Необходимые условия для применения оптимизационных методов

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский технологический университет»

Кафедра технологии изделий из пиротехники и композиционных материалов

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине

“Оптимизация композитных систем и технологических процессов”

«Оптимизация функций одной переменной»

 

 

Выполнил студент гр. 1143-82 Стрелков Р.

 

 

Проверил доцент кафедры ТИПКМ Е.Г. Белов

 

 

г. Казань

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 3

1 МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПТИМИЗАЦИИ.. 4

1.1 Необходимые условия для применения оптимизационных методов. 6

1.2 Определение границ системы.. 6

1.3 Характеристический критерий. 7

1.4 Независимые переменные. 8

1.5 Модель системы.. 9

2 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ В ИНЖЕНЕРНОЙ ПРАКТИКЕ 11

3 ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 13

3.1 Оптимизация функции одной переменной методом золотого сечения. 14

3.1.1 Этап установления границ интервала. 15

3.1.2 Этап уменьшения интервала. 16

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 30

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 31

ПРИЛОЖЕНИЕ. 32

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшие задачи, стоящие перед системой высшего образования, заключаются в том, чтобы обеспечить ус­ловия и государственные гарантии качества профессионального образования, мобильность выпускников. Перестройка высшего образования, направленная на корректное улучшение качества подготовки специалистов, обусловливает необходимость обновления квалификационных требований к выпускни­кам высших учебных заведений с учетом последних достижений и перспектив развития науки, техники, производства, образования и культуры. В этой связи разработка новых методов обучения является актуальной проблемой, решение которой напрямую связано с решением вышеозначенных задач.

Целью данной работы являлось разработка обучающих и контролирующих программ, ориентированных на широкое использование информационных технологий.

В работе решались следующие задачи в рамках дисциплины «Методы оптимизации композитных систем»:

1) Обучающие задачи:

а) сформировать знания у будущих специалистов по методологическим основам оптимизации;

б) сформировать знания у будущих специалистов по рациональному выбору методов оптимизации при решении конкретных задач;

в) изучение основ теории оптимизации при решении технических задач;

г) освоение методов оптимизации КС (состава КС, проектирования, конструирования и технологии изготовления изделий из КС);

д) получение практических навыков при постановке оптимизационных задач и путей их решения.

2) Разработка обучающих и контролирующих программ оптимизации функций одной переменной.

Пояснительная записка оформлена на примере оптимизации функций одной переменной методом деления отрезка пополам.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Методы оптимизации — поиска экстремума функции (в практических задачах - критериев оптимальности) при наличии ограничений или без ограничений очень широко используются на практике. Это прежде всего оптимальное проектирование (вы­бор наилучших номинальных технологических режимов, элемен­тов конструкций, структуры технологических цепочек, условий экономической деятельности, повышение доходности и т.д.), оптимальное управление, построение нелинейных математиче­ских моделей объектов управления (минимизации невязок раз­личной структуры модели и реального объекта) и многие другие аспекты решения экономических и социальных проблем (напри­мер, управление запасами, трудовыми ресурсами, транспортны­ми потоками и т.д. и т.п.).

Существует достаточно большое количество численных ме­тодов оптимизации. Основные из них классифицируются следующим образом:

1. По размерности решаемой задачи: одномерные и многомерные.

2. По способу формирования шага многомерные методы делятся на следующие виды:

2.1. Градиентные.

•   по способу вычисления градиента: с парной пробой и с центральной пробой;

• по алгоритму коррекции шага;

•   по алгоритму вычисления новой точки: одношаговые и многошаговые.

2.2. Безградиентные: с поочередным изменением переменных и с одновременным изменением переменных.

2.3. Случайного поиска: с чисто случайной стратегией и со смешанной стратегией.

3. По наличию активных ограничений.

3.1. Без ограничений (безусловные).

3.2. С ограничениями (условные):

• с ограничениями типа равенств;

• с ограничениями типа неравенств;

• смешанные.

Методы оптимизации эффективно применяются в самых различ­ных областях человеческой деятельности. Особенно значительные успехи достигнуты при проектировании и анализе больших техни­ческих систем. Ускоренные темпы внедрения теоретических разра­боток в инженерную практику в существенной степени обусловлены широким распространением и интенсивным совершенствованием средств вычислительной техники.

В настоящее время для инженера знание методов оптимизации является столь же необходимым, как знание основ математического анализа, физики, химии, теории сопротивления материалов, радио­электроники и ряда других дисциплин, ставших традиционными. Однако большинство публикаций, посвященных теоретическим и прикладным аспектам математического программирования, как правило, охватывают узкий круг вопросов и требуют от читателя фундаментальной математической подготовки.

В наиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать полного перебора и оценива­ния возможных вариантов. Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, поскольку классические функции инженера заключаются в том, чтобы, с одной стороны, проектиро­вать новые, более эффективные и менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем.

Эффективность оптимизационных методов, позволяющих осу­ществить выбор наилучшего варианта без непосредственной про­верки всех возможных вариантов, тесно связана с широким исполь­зованием достижений в области математики путем реализации итеративных вычислительных схем, опирающихся на строго обосно­ванные логические процедуры и алгоритмы, на базе применения вычислительной техники.

Необходимые условия для применения оптимизационных методов

Для того чтобы использовать математические результаты и чис­ленные методы теории оптимизации для решения конкретных инже­нерных задач, необходимо установить границы подлежащей опти­мизации инженерной системы, определить количественный критерий, на основе которого можно произвести анализ вариантов с целью выявления «наилучшего», осуществить выбор внутрисистемных пе­ременных, которые используются для определения характеристик и идентификации вариантов, и, наконец, построить модель, отра­жающую взаимосвязи между переменными. Эта последовательность действий составляет содержание процесса постановки задачи ин­женерной оптимизации. Корректная постановка задачи служит ключом к успеху оптимизационного исследования и ассоциируется в большей степени с искусством, нежели с точной наукой. Искусство постановки задач постигается в практической деятельности на при­мерах успешно реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфических особен­ностей различных методов теории оптимизации.

Определение границ системы

Прежде чем приступить к оптимизационному исследованию, важно четко определить границы изучаемой системы. Границы системы задаются пределами, отделяю­щими систему от внешней среды, и служат для выделения системы из ее окружения. При проведении анализа обычно предполагается, что взаимосвязи между системой и внешней средой зафиксированы на некотором выбранном уровне представления. Тем не менее, поскольку такие взаимосвязи всегда существуют, определение гра­ниц системы является первым шагом в процессе приближенного описания реальной системы.

В ряде случаев может оказаться, что первоначальный выбор границы является слишком жестким. Для более полного анализа данной инженерной системы может возникнуть необходимость рас­ширения установленных границ системы путем включения других подсистем, оказывающих существенное влияние на функционирова­ние исследуемой системы. производственного цеха. Расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и, следовательно, в значи­тельной мере затрудняет ее анализ. Очевидно, что в инженерной практике следует, насколько это возможно, стремиться к разбиению больших сложных систем на относительно небольшие подсистемы, которые можно изучать по отдельности. Однако при этом необхо­димо иметь уверенность в том, что такая декомпозиция не приведет к излишнему упрощению реальной ситуации.

Характеристический критерий

Если подлежащая исследованию система определена и ее границы установлены, то на следующем этапе постановки задачи оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта, с тем чтобы вы­явить «наилучший» проект или множество «наилучших» условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются критерии экономического характера. Однако спектр возможных формулировок таких критериев весьма широк; при определении критерия могут использоваться такие экономические характеристики, как валовые капитальные затраты, издержки в единицу времени, чистая прибыль в единицу времени, доходы от инвестиций, отношение затрат к прибыли или собственный капитал на данный момент времени. В других приложениях критерий может основываться на некоторых технологических факторах, например, когда требуется минимизировать продолжительность процесса про­изводства изделия, максимизировать темпы производства, миними­зировать количество потребляемой энергии, максимизировать ве­личину крутящего момента, максимизировать нагрузку и т. п. Независимо от того, какой критерий выбирается при оптимизации, «наилучшему» варианту всегда соответствует минимальное или мак­симальноезначение характеристического показателя качества функ­ционирования системы.

Важно отметить, что независимо от содержания оптимизацион­ных методов, рассматриваемых в настоящей книге, только один критерий (и, следовательно, характеристическая мера) может ис­пользоваться при определении оптимума, так как невозможно по­лучить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат, максимум надежности и минимум потребляемой энергии. Здесь мы опять сталкиваемся с существенным упрощением реальной ситуации, поскольку в ряде практических случаев было бы весьма желательным найти решение, которое бы являлось «наи­лучшим» с позиций нескольких различных критериев.

1. Один из путей учета совокупности противоречивых целевых уста­новок состоит в том, что какой-либо из критериев выбирается в ка­честве первичного, тогда как остальные критерии считаются вто­ричными. В этом случае первичный критерий используется при оптимизации как характеристическая мера, а вторичные критерии порождают ограничения оптимизационной задачи, которые уста­навливают диапазоны изменений соответствующих показателей от минимального до максимального приемлемого значения.

Критерии не могут быть реализованы при оптимизации одновременно. Приемлемым компромиссом явля­ется выбор в качестве первичного характеристического показателя качества функционирования системы подлежащего минимизации показателя суммарных затрат в единицу времени с последующим учетом необходимых вторичных условий, к числу которых отно­сится поддержание объемов складских запасов изделий всех видов в заранее установленных границах,, а также ограничение количества изменений в ассортименте изделий и используемых красок в тече­ние недели.

Независимые переменные

На третьем основном этапе постановки задачи оптимизации осу­ществляется выбор независимых переменных, которые должны адекватно описывать допустимые проекты или условия функциони­рования системы. В процессе выбора независимых переменных следует принять во внимание ряд важных обстоятельств.

Во-первых, необходимо провести различие между переменными, значения которых могут изменяться в достаточно широком диапазо­не, и переменными, значения которых фиксированы и определяются внешними факторами. Важно провести различие между теми параметрами сис­темы, которые могут предполагаться постоянными, и параметрами, которые подвержены флуктуациям вследствие воздействия внешних или неконтролируемых факторов.

Во-вторых, при постановке задачи следует учитывать все основ­ные переменные, которые влияют на функционирование системы или качество проекта. Независимые переменные должны выбираться таким образом, чтобы все важней­шие технико-экономические решения нашли отражение в формули­ровке задачи.

Еще одним существенным фактором, влияющим на вы­бор переменных, является уровень детализации при исследовании системы. Очень важно ввести в рассмотрение все основные незави­симые переменные, но не менее важно не «перегружать» задачу боль­шим количеством мелких, несущественных деталей. При выборе независимых переменных целесооб­разно руководствоваться правилом, согласно которому следует рассматривать только те переменные, которые оказывают суще­ственное влияние на характеристический критерий, выбранный для анализа сложной системы.

Модель системы

После того как характеристический критерий и независимые переменные выбраны, на следующем этапе постановки задачи необ­ходимо построить модель, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой характеристическим критерием. В принципе оптимизационное исследование можно про­вести на основе непосредственного экспериментирования с системой.

Для этого следует зафиксировать значения независимых внутри­системных переменных, реализовать процедуру наблюдения за функционированием системы в этих условиях и оценить значение характеристического показателя качества функционирования систе­мы, исходя из зарегистрированных характеристик. Затем с помощью оптимизационных методов можно скорректировать значения неза­висимых переменных и продолжить серию экспериментов. Однако на практике оптимизационные исследования проводятся, как пра­вило, на основе упрощенного математического представления сис­темы, которое носит название модели.Применение моделей обуслов­лено тем, что эксперименты с реальными системами обычно требуют слишком больших затрат средств и времени, а также в ряде случаев оказываются связанными с риском. Модели широко используются при инженерном проектировании, поскольку это открывает воз­можности для реализации наиболее экономичного способа изучения влияния изменений в значениях основных независимых переменных на показатель качества функционирования системы.

В самом общем представлении структура модели включает ос­новные уравнения материальных и энергетических балансов, соот­ношения, связанные с проектными решениями, а также уравнения, описывающие физические процессы, протекающие в системе. Эти уравнения обычно дополняются неравенствами, которые определяют область допустимых значений независимых переменных, позволяют определить требования, накладываемые на верхние или нижние границы изменения характеристик функционирования системы, и установить лимиты имеющихся ресурсов. Таким образом, элементы модели содержат всю информацию, которая обычно используется при расчете проекта или прогнозировании характеристик инженер­ной системы. Очевидно, что процесс построения модели является весьма трудоемким и требует четкого понимания специфических особенностей рассматриваемой системы. В общем случае модель представляет собой некоторый набор уравнений и неравенств, которые определяют взаимосвязь между переменными системы и ограничивают область допустимых изменений пере­менных.

---

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 426; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!