Семейство методов Ньютона-Котеса
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева Кафедра «Прикладная математика» КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине «Основы численных методов» на тему: «Применение численных методов в математических расчетах» «Численные методы интегрирования» Вариант № 9 Выполнил: Иванов И.С. Группа. 16-ТМз(Т)-3 Проверила: Ловыгина М.Б. _______________________ (оценка) Нижний Новгород 2018 г.
Содержание
| Введение……………………………………………………...……………………...…. | 2 |
| 1 Численные методы интегрирования..........……………………………………….… | 4 |
| 1.1 Задача численного интегрирования………………………………………............ | 4 |
| 1.2 Методы Ньютона-Котеса…………………………….………………………........ | 7 |
| 1.2.1 Метод прямоугольников………………………….………………………….... | 7 |
| 1.2.2 Метод трапеции…………………………………………………………........... | 8 |
| 1.2.3 Метод Симпсона……………………………………………………………...... | 9 |
| 1.2.4 Семейство методов Ньютона-Котеса………………………………………... | 12 |
| 1.3 Метод Гаусса1.4 Методы Монте–Карло…………………………………………... | 15 |
| 2 Практическая часть………………………………………………………………..... | 16 |
| 2.1 Решение нелинейных уравнений в Excel………………………………………... | 16 |
| 2.2 Решение систем линейных уравнений в Excel ……………..………………....... | 17 |
| 2.3 Аппроксимация в Excel …..……………………………………………………..... | 19 |
| 2.4 Методы численного интегрирования……………………………………………. | 20 |
| 2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений ……………………… | 22 |
| Заключение...................................................................................................................... | 25 |
| Список литературы......................................................................................................... | 26 |
|
|
|
Введение
Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций 
интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная 
может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, "классические" методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией 
). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут.
|
|
|
Численные методы интегрирования
Задача численного интегрирования
В ряде задач возникает необходимость вычисления определенного интеграла от некоторой функции:
(1.1)
Где 
- подынтегральная функция, непрерывная на отрезке 
.
Геометрический смысл интеграла заключается в том, что если 
на отрезке 
, то интеграл 
численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции 
, отрезком оси абсцисс, прямой 
и прямой 
(рисунок 1). Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.
Рисунок 1 - Геометрический смысл интеграла
Задача численного интегрирования (историческое название - квадратура) состоит в замене исходной подынтегральной функции некоторой аппроксимирующей функцией (обычно полиномом).
|
|
|
Численное интегрирование применяется, когда:
- сама подынтегральная функция не задана аналитически, а например, представлена в виде таблицы значений;
- аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.
Способы численного вычисления определенных интегралов основаны на замене интеграла конечной суммой:
(1.2)
Где 
– числовые коэффициенты, выбор которых зависит от выбранного метода численного интегрирования, 
– узлы интегрирования ( 
). Выражение (1.2) называют квадратурной формулой.
Разделим отрезок 
на N равных частей, т.е. на N элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка:
(1.3)
Тогда значение интеграла можно представить в виде:
(1.4)
Из этого выражения видно, что для численного интегрирования на отрезке 
, достаточно построить квадратурную формулу на каждом частичном отрезке 
.
|
|
|
Погрешность квадратурной формулы определяется выражением:
(1.5)
и зависит от выбора коэффициентов 
и от расположения узлов 
.
Погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения. Уменьшая этот шаг, можно добиться большей точности. Однако, увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится ограничиваться заданным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов.
Формулы Ньютона-Котеса получаются путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа с разбиением каждого частичного отрезка интегрирования на n равных частей. Получившиеся формулы используют значения подынтегральной функции в узлах интерполяции и являются точными для всех многочленов степени х зависящей от числа узлов. Точность формул растет с увеличением степени интерполяционного многочлена.
Метод Гаусса не предполагает разбиения отрезка интегрирования на равные промежутки. Формулы численного интегрирования интерполяционного типа ищутся таким образом, чтобы они обладали наивысшим порядком точности при заданном числе узлов. Узлы и коэффициенты формул численного интегрирования находятся из условий обращения в нуль их остаточных членов для всех многочленов максимально высокой степени.
Методы Ньютона-Котеса
Метод прямоугольников
Одним из простейших методов численного интегрирования является метод прямоугольников. На частичном отрезке 
заменяют подынтегральную функцию полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в одной точке. Естественно в качестве этой точки выбрать среднюю: 
. Тогда значение интеграла на частичном отрезке:
(1.6)
Подставив это выражение в (1.5), получим составную формулу средних прямоугольников:
(1.7)
Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников представлена на рис.1.2(a). Из рисунка видно, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из N прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы Nэлементарных прямоугольников.
Формулу (1.7) можно представить в ином виде:
или 
(1.8)
Эти формулы называются формулой левых и правых прямоугольников соответственно. Графически метод левых и правых прямоугольников представлен на рисунок 1.2 (б, в). Однако из-за нарушения симметрии в формулах правых и левых прямоугольников, их погрешность значительно больше, чем в методе средних прямоугольников
 а) средние прямоугольники
|  б) левые прямоугольники
|  в) правые прямоугольники
|
| Рисунок 1.2 - Интегрирование методом прямоугольников | ||
Метод трапеций
Если на частичном отрезке подынтегральную функцию заменить полиномом Лагранжа первой степени, то есть:
(1.9)
то искомый интеграл на частичном отрезке запишется следующим образом:
(1.10)
И, составная формула трапеций на всем отрезке интегрирования 
примет вид:
(1.11)
Графически метод трапеций представлен на рисунке 1.3. Площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из N трапеций, при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной. На каждом из частичных отрезков функция аппроксимируется прямой, проходящей через конечные значения, при этом площадь трапеции на каждом отрезке определяется по формуле 1.10.
Погрешность метода трапеций выше, чем у метода средних прямоугольников. Однако на практике найти среднее значение на элементарном интервале можно только у функций, заданных аналитически (а не таблично), поэтому использовать метод средних прямоугольников удается далеко не всегда.
Рисунок 1.3 - Интегрирование методом трапеций
Метод Симпсона
В этом методе подынтегральная функция на частичном отрезке аппроксимируется параболой, проходящей через три точки 
, 
, 
, то есть интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:
(1.12)
Проведя интегрирование, получим:
(1.13)
Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке 
формула Симпсона примет вид:
(1.14)
Можно разбить отрезок интегрирования на четное количество 2N равных частей с шагом 
. Тогда можно построить параболу на каждом сдвоенном частичном отрезке 
и переписать выражения (1.12-1.14) без дробных индексов. Тогда формула Симпсона примет вид:
(1.15)
Графическое представление метода Симпсона показано на рисунке 1.4. На каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой параболой.
Рисунок 1.4 - Метод Симпсона
Семейство методов Ньютона-Котеса
Выше мы рассмотрели три схожих метода интегрирования функций – метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона. Их объединяет общая идея – интегрируемая функция интерполируется на отрезке интегрирования по равноотстоящим узлам многочленом Лагранжа, для которого аналитически вычисляется значение интеграла. Семейство методов, основанных на таком подходе, называется методами Ньютона-Котеса.
В выражении мы называли коэффициентами, исходя из их смысла. Однако, правильнее эти величины называть весовыми коэффициентами. Величину 
, определяющую погрешность численного интегрирования, также называют остатком.
Для семейства методов Ньютона-Котеса можно записать общее выражение:
(1.16)
где n – порядок метода Ньютона-Котеса, N – количество частичных отрезков, 
, 
, 
.
Коэффициенты 
могут быть заданы в табличной форме:
| n | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 0 | 1 | 1 | |||||
| 1 | 2 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 6 | 1 | 4 | 1 | |||
| 3 | 8 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 90 | 7 | 32 | 12 | 32 | 7 | |
| 5 | 288 | 19 | 75 | 50 | 50 | 75 | 19 |
Рисунок 1.4 Весовые коэффициенты метода Ньютона-Котеса
Из выражения (1.16) легко можно получить формулу прямоугольников для 
, формулу трапеций для 
, и формулу Симпсона для 
.
Метод Гаусса
В формулах численного интегрирования Ньютона-Котеса используются равноотстоящие узлы. В случае квадратурных формул Гаусса узлы интегрирования 
на отрезке располагаются не равномерно, а выбираются таким образом, чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени.
(1.17)
Узлы 
являются корнями полинома Лежандра степени n, а веса вычисляются интегрированием полиномов Лежандра по формуле 
, где 
- первая производная полинома Лежандра.
Приведенные в таблице 1.5 данные рассчитаны для отрезка 
, для интегрирования на произвольном частичном отрезке необходимо пересчитать значения узлов для данного отрезка :
(1.18)
| n | i | 
| 
|
| 1 | 1 | 0 | 2 |
| 2 | 1 | -0.5773503 | 1 |
| 2 | 0.5773503 | 1 | |
| 3 | 1 | -0.7745967 | 0.5555556 |
| 2 | 0 | 0.8888889 | |
| 3 | 0.7745967 | 0.5555556 | |
| 4 | 1 | -0.8611363 | 0.3478548 |
| 2 | -0.3399810 | 0.6521451 | |
| 3 | 0.3399810 | 0.6521451 | |
| 4 | 0.8611363 | 0.3478548 | |
| 5 | 1 | -0.9061798 | 0.4786287 |
| 2 | -0.5384693 | 0.2369269 | |
| 3 | 0 | 0.5688888 | |
| 4 | 0.5384693 | 0.2369269 | |
| 5 | 0.9061798 | 0.4786287 | |
| 6 | 1 | -0.9324700 | 0.1713245 |
| 2 | -0.6612094 | 0.3607616 | |
| 3 | -0.2386142 | 0.4679140 | |
| 4 | 0.2386142 | 0.4679140 | |
| 5 | 0.6612094 | 0.3607616 | |
| 6 | 0.9324700 | 0.1713245 |
Рисунок 1.5 Весовые коэффициенты метода Гаусса
Правила Гаусса относятся к правилам открытого типа. Это означает, что ни один и узлов не совпадает ни с одним из концов отрезка интегрирования a или b. "Открытость" полезна тем, что трудности, которые могут возникнуть при вычислении значений подынтегральной функции, связаны обычно именно с концевыми точками. Некоторые функции не определены при 
, но практически всегда существует 
, поэтому функция может быть доопределена, такая особенность называется устранимой.
Веса квадратур Гаусса всегда положительны и при увеличении числа узлов, точность приближения почти всегда возрастает.
Методы Монте–Карло
Рассмотренные методы называются детерминированными, то есть лишенными элемента случайности.
Методы Монте–Карло – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. Методы Монте-Карло позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи.
При вычислении интеграла по формуле прямоугольников интервал 
разбивается на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычисляются значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:
, где 
. (1.20)
где 
– случайное число, равномерно распределенное на интервале 
.
Погрешность вычисления интеграла методом Монте-Карло значительно больше, чем у ранее рассмотренных детерминированных методов. Однако, при вычислении кратных интегралов детерминированными методами оценка погрешности перерастает в задачу порой более сложную, чем вычисление интеграла. В то же время погрешность вычисления кратных интегралов методом Монте-Карло слабо зависит от кратности и легко вычисляется в каждом конкретном случае практически без дополнительных затрат.
Практическая часть
Дата добавления: 2018-05-31; просмотров: 2844; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!