П. 18) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Билет. 1 1. (п.1)К основным геометрическим фигурам на плоскости относятся точка и прямая линия. Точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур). Прямую линию, или прямую, можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так: Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком. Отрезок изображается так: Длина отрезка - положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке. Длину отрезка АВ также называют расстоянием между точками А и В. Свойства: 1) Длины равных отрезков равны; 2) Длина суммы отрезков равны сумме их длин. Обычно прямые обозначаются малыми латинскими буквами a, b, c, d, а точки – большими A, B, C... Через любые 2 точки можно провести прямую и притом только одну. Любые 2 прямые на плоскости либо имеют одну общую точку (пересекаются), либо не имеют общих точек (параллельны). 2. (п.20) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1, у них АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1. Доказать, что ∆АВС = ∆А1В1С1 Доказательство: Приложим ∆АВС к ∆А1В1С1 так, чтобы сторона АВ совпала со стороной А1В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от АВ. По условию АС=А1С1, ВС=В1С1 → ∆А1С1С и ∆В1С1С – равнобедренные, а значит ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 (углы при основании), поэтому весь ∠А1СВ1 = ∠А1С1В1. Итак, мы получили, что АС=А1С1, ВС=В1С1, ∠С = ∠С1, следовательно ∆АВС = ∆А1В1С1 (по I признаку). Ч.т.д. 3.Найдите величины смежных углов, если один в 5 раз больше другого. Решение:Обозначим один из углов х, другой значит будет 5х, т.к. он в 5 раз больше. Сумма смежных углов всегда 1800, получаем уравнение х + 5х = 1800, откуда 6х = 1800, х = 300. Значит один из смежных углов 300, другой 30*5 = 1500. Билет. 2 1. (п. 14) Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами. Виды треугольников: 2. (п.25) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Дано: прямые а и b, с – секущая, соответственные углы ∠1 = ∠2. Доказать, что а||b Доказательство: ∠1 = ∠2 (по условию), ∠2 = ∠3 (вертикальные), следовательно ∠1 = ∠3, а это накрест лежащие углы, поэтому а||b. Ч.т.д. 3.Отрезки АС и ВМ пересекаются в точке О и делятся ею пополам. Докажите, что ∆АВС = ∆СМА. Дано: АО = ОС и ВО = ОМ. Доказать, что ∆АВС = ∆СМА Доказательство: Пусть отрезки АС и ВМ пересекаются в точке О. Тогда ∆АОВ = ∆СОМ по I признаку (АО = ОС и ВО = ОМ по условию, а ∠АОВ = ∠СОМ как вертикальные). Следовательно, ∠ВАО = ∠МСО и сторона АВ = МС (в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны). Тогда ∆АВС = ∆СМА тоже по I признаку (∠ВАО = ∠МСО, АВ = МС, АС – общая сторона). Ч.т.д. Билет. 3 1. (п.17) Медиана – это отрезок, идущий из вершины треугольника к середине противоположной стороны. (Нельзя говорить идущий в противоположную сторону…) Биссектриса – это отрезок, идущий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам. Высота – это перпендикуляр, идущий из вершины треугольника к противоположной стороне. (Перпендикуляр – это отрезок, падающий под углом в 900 к прямой). Высота – это единственная линия в треугольнике, которая при построении может оказаться снаружи треугольника. В любом треугольнике все 3 медианы пересекаются в одной точке, все 3 биссектрисы пересекаются в одной точке и все 3 высоты пересекаются в одной точке.
|
|
|
|
П.25) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
|
|
Дано: прямые а и b, АВ – секущая, накрест лежащие углы ∠1 = ∠2.
Доказать, что а||b
Доказательство: (метод от противного). Предположим, что прямые а и b не параллельны, а значит они пересекаются в некоторой точке М. Рассмотрим ∆АВМ: ∠1 будет внешним углом для этого треугольника, а ∠2 – внутренним. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠1 больше ∠2, а это противоречит условию (∠1 = ∠2), значит, прямые а и b не могут пересекаться, поэтому они параллельны. Ч.т.д.
3. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠АОВ – прямой. Отрезок ВС – диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.
Доказательство: Рассмотрим ∆ВОА и ∆СОА, у них сторона ОА – общая, СО = ОВ (как радиусы одной окружности), ∠СОА = ∠ВОА = 900.
Следовательно, ∆ВОА = ∆СОА по I признаку. Ч.т.д.
1. Одной заглавной латинской буквой, указывающей его вершину. Угол: ∠O. | 2. Тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла. Угол: ∠AOD. Называть угол можно с любого края, но НЕ с вершины. Угол с рисунка выше имеет два названия: ∠AOD и ∠DOA. Вершина угла должна всегда находиться в середине названия!!! | 3. Двумя строчными латинскими буквами. Угол: ∠fn |
Единица измерения углов — градусы. Углы измеряют с помощью специального прибора – транспортира. Для обозначения градусов в тексте используется символ: °, например ∠В = 50°
|
|
Виды углов
Вид угла | Размер в градусах | Пример |
Прямой | Равен 90° | |
Острый | Меньше 90° | |
Тупой | Больше 90° | |
Развернутый | Равен 180° |
п. 18) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Дано: ∆АВС, АВ = АС.
Доказать, что ∠В = ∠С.
Доказательство: В ∆АВС из вершины А проведем биссектрису АД. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD – общая сторона, ∠1 = ∠2, так как AD — биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠В = ∠С. Ч.т.д.
3.Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 2100. Найдите все углы. Решение:
Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а ее отрезок, лежащий внутри окружности, - хордой. Хорда – это отрезок, соединяющий 2 точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, точку О, называется диаметром. Диаметр равен двум радиусам. Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 722; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!