Дифференциальное уравнение фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде по закону Дарси
Обратимся к общему дифференциальному уравнению неустановившегося движения сжимаемого флюида по закону Дарси в деформируемой пористой среде, при k = const, μ = const:
где m – коэффициент пористости среды;
ρ – плотность флюида, кг/м3;
t – время, с;
∇2P – оператор Лапласа от функции Лейбензона;
P = ∫ρ(p)dp + C – функция Лейбензона;
p – давление в рассматриваемой точке пласта, Па.
Используем уравнение состояния упругой жидкости:
где ρ0 – начальная плотность флюида, кг/м3;
p0 – начальное давление, Па.
Используем уравнение состояния упругой пористой среды:
где m0 – начальный коэффициент пористости среды.
Используя данные формулы и обратившись к рассуждениям Басниева [1], получим:
где χ = k/(ηβ*) – коэффициент пьезопроводности пласта, м2/с;
β* = βжm0+βc – коэффициент упругости насыщенного пласта, м 
с2/кг;
x, y, z – координаты точки потока, м.
Уравнение (4) – основное дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации. Оно названо уравнением пьезопроводности.
Коэффициент пьезопроводности характеризует скорость перераспределения пластового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде.
Дифференциальное уравнение фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде по двучленному закону фильтрации
Обратившись к труду Басниева [1], совершенно очевидно, что для прямолинейно-параллельного потока упругой жидкости основное дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации (4) переходит в одномерный вариант:
|
|
|
или, иначе, является одномерным вариантом уравнения пьезопроводности.
Для того чтобы вывести дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации для плоскорадиального потока, необходимо использовать уравнение неразрывности в форме:
где υ – скорость фильтрации, м/с;
r – расстояние до скважины.
Также необходимо использовать двучленный закон фильтрации в виде:
где υ – радиальная составляющая скорости фильтрации, которая считается положительной при движении к скважине, м/с.
sgn – символ знака функции.
Преобразованиями, показанными в использованном источнике [1], получаем:
это уравнение будет являться дифференциальным уравнением упругого режима фильтрации для плоскорадиального потока.
Решения Дифференциальных уравнений фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде и ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА
Рассмотрим наиболее простые решения уравнений (4), (5), (8) для одномерных потоков.
Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток упругой жидкости. Случай первый
|
|
|
Пусть в полубесконечном горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины B начальное пластовое давление всюду постоянно и равно pк. На галерее (при x = 0) давление мгновенно снижено до pг и в дальнейшем поддерживается постоянным (т.е. pг = const). В удаленных точках (x → ∞) давление в любой момент времени остается равным pк.
Решение заключается в определении дебита галереи Q(t) и давления в любой точке потока в любой момент времени p(x, t). Для этого интегрированием решаем уравнение (5) при начальных и граничных условиях:
С ходом решения можно ознакомиться в источнике [1].
Таким образом, распределение давления можно найти по формуле:
где erf – так называемая функция ошибок или интеграл вероятности (табулированная).
Дебит галереи находим, как:
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 1579; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!