠1 = 112,50; ∠2 = 67,50. | ||||||||||
Билет. 12 1. (п. 11) Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Свойство: Сумма смежных углов равна 1800. На рисунке ∠1 и ∠2 вместе образуют развернутый угол, а он равен 1800, следовательно, ∠1 + ∠2 = 1800. 2. (п.35) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1 – прямоугольные, АВ = А1В1 и СВ = С1В1, углы С и С1 – прямые. Доказать, что ∆АВС = ∆А1В1С1 Доказательство: т.к. ∠С = ∠С1 = 900, то ∆АВС можно наложить на ∆А1В1С1 так, что вершина С совместится с С1, а стороны СА и СВ наложатся на лучи С1А1 и С1В1. По условию СВ = С1В1, значит, вершина В совместится с В1. Но тогда и вершина А совместится с А1. Ч.т.д. 3.Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. Дано: В ∆АВС биссектриса ВД – это высота. Доказать, что ∆АВС равнобедренный. Доказательство: ∆АВД = ∆СВД по второму признаку (∠1 =∠2, т.к. ВД – биссек., ∠3 =∠4=900, т.к. ВД – высота, а сторона ВД – общая). Значит АВ = ВС, т.е. ΔABC – равнобедренный. Ч.т.д. | ||||||||||
Билет. 13 1. (п. 11) Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Теорема: Вертикальные углы равны. Доказательство: ∠1 + ∠2 = 1800 (смежные), ∠3 + ∠2 = 1800 (смежные), → ∠1 = ∠3. Ч.т.д. 2. (п.35) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1 – прямоугольные, АВ = А1В1, ∠С = ∠С1= 900, ∠В = ∠В1. Доказать, что ∆АВС = ∆А1В1С1 Доказательство: т.к. ∠С = ∠С1 = 900 и ∠В = ∠В1, следовательно, ∠А = ∠А1 (по теореме о сумме углов в треугольнике), а значит ∆АВС равен ∆А1В1С1 по второму признаку равенства треугольников (у них равны гипотенуза и два прилежащих к ней угла). Ч.т.д. 3.Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О.На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК = ВМ. Доказать, что ОК = ОМ. Доказательство: Соединим точки А, С, В, Е. Получили четырёхугольник, диагонали которого делятся точкой пересечения пополам. А, значит, этот четырёхугольник – параллелограмм. ЕС и АВ – диагонали параллелограмма АСВЕ. ∠ОАС = ∠ОВЕ (как накрест лежащие при параллельных прямых АС и ВЕ и секущей АВ). Получили, что ∆АОК = ∆ВОМ по первому признаку равенства треугольников (АО = ОВ, АК = МВ, ∠ОАС = ∠ОВЕ). В равных треугольниках оставшиеся стороны равны, т.е. ОК = ОМ.Ч.т.д. | ||||||||||
Билет. 14
1.Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному. Смотри презентацию, слайд 2.
2. (п.18) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Дано: ∆АВС, АВ = ВС, ВО – биссектриса.
Доказать, что ВО – медиана и высота.
3.Один из углов прямоугольного треугольника равен 600, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4см. Найдите гипотенузу треугольника.
Решение: Пусть в данном треугольнике ∠В = 900, ∠A = 600. Тогда ∠С = 1800 – 900 – 600 = 300. Меньший из катетов лежит напротив угла в 300 и, значит, равен половине гипотенузы (по 2 свойству). Обозначим гипотенузу АС = х, тогда катет АВ = ½*х. Составляем уравнение: (по условию). Отсюда или х = 17,6. Ответ:гипотенуза АС = 17,6см. | ||||||||||
Билет. 15 1. (п.29) Во всякой теореме есть 2 части: условие и заключение. Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется доказать. Например, рассмотрим теорему: Если 3 стороны первого треугольника соответственно равны 3 сторонам второго треугольника, то такие треугольники равны. В ней условием будет утверждение: 3 стороны первого треугольника соответственно равны 3 сторонам второго треугольника (это дано), а заключение: треугольники равны (это требуется доказать). Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условие и заключение меняются местами. Например, для данной выше теоремы обратной теоремой будет: Если треугольники равны, то у них все стороны соответственно равны. Или для теоремы: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Обратная теорема будет звучать так: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. 2. (п.28) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство: Действительно, пусть а || с и b || с. Докажем, что тогда а || b. Допустим, что прямые а и b не параллельны, т.е. пересекаются в какой-то точке М. Тогда получим, что через точку М проходят 2 прямые (а и b) параллельные прямой с, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предположение было неверным, а значит, прямые а и b параллельны. 3.Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 500. Найти эти углы. Решение: | ||||||||||
Билет. 16
1.Как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Смотри презентацию, слайд 9.
2. (п.30) Внешним углом треугольниканазывается угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Свойство: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Дано: ∆АВС, ∠4 – внешний.
Доказать, что ∠4 = ∠1 + ∠3.
3.Через середину отрезка проведена прямая. Доказать, что концы отрезка равноудалены от этой прямой. Дано: О – середина АВ, l – прямая, проходящая через О. Доказать, что АА1 = ВВ1. Доказательство: АА1 l и ВВ1 l. Рассмотрим прямоугольные треугольники АОА1 и ВОВ1. Они равны по гипотенузе и острому углу (АО = ОВ по условию, ∠1 =∠2, как вертикальные). Следовательно, АА1 = ВВ1. Ч.т.д.
| ||||||||||
Билет. 17 1. (п.24, 37)Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Обозначение: а ǀǀ b. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой. 2. (п.32) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Дано: ∆АВС, ∠С > ∠В. Доказать, что АВ > АС. Доказательство: Предположим, что это не так. Тогда либо АВ = АС, либо АВ < АС. В первом случае получаем, что ∆АВС – равнобедренный, а значит углы при основании равны, т.е. ∠С=∠В, а это противоречит условию, что ∠С > ∠В. Во втором случае получаем, что ∠С < ∠В (т.к. против большей стороны лежит больший угол). Это тоже противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, и, следовательно, АВ > АС. Ч.т.д. 3.В ∆АВС ∠А = 400, а ∠ВСЕ смежный с ∠АСВ равен 800. Доказать, что биссектриса ∠ВСЕ параллельна прямой АВ. Дано: ∠А = 400, а ∠ВСЕ = 800, СК – биссектриса ∠ВСЕ. Доказать, СК ǀǀ АВ. Доказательство: ∠ВСК = ∠КСЕ = ½ ∠ВСЕ = 800/2 = 400. Получили, что ∠ВАС = ∠КСЕ = 400, а это соответственные углы при прямых АВ, СК и секущей АС. Раз они равны, то СК ǀǀ АВ. Ч.т.д. | ||||||||||
Билет. 18
1. (п.35) Признаки равенства прямоугольных треугольников:
2. (п. 11) Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Мы поможем в написании ваших работ! |