Анализ электрических цепей методом узловых напряжений

“Анализ линейных электрических цепей”

Элементы электрических цепей

           Электрические цепи состоят из активных и пассивных элементов. К активным элементам относятся источники энергии и сигналов. Различают два вида таких источников: источники напряжения, отличающиеся очень малым (в пределе – нулевым) внутренним сопротивлением, и источники тока, отличающиеся, наоборот, очень большим (в пределе – бесконечным) внутренним сопротивлением. Условные обозначения идеальных источников приведены на рис. 1.1,а и б. Идеальный источник напряжения характеризуется задающим напряжением , величина и форма которого не зависит от тока, отдаваемого источником в цепь. Неидеальность источника напряжения (т.е. наличие в нем потерь) учитывается внутренним сопротивлением , включенным последовательно с идеальным источником . Идеальный источник тока характеризуется задающим током , величина и форма которого не зависят от значения напряжения на его выводах (полюсах). Потери у реального источника тока учитываются внутренним сопротивлением , включенным параллельно идеальному источнику .

Рис.1.1. Элементы электрических цепей: а – источник напряжения;

       б – источник тока; в – сопротивление; г – емкость; д – индуктивность

           К линейным пассивным элементам, т.е. элементам, рассеивающих или накапливающих энергию, относятся резистор , обладающий активным (не реактивным) сопротивлением , конденсатор , характеризующийся емкостью , и катушка индуктивности , характеризующаяся индуктивностью . Конденсатор  и катушка индуктивности  обладают реактивным сопротивлением, соответственно  и . В схемах электрических цепей перечисленные здесь элементы обозначаются как сопротивление , емкость  и индуктивность  (рис. 1.1, в, г и д). Потери у неидеального конденсатора и неидеальной катушки индуктивности учитываются добавлением параллельно с  и последовательно с  активных сопротивлений .

           У идеальных пассивных элементов токи связаны с падениями напряжений на них следующими соотношениями:

;                                           (1.1)

;                                         (1.2)

.                                          (1.3)

           Как видно из выражений (1.2) и (1.3), в цепи, где источниками являются источники постоянного напряжения (или тока), ток через емкость и напряжение на индуктивности равны нулю. Если же к емкости приложено синусоидальное напряжение

,

то ток, согласно (1.2), будет равен

,

т.е. он будет опережать напряжение  на фазовый угол, равный , а выражение его амплитудного значения примет вид

,

где  – амплитудное значение напряжения;  – круговая частота;  – емкостное сопротивление.

           В свою очередь, при протекании через индуктивность синусоидального тока

напряжение на индуктивности, согласно (1.3), будет равно

,

т.е. оно будет опережать ток  на фазовый угол, равный , а выражение его амплитудного значения примет вид

,

где  – амплитудное значение тока;  – индуктивное сопротивление.

           Реактивные свойства элементов  и  можно учесть в более общем виде, введя понятие обобщенной комплексной амплитуды, представив действующие напряжения и токи в показательной форме:

 и ,

где  и  – комплексные амплитуды соответственно напряжения и тока;  – фазовый угол.

           Подстановка этих выражений в (1.2) и (1.3) дает следующий результат:

 и .

Таким образом, между комплексными амплитудными значениями токов и напряжений элементов  и  имеют место следующие связи:

; ,

где   и  – комплексные сопротивления соответственно емкости и индуктивности;  – мнимая частота.

           Выражение (1.1) для сопротивлений  также можно записать относительно комплексных амплитуд:

,

поэтому можно утверждать, что относительно комплексных амплитуд (комплексных амплитудных, действующих и мгновенных значений) закон Ома

                                                 (1.4)

справедлив для участков цепей с активными ( ), емкостными ( ) и индуктивными ( ) элементами ( ).

Электрические цепи

           Двухполюсные активные и пассивные элементы , , ,  и  являются линейными элементами, поэтому и электрические цепи, составленные из таких элементов, являются линейными. Каждый двухполюсный элемент имеет два вывода (полюса), которыми они соединяются друг с другом, образуя цепь. Точка соединения двух элементов (рис. 1.2,а) называется простым (устранимым) узлом. При соединении трех и более элементов (рис. 1.2,б) образуется сложный узел (или, просто, узел).

           Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных элементов и расположенный между двумя (сложными) узлами, называется ветвью. Сопротивление ветви равно сумме сопротивлений ее элементов (рис. 1.3,а), а напряжение эквивалентного источника напряжения ветви равно сумме напряжений источников, входящих в ветвь (рис. 1.3,б). Если ветвь содержит параллельное соединение сопротивлений и/или источников тока, то суммируются проводимости и токи (рис. 1.3,в). Генератор тока  (  на рис. 1.3,в) с внутренним сопротивлением, не равным бесконечности ( на рис. 1.3,в), может быть заменен генератором напряжения  (  на рис. 1.3,в) с тем же внутренним сопротивлением. Параллельное соединение неидеальных источников напряжения можно заменить параллельным соединением источников тока, а затем определить эквивалентные элементы ветви (рис. 1.3,г). При последовательном соединении неидеальных источников тока (рис. 1.3,д) их сначала преобразуют в неидеальные источники напряжения, а затем представляют в виде эквивалентного источника напряжения либо тока.

Рис. 1.3. Эквивалентные преобразования ветвей

Необходимо отметить, что в случае идеальных источников нельзя включать параллельно источники напряжения (  и  на рис. 1.3,г), а источники тока – последовательно (  и  на рис. 1.3,д). И еще одно замечание: в случае объединения нескольких источников переменного тока (напряжения) предполагается, что они имеют одинаковые частоты.

           Если ветвь образована идеальным источником напряжения  (рис. 1.4,а), то один из узлов этой ветви можно устранить путем вынесения источника  за этот узел, включив его в каждую ветвь, сходящуюся к этому узлу (рис. 1.4,б или в).

Рис.1.4. Вынесение идеального источника напряжения за узел

           Ветви, соединенные между собой через общие узлы, образуют контуры. Контур – это замкнутый путь, который проходит через элементы схемы и соединительные провода так, что ни один из узлов не входит в этот путь больше одного раза. Если одна из ветвей контура образована идеальным источником тока  (рис. 1.5,а), то эта ветвь может быть устранена, но при этом в остальные ветви этого контура должны быть внесены источники , включив их параллельно каждому элементу ветви (рис. 1.5,б или в). Идеальный источник тока, включенный параллельно идеальному источнику напряжения не имеет смысла, поскольку он оказывается замкнутым сам на себя.

Рис. 1.5. Исключение ветви, состоящей из идеального источника тока

           На рис. 1.3 – 1.5 вместо резисторов  ( номера резисторов) могут быть и другие элементы (конденсаторы, катушки индуктивности), представленные своими сопротивлениями  (проводимостями ).

           С целью изменения конфигурации цепи и/или значений параметров элементов ветвей (сопротивления, емкости, индуктивности) используются преобразования типа “звезды в треугольник” (рис. 1.6,а) или “треугольника в звезду” (рис. 1.6,б).

Рис.1.6. Преобразование сопротивлений: а – “звезды

                                    в треугольник”; б – “треугольника в звезду”

           Расчетные формулы:

;

,

где  ( ) – комплексные сопротивления (проводимости) ветвей.

           Выбор тех или иных преобразования, рассмотренных, в том числе, и в этом подразделе, зависит от вида электрической цепи и метода ее анализа.

Анализ электрических цепей методом узловых напряжений

           Метод анализа основан на применении первого закона Кирхгофа, в соответствии с которым алгебраическая сумма всех токов, сходящихся к любому i-му узлу электрической цепи, равна нулю, т.е.

,                                                  (1.5)

где  может иметь любую форму представления (временную – , символическую –  или , операторную – ).

           При анализе цепи направления токов можно задать произвольно, но обычно положительными считаются токи, направленные от узла. Система уравнений, описывающая всю цепь, состоит из  уравнений (1.5), где  n – число неустранимых узлов (один из узлов принимается за общий).

           Если в цепи действуют только постоянные источники тока и/или напряжения, то реактивные элементы  и  из схемы исключаются: ветвь, содержащая емкость, из схемы удаляется, а в ветви, содержащей индуктивность, элемент  заменяется проводником ( ).

           Рассмотрим последовательность анализа на примере цепи рис. 1.7,а, где все источники напряжения и тока постоянные. Пронумеруем все узлы, а узел под номером 0 примем за общий (с нулевым потенциалом). Задача анализа: при заданных значениях параметров всех (активных и пассивных) элементов цепи определить все узловые напряжения  ( ), отсчитанные от общего узла 0. Если станут известны узловые напряжения , то токи ветвей определятся в соответствии с законом Ома (1.4).

           Прежде чем записать систему уравнений по первому закону Кирхгофа, сначала упростим цепь рис. 1.7,а, выполнив преобразования в следующей последовательности.

           Вынесем идеальный источник напряжения  за узел 3, в результате чего один источник  окажется включенным последовательно с источником тока , а другой – с сопротивлением  (рис. 1.7,б). Источник напряжения , включенный последовательно с идеальным источником тока , отбрасывается, а другой источник  преобразуется в источник тока  с параметром  (рис. 1.7,в). В источник тока  с параметром  преобразуется и источник напряжения . Параллельное соединение источников тока, а также сопротивлений заменяем одним источником тока и одним сопротивлением, как показано на рис. 1.7,г, где

.

Рис. 1.7. Преобразование цепи при анализе методом узловых напряжений

           Задав токам в узлах 1 и 2 определенные направления, например, как показано на рис. 1.7,г, запишем для этой схемы систему уравнений методом узловых напряжений:

где  и  – узловые напряжения, а  – разность напряжений, определяющая ток в ветви сопротивления .

           Запишем эту систему уравнений в канонической форме:

                        (1.6)

где  – проводимости.

           Решим систему уравнений (1.6) относительно неизвестных  и :

;

.

           Узловое напряжение устраненного узла 3 ( ) определится из схемы рис. 1.7,а:

.

           Имея  численные значения токов , напряжений  и сопротивлений  исходной цепи рис. 1.7,а и вычислив промежуточные величины , , , , , из приведенных формул для  можно определить значения узловых напряжений, а из схемы рис. 1.7,а – значения токов ветвей.

           В цепи рис. 1.7,а все источники являются независимыми, параметры которых (ток источника тока, напряжение источника напряжения) не зависят от подсоединенным к ним элементам. У зависимых источников параметр зависит от величины либо токов ветвей, либо узловых напряжений. Пример такой цепи приведен на рис. 1.8,а, где источник тока  управляется напряжением . Выполним анализ этой схемы, получив выражение напряжения  (в схеме рис. 1.8,а все напряжения и токи являются функциями переменной ).

Рис. 1.8. Электрическая цепь с источником тока, управляемым напряжением

           Преобразуем задающий источник напряжения  в источник тока  (рис. 1.8,б) и запишем для этой схемы систему уравнений относительно узловых напряжений  и :

или

где ; ; ; .

            Решив эту систему уравнений относительно , результат анализа схемы рис. 1.8,а можно представить в виде функции переменной :

.

           После подстановки в выражение  численных значений параметров элементов исходной схемы ( ) функция передачи от входного источника  в узел 2 , равная отношению , приобретет численное выражение.

Мы поможем в написании ваших работ!