Полный график критических напряжений для малоуглеродистой стали Ст3
Критические напряжения. Расчет на устойчивость стержня при упругопластических деформациях.
Введем понятие критического напряжения , то есть напряжения, со- ответствующего критической силе при потере устойчивости сжатого стержня
Вспомним, что
– квадрат минимального радиуса инерции.
Тогда формулу можно записать так:
Величина
- называется гибкостью стержня.
Окончательно получим
Как видим, критическое напряжение зависит только от упругих свойств материала (модуля Юнга E) и гибкости стержня λ.
При этом зависимость между σкр и λ может быть представлена гиперболической кривой, называемой гиперболой Эйлера .
Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии балки.
Поэтому использовать эту формулу можно лишь в том случае, когда деформирование материала протекает в соответствии с законом Гука, то есть пока критическое напряжение не превысит предела пропорциональности σпц (по диаграмме сжатия материала):
Используя это соотношение, можно найти условие для определения предельной гибкости стержня λпр, когда еще возможно применение формулы Эйлера:
Пример.
Для малоуглеродистых сталей E=2·105 МПа, σпц≈200 МПа предельная гибкость
Итак, при λ>λпр для определения критической силы будем пользоваться формулой Эйлера, если же λ< λпр то формула Эйлера становится неприемлемой, так как дает завышенные значения критической силы, то есть всегда переоценивает действительную устойчивость стержней.
|
|
|
Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом пропорциональности не только неправильно, но и опасно.
Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому для расчетов на устойчивость в этой области обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого числа экспериментальных данных.
Прежде всего, выделим стержни с малой гибкостью , у которых 0<λ< λ1 ≈ (0,3 -0,4) λпр (для стали).
Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет потери прочности, потеря устойчивости в таких случаях, как правило, не наблюдается.
Таким образом, для стержней малой гибкости при сжатии проводят обычный расчет на прочность, принимая в качестве предельного напряжения предел текучести σТ (для пластичных материалов) или предел прочности σв (для хрупких материалов).
Этому условию соответствует горизонтальная прямая на рисунке.
Формула Ясинского критических напряжений.
|
|
|
Для практических (инженерных) расчетов стержней средней гибкости чаще всего используется эмпирическая зависимость, предложенная Ф. С. Ясинским на основе изучения опытных данных (формула Ясинского ):
где a и b – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала, их значения приводятся в справочниках.
Пример, для стали 40:
a = 321 МПа,
b = 1,16 МПа.
Пример, для дерева:
a = 2,9 МПа,
b = 0,19 МПа.
Пример, для чугуна:
a = 776 МПа,
b = 12 МПа
с = 0,05 МПа
Полный график критических напряжений для малоуглеродистой стали Ст3
При малых значениях λ (λ < 40 ) стержни из низкоуглеродистой стали рассчитывают на простое сжатие, принимая в качестве предельного напряжения предел текучести σТ (для пластичных материалов) или предел прочности σв (для хрупких материалов).
Этому условию соответствует горизонтальная прямая на рисунке.
При средних40≤ λ ≤100 расчет ведут по формуле Ясинского, на диаграмме критических напряжений соответствует наклонная прямая.
При больших λ ≥100 расчет ведут по
формуле Эйлера, на диаграмме критических напряжений соответствует парабола.
6. Определение допускаемых напряжений на устойчивость. Коэффициент понижения напряжений.
|
|
|
Удобно вести расчеты на устойчивость единообразно, независимо от величины гибкости стержня. В практике проектирования строительных конструкций широко применяется метод расчета по так называемому коэффициенту снижения допускаемых напряжений (коэффициенту φ).
Расчет ведется как на сжатие 
, но допускаемое напряжение на сжатие уменьшается.
Для продольно сжатых стержней необходимо проводить две проверки:
А) проверка на прочность
где
– допускаемое напряжение на сжатие;
σо – опасное напряжение (предел текучести для пластичных материалов или предел прочности для хрупких);
nпр – коэффициент запаса прочности.
Б) проверка на устойчивость
, где
– допускаемое напряжение на устойчивость;
σкр – критическое напряжение на устойчивость;
nу – коэффициент запаса устойчивости.
Отметим, что коэффициент запаса устойчивости (для сталей nу=1,8...3) всегда выше коэффициента запаса на прочность (nпр=1,4...1,6).
Это объясняется тем, что коэффициент запаса устойчивости, кроме всего прочего, зависит от таких факторов, как начальная кривизна стержня, эксцентриситет приложения нагрузки, неоднородность материала, которые незначительно влияют на прочность, однако могут вызвать преждевременную потерю устойчивости.
|
|
|
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 1723; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!