Интерполяционный многочлен Лагранжа. Схема Эйткена
Пусть функция задана условиями (4.1). Интерполяционным многочленом Лагранжа называется многочлен , представленный в виде:
. (4.4)
Оценка погрешности формулы Лагранжа: ,
где (4.5)
Пример 4.1.Для функции, имеющей аналитическое выражение , задана интерполяционная таблица:
100 | 121 | 144 | |
10 | 11 | 12 |
а) Составить интерполяционный многочлен второго порядка.
б) Вычислить значение L2(115).
в) Оценить погрешность полученного результата
,
Если надо вычислить не общее выражение , а лишь его значение на конкретном и при этом значения функции даны в достаточно большом количестве узлов, то можно использовать интерполяционную схему Эйткена.
Согласно данной схеме последовательно вычисляются многочлены:
,
,
и т.д.
Интерполяционный многочлен n-й степени, принимающий в точках значения ( ), запишется следующим образом:
.
Вычисления по схеме Эйткена удобно расположить в таблице 4.1.
Таблица 4.1
Интерполяционная схема Эйткена
… | ||||||
… | ||||||
… |
Вычисления по схеме Эйткена обычно ведутся до тех пор, пока последовательные значения и не совпадут в пределах заданной точности. Схема Эйткена легко реализуется на ЭВМ и обеспечивает возможность автоматического контроля точности вычислений.
|
|
Пример 4.2. Функция задана таблицей.
1.0 | 1.1 | 1.3 | 1.5 | 1.6 | |
1.000 | 1.032 | 1.091 | 1.145 | 1.170 |
Применив схему Эйткена, найти .
Решение: Записываем данные значения функции в табл. 4.2. и вычисляем разности при .
Таблица 4.2
Схема Эйткена для примера 4.2.
0 1 2 3 4 | 1,0 1,1 1,3 1,5 1,6 | 1,000 1,032 1,091 1,145 1.170 | -0,15 -0,05 0,15 0,35 0,45 | 1,048 1,047 1,050 1,057 | 1,048 |
Затем последовательно находим:
Полученные значения Li-1 заносим в таблицу, после чего вычисляем
Значения и совпадают до третьего знака. На этом вычисления можно прекратить и с точностью до 10-3 записать
Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона
Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргументов. В этом случае шаг таблицы является величиной постоянной.
Составим таблицу конечных разностей, которые вычисляются по формуле:
.
Таблица 4.3
Таблица конечных разностей
… | ||||
… | … | … | … |
Первым интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен вида: (4.6)
|
|
Практически формула (4.6) применяется в несколько ином виде. Положим: или x = x0 + ht. Тогда в новых обозначениях формула (4.6) перепишется: (4.7)
В выражение многочлена (4.7) входят разности Поэтому формулу (4.7) удобно применить для интерполирования в начале таблицы. Если требуется найти значение функции f(x) при значении x = x', то в качестве x0 берут ближайшее к x', причем меньшее значение аргумента. Говорят, что первый многочлен Ньютона применяется для интерполирования вперед.
Оценка погрешности первой интерполяционной формулы Ньютона:
где . (4.8)
Если аналитическое выражение неизвестно или его трудно вычислить, то можно использовать следующую формулу:
где . (4.9)
Вторым интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен вида:
(4.10)
На практике удобнее пользоваться другой формой записи многочлена:
Положим или . В новых обозначениях получаем:
Оценка погрешности второго интерполяционного многочлена Ньютона:
|
|
где . (4.12)
Если аналитическое выражение неизвестно или его нужно вычислить, то можно использовать следующую формулу:
где . (4.13)
В выражение многочлена (4.11) входят разности:
Поэтому формулу (4.11) используют для интерполирования в конце таблицы. Если требуется найти значение функции f (x) при значении x = x’, то в качестве берут ближайшее к x’ (большее) значение аргумента из чисел, содержащихся в таблице.
Говорят, что второй многочлен Ньютона применяется для интерполирования назад.
Рассмотрим пример использования многочленов Ньютона для интерполирования.
Пример 4.3. Функция y = f (x) задана таблицей значений с шагом h.
а) Запишите первый интерполяционный многочлен Ньютона второго порядка, используя указанную ниже таблицу разностей.
0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 0,180 | 0,14944 0,15438 0,15932 0,16425 0,16918 0,17411 0,17903 | 494 494 493 493 493 492 | 0 -1 0 0 -1 | -1 1 0 1 |
Вычислить значения функции при x = 0,156 при помощи первого многочлена Ньютона
Положим:
б) Грубую оценку погрешности полученного значения можно получить, используя формулу (4.13).
Интерполяция сплайнами.
|
|
При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для вычислений. Высокой степени многочленов можно избежать, разбив отрезок интерполяции на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена. Такое интерполирование приобретает существенный недостаток: в точках стыка разных интерполяционных многочленов будет разрывной их первая производная.
В этом случае удобно пользоваться особым видом кусочно-полиномиальной интерполяции – интерполяцией сплайнами.
Сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными. Ниже рассмотрен способ построения сплайнов третьей степени (кубических сплайнов), наиболее распространенных на практике.
Пусть интерполируемая функция задана своими значениями в узлах
На отрезке [ ] функцию запишем в виде:
(4.14)
где - неизвестные коэффициенты (всего их 4n).
Используя совпадение значений в узлах с табличными значениями функции , получаем следующие уравнения:
(4.15)
(4.16)
Число этих уравнений – 2n. Для получения дополнительных уравнений используем непрерывность и в узлах интерполяции интервала ( ).
Получаем следующие уравнения:
(4.17)
Для получения еще двух уравнений используем условие – равенство нулю второй производной в точках :
(4.18)
Исключив из полученных выше уравнений, получаем систему, содержащую 3n неизвестных:
(4.19)
Решив данную систему, получаем значения неизвестных , которые определяют сплайн .
Рассмотрим пример построения сплайна.
Пример 4.4. Интерполирующая функция задана таблицей, содержащей четыре узла.
2 | 3 | 4 | 5 | |
4 | -2 | 6 | -3 |
Используя формулы (4.14), составляем кубический сплайн:
Составляем систему уравнений с использованием формул (4.19):
Коэффициенты системы представлены в таблице 4.4.
Таблица 4.4
Коэффициенты, определяющие матрицу системы примера 4.4
Своб. члены | |||||||||
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -6 |
0 | 0 | 0 | 2 | 4 | 8 | 0 | 0 | 0 | 8 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 4 | 8 | -9 |
-1 | -2 | -3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | -1 | -4 | -12 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | -1 | -3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | -1 | -6 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 6 | 0 |
Система может быть решена с использованием компьютера, например, методом Гаусса. Получаем решение (результаты округлены до двух знаков после запятой):
Полученные значения коэффициентов определяют искомый сплайн:
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 5395; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!