Анализ переходных процессов в электрической цепи
Переходный процесс происходит при внезапных (скачкообразных) изменениях структуры цепи или параметров ее элементов, в том числе, что наиболее важно, при отключении или включении (либо изменении параметров) задающих источников тока (напряжения).
Переходные процессы возможны только в цепях, где есть емкости (конденсаторы) и/или индуктивности (катушки индуктивности), т.е. элементы, способные запасать и отдавать энергию.
Запас энергии в конденсаторе определяется напряжением на нем, и это напряжение не может измениться мгновенно, в отличие от протекающего через конденсатор тока.
В катушке индуктивности запас энергии определяется током, протекающим через катушку, и этот ток не может измениться мгновенно, тогда как напряжение на катушке измениться может.
В классическом методе анализа реакцию цепи на внезапное изменение ее состояния (структуры либо параметров) представляют в виде суммы свободной и вынужденной составляющих, т.е.
,
где , и – токи либо напряжения.
Вынужденная составляющая , являясь реакцией цепи на внешнее воздействие, возникшее после коммутации (изменения состояния цепи), может быть определена одним из рассмотренных выше методов анализа цепи в установившемся режиме.
При отыскании свободной составляющей поступают следующим образом:
|
|
– одним из методов анализа цепи в установившемся режиме определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации ( );
– для схемы, получившейся в результате коммутации, с учетом соотношений (1.1) – (1.3) составляется система интегро-дифференциальных уравнений;
– в результате решения этой системы уравнений относительно заданной неизвестной (напряжения или тока ветви) получают дифференциальное уравнение цепи;
– составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и записывают общий вид свободной составляющей реакции цепи;
– постоянные интегрирования определяют из анализа цепи для момента времени , непосредственно следующим за моментом коммутации, когда токи индуктивностей и напряжения емкостей еще не изменились, оставаясь равными соответственно и .
Классический метод анализа переходных процессов применяется для простейших цепей и при простых внешних воздействиях в виде скачка постоянного напряжения (тока) или включения в цепь источника гармонического сигнала. В общем случае используется операторный метод анализа, основу которого составляет преобразование Лапласа.
|
|
Как и в случае метода комплексных амплитуд, операторный метод анализа относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (изображениями).
Прямое преобразование Лапласа
ставит в соответствие функции времени функцию комплексной переменной . Функция называется изображением функции , а сама функция по отношению к функции – оригиналом. Оператор преобразования можно рассматривать как обобщенную комплексную частоту ( – угловая частота; – постоянное число).
Обратное преобразование Лапласа
( ) ставит в соответствие функции комплексной переменной функцию , для которой функция есть прямое преобразование Лапласа. Не всякая функция имеет обратное преобразование Лапласа. В общем случае существуют ограничения и при преобразовании функции .
Прямое и обратное преобразования Лапласа обозначаются соответственно
и
или
Некоторые свойства преобразования Лапласа (они же теоремы) приведены в табл. 1.1.
Все выражения для сопротивлений элементов , установленные для обобщенных комплексных амплитуд, а также законы Ома и Кирхгофа и методы анализа цепей на их основе справедливы и для операторного метода, если под понимать не мнимую частоту, а оператор Лапласа. При этом начальные условия в виде токов индуктивностей и напряжений емкостей, существовавшие в момент коммутации, учитываются путем включения в схему дополнительных источников тока и источников напряжения . В подавляющем большинстве случаев взаимные преобразования оригиналов и изображений можно выполнить без вычисления интегралов, используя готовые решения, сведенные в таблицы (некоторые из преобразований приведены в табл. 1.2).
|
|
Таблица 1.1
№ | Операция | Оригинал | Изображение |
1 | Умножение на постоянный коэффициент k | ||
2 | Суммирование | ||
3 | Дифференцирование оригинала | ||
4 | Интегрирование оригинала | ||
5 | Изменение масштаба ( – постоянный коэффициент) | ||
6 | Сдвиг аргумента у оригинала ( ) | ||
7 | Сдвиг аргумента у изображения ( комплексное число) |
Для отыскания оригиналов, изображения которых представлены в виде рациональных дробей вида
|
|
либо ,
можно воспользоваться соответственно первой либо второй теоремами разложения:
либо ,
где n – степень полинома , которая должна быть больше степени полинома (не меньше в случае второй теоремы); – производная по p полинома ; – простые корни полинома ; , – значения полиномов при .
Анализ переходных процессов операторным методом выполняется в следующей последовательности:
– в схеме цепи до коммутации одним из методов анализа установившегося процесса (например символическим) определяются токи индуктивностей и напряжения емкостей, которые наблюдались в момент, непосредственно предшествующий моменту коммутации ( );
– с учетом полученных начальных значений токов и напряжений составляется операторная схема цепи;
– по методу контурных токов или узловых напряжений составляется система уравнений в операторной форме;
– решается эта система уравнений относительно заданных неизвестных, представленных в операторной форме;
– используя табличные формулы перехода от изображения к оригиналу, получают решение в виде функций времени.
В качестве примера проведем анализ переходных процессов в цепи рис. 1.11,а при скачкообразном изменении постоянного напряжения задающего источника от В до В, т.е.
Задача анализа: получить зависимости токов ветвей цепи от времени при .
Рис. 1.11. Цепь с коммутируемым источником постоянного напряжения
Поскольку коммутируется источник постоянного напряжения, начальные значения тока индуктивности и напряжения емкости легко найти из анализа схемы рис. 1.11,а на постоянном токе (в установившемся режиме до коммутации):
; .
Составим операторную схему (рис. 1.11,б) цепи рис. 1.11,а, где
; .
В соответствии с 1-й строкой табл. 1.2, где приведено изображение постоянной величины,
; ; .
Таблица 1.2
(a, b, c, β, γ, – различные постоянные)
№ | ||
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ; | |
7 | ||
8 | ; ; ; | |
9 | ; ; ; | |
10 | ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; |
В схеме рис. 1.11,б преобразуем источник тока в источник напряжения с параметром
.
В результате получим схему рис. 1.11,в, которую можно описать следующей системой уравнений, составленной по методу контурных токов:
Решим эту систему уравнений относительно токов и :
;
.
Представим эти функции в таком виде:
,
,
предварительно вычислив в соответствии с исходными данными (указаны на рис. 1.11,а) значения коэффициентов полиномов
; ; ;
; ; .
Определив корни полинома , запишем функции и в табличной форме (см. табл. 1.2):
; .
Если корни получаются комплексно-сопряженными (как в рассматриваемом случае), то, чтобы исключить последующие преобразования выражений и , полином представляют в таком виде:
,
в результате чего выражения и примут другие табличные формы:
; , (1.8)
в соответствии с которыми (строка 6 при и строка 8 табл. 1.2)
; (1.9)
, (1.10)
где ; ; ; ; .
Вычислив все постоянные величины:
; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ,
временные зависимости токов и запишем в окончательном виде
[мА];
[мА]
(угол φ измеряется в радианах). При расчете углов φ и ψ по формулам, приведенным в табл. 1.2, необходимо учитывать знаки числителя y и знаменателя x аргумента функции , т.е. в какой четверти тригонометрического круга эта функция определена: если , то ( может быть как положительным, так и отрицательным).
Операторный ток ветви, содержащей сопротивление , как видно из рис. 1.11,в, равен разности токов и , описываемых выражениями (1.8), т.е.
.
Это выражение отличается от выражения для только коэффициентом , поэтому оригинал изображения
отличается от (1.10) исключительно значениями коэффициентов A, B и φ:
(в формулы для A, B и φ вместо b подставляется ).
В результате выражение функции времени тока будет иметь вид
[мА].
Рис. 1.12. Переходные процессы при коммутации источника постоянного напряжения
Графики функций , и приведены на рис. 1.12,а, б и в. Как видно из графиков, в цепи рис. 1.11,а (при указанных значениях параметров элементов) в результате коммутации источника постоянного напряжения происходит затухающий колебательный процесс с частотой Гц ( радиан/сек). При этом ток как при , так и при , тогда как мкА, а мкА, что, естественно, соответствует расчетным значениям (время – это момент коммутации, а не начало оси абсцисс на графиках рис. 1.12). Первый максимум на графике (рис. 1.12,б) соответствует моменту мсек, а на графике (рис. 1.12,в) – моменту мсек.
В качестве другого примера исследуем переходный процесс в той же цепи рис. 1.11,а, но при коммутации источника гармонического сигнала:
где В; ; Гц.
Поскольку начальные условия нулевые, операторная схема цепи рис. 1.13,а примет вид, показанный на рис. 1.13,б, где
(см. строку 3 табл. 1.2 при ).
Рис. 1.13. Цепь с коммутируемым источником гармонических колебаний
Запишем систему уравнений по методу контурных токов:
и решим ее относительно неизвестных и :
;
.
Запишем эти выражения в таком виде:
,
,
где
; ; ;
; .
Определив корни полинома , представим функции и в табличной форме:
; . (1.11)
В соответствии с 10-й строкой табл. 1.2, учитывая, что коэффициент с в формулах (1.11) равен нулю (а в формуле для равен нулю еще и коэффициент a), получим следующие выражения временных зависимостей токов:
(1.12)
где ; ;
; ;
; ;
; ;
;
.
После расчета значений всех постоянных величин –
; ; ; ; ;
;
; ; ; ;
; ; ;
– функции (1.12) примут окончательный вид:
Как видно из этих выражений и соответствующих графиков на рис. 1.14,б и в, при коммутации источника гармонического сигнала в цепи рис. 1.13,а ток емкости (и индуктивности) будет состоять из двух, наложенных друг на друга, составляющих, одна из которых представляет собой вынужденные гармонические колебания с частотой а другая – свободную составляющую в виде затухающих колебаний с частотой .
Рис. 1.14. Переходные процессы при коммутации источника гармонического сигнала
Если требуется получить временные зависимости напряжений на емкости и индуктивности, то в соответствии с формулами (1.2) и (1.3) необходимо выполнить соответственно операции интегрирования и дифференцирования токов и :
; ,
где – напряжение на емкости в момент коммутации.
Так, к примеру, в схеме рис. 1.11,а на основании выражений (1.9) и (1.10) получаются следующие функции:
; ,
где ; .
Функции и можно также найти, исследуя операторную схему цепи относительно операторных напряжений и с последующим преобразованием их выражений.
Задание 1
Методом узловых напряжений или контурных токов получить выражения и определить значения напряжений и токов ветвей цепи рис. 1.15 соответствующего варианта (в1 – в10).
Параметры элементов цепи: ; ; ; ; ; ; ; .
Рис. 1.15. Схемы электрических цепей к заданию 1
Задание 2
1. Проанализировать цепь рис. 1.16 соответствующего варианта методом узловых напряжений (в1 – в5) или контурных токов (в6 – в10), получив выражение напряжения ветви ( ).
2. По данным параметров элементов цепи рассчитать значение функции передачи на частоте и представить это значение в показательной форме:
,
где , .
3. Вычислить комплексную амплитуду напряжения
,
где , .
Рис. 1.16. Схемы электрических цепей к заданию 2
Данные элементов схем рис. 1.16,в1 – в5: ; ; ; ; ; для в1–в2 и для в3–в5.
Данные элементов схем рис. 1.16,в6 – в10: ; ; ; ; ; ; ; ; .
Данные задающего источника: .
Задание 3
1. Исследовать переходный процесс в цепи рис. 1.17 соответствующего варианта (в1 – в10), получив выражения токов и .
2. Представить графики зависимостей токов и как функций времени .
Исходные данные.
Параметры элементов схемы: мкФ; Гн; кОм; Ом; кОм; кОм.
Задающее воздействие:
либо
где В; В; В; ; Гц.
Рис. 1.17. Схемы электрических цепей к заданию 3
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 232; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!