Часть 5. Основы теории вероятностей и математической статистики

5.1. Основные понятия теории вероятностей

Предметом изучения теории вероятностей являются количественные закономерности однородных случайных явлений массового характера.

Определение 1. Событием называется всякий возможный факт, о котором можно сказать, что он произойдет или не произойдет в данных условиях.

Пример. Готовые ампулы, сошедшие с конвейера, могут оказаться либо стандартными, либо нестандартными. Один (любой) исход из указанных двух возможных называются событием.

Различают три вида событий: достоверные, невозможные и случайные.

Определение 2. Достоверным называют то событие, которое при соблюдении некоторых условий не может не произойти, т.е. обязательно произойдет (обозначают Ω).

Пример. Если в урне содержатся только белые шары, то взятый наудачу из урны шар будет обязательно белый. В данных условиях факт появления белого шара будет достоверным событием.

Определение 3. Невозможным называют то событие, которое при соблюдении некоторых условий не может произойти (обозначают Æ).

Пример. Нельзя извлечь белый шар из урны, содержащей только черные шары. В этих условиях факт появления белого шара будет невозможным событием.

Определение 4. Случайным называют событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, но может и не произойти (обозначение A, B, A₁, A₂).

Пример. Монета, брошенная вверх, может упасть так, что на ее верхней стороне окажется либо герб, либо цифра. Здесь появление сверху той или другой стороны монеты является случайным событием.

Определение 5. Испытание - совокупность тех условий или действий, которые могут быть повторены бесконечное число раз.

Пример. Подбрасывание монеты вверх - испытание, а возможный результат, т.е. выпадение на верхней стороне монеты либо герба, либо цифры является событием.

Определение 6. Если события A_i таковы, что при некотором данном испытании может произойти только одно из них и никаких других, не входящих в совокупность, то эти события называются единственно возможными.

Пример. В урне лежат белые и черные шары и никаких других. Взятый наугад один шар может оказаться белым или черным. Эти события являются единственно возможными, т.к. появление шара другой окраски при данном испытании исключено.

Определение 7. Два события A и B называются несовместными, если при данном испытании они не могут произойти вместе.

Пример. Герб и цифра являются единственно возможными и несовместимыми событиями при однократном бросании монеты.

Определение 8. Два события A и B называются совместными (совместимыми) при данном испытании, если появление одного из них не исключает возможность появления другого события при том же испытании.

Пример. Возможно совместное появление орла и цифры при одном бросании двух монет.

Определение 9. События A_i называются равновозможными в данном испытании, если в силу симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является более возможным по сравнению с другими.

Пример. Появление любой грани при одном бросании игральной кости является равновозможным событием (при условии, если кость сделана из однородного материала и имеет форму правильного шестигранника).

Определение 10. События называются благоприятствующими (благоприятными) некоторому событию, если появление одного из этих события влечет появление данного события. Случаи, исключающие появление события, называются неблагоприятствующими этому событию.

Пример. В урне имеется 5 белых и 7 черных шаров. При взятии наугад одного шара, в руках может оказаться или белый или черный шар. В данном случае появление белого шара благоприятствует 5 случаев, а появлению черного шара 7 случаев из общего количества 12 возможных случаев.

Определение 11. Два единственно возможных и несовместимых событий называют противоположными друг другу. Если одно из этих событий обозначено A, то противоположное ему событие обозначают символом Ā.

Пример. Попадание в цель и промах; выигрыш и проигрыш по билету лотереи - все это примеры противоположных событий.

Определение 12. Если в результате какой-либо массовой операции, состоящей из n сходных между собой единичных опытов или наблюдений (испытаний), некоторое случайное событие появится m раз, то число m называют частотой случайного события, а отношение m/n называется его частостью.

Пример. Среди первых 20 изделий, сошедших с конвейера, оказалось 3 изделия нестандартных (брак). Здесь число испытаний n=20, частота брака m=3, частость брака m/n = 3/20 = 0,15.

Всякое случайное событие в заданных условиях имеет свою объективную возможность появления, причем у одних событий эта возможность появления больше, у других - меньше. Для количественного сравнения между собой событий по степени возможности их наступления с каждым случайным событием связывают некоторое действительное число, выражающего количественную оценку степени объективной возможности наступления данного события. Это число называют вероятностью события.

Определение 13. Вероятность некоторого события есть числовая мера объективной возможности наступления этого события.

Определение 14. (Классическое определение вероятности). Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих наступлению этого события, к числу n всех возможных случаев, т.е. Р(А) = m/n.

Пример. Урна содержит 5 белых и 7 черных шаров, тщательно перемешанных. Какова вероятность того, что взятый наудачу из урны один шар окажется белым?

Решение. В данном испытании имеется всего 12 возможных случаев, из них 5 благоприятствуют появлению белого шара. Поэтому вероятность появления белого шара Р=5/12.

Определение 15. (Статистическое определение вероятности). Если при достаточно большом числе повторных испытаний по отношению к некоторому событию А будет замечено, что частость события колеблется около некоторого постоянного числа, то событие А имеет вероятность Р(А), приближенно равную частости, т.е. Р(А)~m/n. Частость события при неограниченном числе испытаний называют статистической вероятностью.

Основные свойства вероятности.

1⁰Если событие А влечет за собой событие В (АÞВ), то вероятность события А не превосходит вероятности события В. Р(А)≤Р(В)

2⁰ Если события А и В равносильны (АÞB, ВÞА, В=А), то их вероятности равны Р(А)=Р(В).

3⁰ Вероятность любого события А не может быть отрицательным числом, т.е. Р(А)≥0

4⁰ Вероятность достоверного события W равна 1. Р(W)=1.

5⁰ Вероятность невозможного события Æ равна 0. Р(Æ)=0.

6⁰ Вероятность любого случайного события А заключена между нулем и единицей 0<Р(А)<1

5.2. Основные формулы комбинаторики

Определение 1. Различные группы по m предметов, составленные из n однородных предметов (m,n), называются соединениями. Предметы, из которых составляют различные соединения, называют элементами.

Существует 3 вида соединений: размещения, перестановки, сочетания.

Определение 2. Размещениями по m элементов из данных n элементов (m≤n) называют такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Например, размещениями из трех предметов a,bиc по два будут следующие соединения: ab, ac, bc, ca, cb, ba. Число размещений из данных n элементов по m обозначают символом А_n^m=n(n-1)(n-2)·....·(n-m+1).

Пример. А₁₀⁴=10·9·8·7=5040.

Определение 3. Перестановками из n элементов называют такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Р_n=А_nⁿ=n(n-1)(n-2)...·3·2·1=n! По определению 0!=1.

Пример. Р₅=5!=1·2·3·4·5=120.

Определение 4. Сочетаниями из n элементов по m называются также соединения, которые отличаются друг от друга, по меньшей мере, одним элементом и каждое из которых содержит m различных элементов:

C_n^m= = =

Пример. Найти число сочетаний из 10 элементов по четыре.

Решение.C₁₀⁴= =210.

Пример. Найти число сочетаний из 20 элементов по 17.

Решение. = =1040.

Числа сочетаний являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона (биномиальные коэффициенты):

Биномиальные коэффициенты до n=10 можно находить из треугольника Паскаля.

n \ m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

5.3.Теоремы теории вероятностей

5.3.1. Теорема сложения вероятностей

Теорема1.Вероятность наступления одного какого-либо события из двух несовместимых событий А и В равно сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Пример. В урне 5 красных, 7 синих и 8 белых шаров, перемешанных между собой. Какова вероятность того, что взятый наугад один шар окажется не красным?

Решение. Не красный шар - это или белый или синий шары. Вероятность появления белого шара (событие А) равна Р(А)= 8/20 = 2/5. Вероятность появления синего шара (событие В) равна Р(В)= 7/20. Событие, состоящее в появлении не красного шара, означает появление или А или В, т.к. события А и В несовместимы, то применима теорема 1. Искомая вероятность будет равна Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=2/5+ +7/20=3/4.

Теорема 2. Вероятность наступления одного из двух событий A или B равно сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления P(A+B)=P(A)+P(B)+P(AB).

5.3.2. Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Два события A и B называются независимыми друг от друга, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого.

Пример. Пусть A - событие, состоящее в появлении герба при первом бросании монеты, а B - событие, состоящее в появлении герба при втором бросании монеты, то события A и B не зависят друг от друга, т.е. результат первого бросания монеты не может изменить вероятность появления герба при втором бросании монеты.

Определение 2. Два события A и B называются зависящими друг от друга, если вероятность одного из них зависит от наступления или ненаступления другого.

Пример. В урне 8 белых и 7 красных шаров, перемешанных между собой. Событие A - появление белого шара, а событие B - появление красного шара. Будем брать из урны наугад два раза по одному шару, не возвращая их обратно. До начала испытания вероятность появления события A равна P(A)=8/15, и вероятность события B равна P(B)=7/15. Если предположить, что в первый раз был взят белый шар (событие A), то вероятность появления события B при втором испытании будет P(B)=7/14=1/2. Если в первый раз был взят красный шар, то вероятность появления красного шара при втором извлечении равна P(B)=6/14=3/7.

Определение 3. Вероятность события B, вычисленная в предположении, что перед этим наступило связанное с ним событие A, называется условной вероятностью события B и обозначается PA(B).

Теорема 3. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий (A и B) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло,т.е. P(AB)=P(A)·P_A(B)=P(B)·P_B(A).

Теорема 4. Вероятность совместного наступления нескольких зависимых событий равно произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных событий, вычисленные в предположении, что все предыдущие события уже наступили:

P(A₁A₂A₃...A_k)=P(A₁)·P_A1(A₂)·P_A1A2·P(A₃)...·P_{A1A2…A k-1} (A_k)

Теорема 5. Вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий P(AB)=P(A)·P(B).

Теорема 6. Вероятность совместного наступления нескольких независимых событий A₁, A₂, ... A_k равна произведению их вероятностей, т.е. P(A₁A₂...A_k)=P(A₁)·P(A₂)·...·P(A_k).

Пример. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу в одну цель. Какова вероятность того, что оба попадут, если известно, что первый стрелок в среднем дает 7 попаданий, а второй 8 попаданий на каждые 10 выстрелов? Какова вероятность поражения мишени?

Решение. Вероятность попадания первого стрелка (событие A) равна P(A)=0,8, вероятность попадания второго стрелка (событие B) равна P(B)=0,7. События A и B независимы друг от друга, поэтому вероятность совместного наступления этих событий (совместное попадание в цель) найдем по теореме умножения для независимых событий: P(AB)=P(A)P(B)=0,8·0,7=0,56.

Вероятность поражения мишени означает попадание в мишень хотя бы одного стрелка. Так как попадание в мишень первого и второго стрелков являются событиями совместными, то применение теоремы сложения вероятностей для совместных событий дает следующий результат:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0,8+0,7- 0,8·0,7=0,94.

5.3.3.Формула полной вероятности

Определение 4. Если при некотором испытании может произойти одно какое-либо событие из нескольких несовместных A₁,A₂,...,A_k, и при этом никаких других событий быть не может, но одно из указанных событий обязательно произойдет, то группу событий A₁,A₂,...,A_k называют полной группой событий.

Теорема 7. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_k)=1.

Следствие. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P(A)=1.

Если вероятность одного события обозначим через p, вероятность противоположного ему события обозначим через q, тогда p+q=1.

Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,94. Найти вероятность непопадания.

Решение. Попадание в цель и непопадание являются противоположными событиями, поэтому, если p=0,94, то q=1-p=1-0,94=0,06.

Теорема 8. Если случайные события A₁,A₂...A_n образуют полную систему, и если событие B может осуществляться только совместно с каким-нибудь одним из этих событий, то вероятность наступления события B можно определить по формуле:

P(B)=P(A₁)P_A1 (B)+P(A₂)P_A2 (B)+...+P(A_n)P_{A n}(B)

Это равенство называется формулой полной вероятности.

Пример. На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов, в том числе: 30% из I-го цеха, 45% из II цеха и 25% из III цеха. Среди изделий I цеха брак составляет 0,6%, по II цеху 0,4% и по III цеху-0,16%. Какова вероятность того, что взятое наугад для контроля одно изделие окажется с браком?

Решение. Одно изделие может быть взято или из продукции I цеха (событие A₁), или из продукции II цеха (событие A₂), или из продукции III цеха (событие A₃). Вероятности этих событий будут:

P(A₁)=0,30; P(A₂)=0,45; P(A₃)=0,25.

Вероятность того, что изделие с браком (событие B) будет взято из продукции I цеха, есть условная вероятность P_A₁(B). Она равна P_A₁(B)=0,006. Вероятность того, что изделие с браком будет взято из продукции II цеха P_A₂(B)=0,004 и из продукции III цеха P_A₃(B)=0,0016.

Теперь по формуле полной вероятности найдем вероятность того, что взятое наугад одно изделие будет с браком:

P(B)=P(A₁)P_A1(B)+P(A₂)P_A2(B)+...+P(A₃)P_A3(B) = 0,3·0,006+0,45·0,004+0,25·0,0016=0,004.

5.3.4. Формула Бернулли

Теорема 9. Пусть производится n независимых повторных испытаний по отношению к некоторому событию A. Пусть вероятность появления этого события в каждом отдельном испытании остается неизменно равной p, а вероятность появления противоположного события Ā, есть q.

Тогда вероятность появления интересующего нас события A равно m раз при указанных n испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли:

P_m_,_n= p^mqⁿ^-^m , так как , то P_m_,_n= ·p^m·qⁿ^-^m

Пример. Коэффициент использования станка в среднем равен 0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся работоспособными только 3 станка?

Решение. Задача подходит под схему повторных испытаний и решается по формуле Бернулли: n=5, m=3, p=0,8 и q=1-0,8=0,2: P_3,5= (0,8)³·(0,2)²=0,2084.

5.4.Случайные величины и их числовые характеристики

Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта принимает одно значение, причем неизвестно заранее, какое именно (обозначается последними буквами латинского алфавита X, Y, Z, X₁, X₂).

Случайные величины бывают двух видов: дискретные и непрерывные.

Определение 2. Дискретной называется случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга значения.

Случайная дискретная величина задается законом распределения, связывающим принимаемые ею значения x_i и вероятности их принятия p_i. Закон распределения чаще всего задается в табличной форме.

Графическое представление закона распределения случайной дискретной величины называетсямногоугольником распределения.

5.4.1. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

1) Математическое ожидание.

Определение 3. Математическое ожидание случайной дискретной величины X с конечным числом значений называется сумма произведений возможных ее значений на их вероятности:

M(X) =μ= x₁p₁ + x₂p₂ +...+ x_np_n= .

Вероятности всех значений случайной дискретной величины удовлетворяют условию нормировки:

Свойства математического ожидания.

1⁰Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины С равно самой постоянной M(C)=C.

2⁰ Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых M(X₁ ± X₂ ±...± X_n) = M(X₁) ± M(X₂) ±…± M(X_n).

3⁰ Константу можно вынести за знак математического ожидания M(CX)=CM(X).

4⁰ Математическое ожидание произведения нескольких независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: M(X₁X₂...X_n) = M(X₁)M(X₂)...M(X)_n.

2) Дисперсия дискретной случайной величины.

Определение 4. Дисперсией случайной дискретной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

D(X) = M{[X-M(X)]²} = , где M(X) = μ

Для вычисления дисперсии более удобна формула: D(X)=M(X²)-[M(X)]², т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания.

Свойства дисперсии.

1⁰ Дисперсия постоянной величины равна нулю D(С) = 0.

2⁰ Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(CX) = C²D(X).

3⁰Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X₁+...+X_n) = D(X₁)+...+D(X_n).

4⁰ Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D(X-Y)=D(X)+D(Y).

3). Среднее квадратическое отклонение

Определение 5. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсииσ(X)= .

Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X	1	2	5
p	0,3	0,5	0,2

Решение. Найдем математическое ожидание: M(X)=1·0,3+2·0,5+ +5·0,2=2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения.

[x₁-M(x)]²=(1-2,3)²=1,69 [x₂-M(x)]²=(2-2,3)²=0,09 [x₃-M(x)]²=(5-2,3)²=7,29

Напишем закон распределения квадрата отклонения

[x_i-M(x)]²	1,69	0,09	7,29
P_i	0,3	0,5	0,2

Найдем дисперсию: D(x)=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01.

5.4.2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Определение 6. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Определение 7. Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше x, т.е. F(x)=P(X<x).

Свойства интегральной функции распределения

1⁰ Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку0≤F(x) ≤1.

2⁰ Функция распределения есть неубывающая функция.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (a,b), равна приращению ее интегральной функции распределения на этом интервале P(a<x<b)=F(b)-F(a).

Следствие 2. Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение равна нулю P(X=x₁)=0.

3⁰ Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a,b), то F(x)=0 при x≤a и F(x)=1 при x≥a.

Определение 8. Дифференциальной функцией распределения f(x) (или плотностью вероятности) называется производная от интегральной функции f(x)=F'(x).

Интегральная функция является первообразной для дифференциальной функции, поэтому вероятность того, что случайная непрерывная величина x примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), определяется равенством: P(a<x<b)= =F(b)-F(a)Зная дифференциальную функцию, можно найти функцию распределения: F(x)=

Свойства дифференциальной функции распределения

1⁰ Дифференциальная функция распределения есть функция неотрицательная f(x) ≥0

2⁰ Несобственный интеграл от дифференциальной функции распределения равен единице (условие нормировки): .

1)Математическое ожидание.

Математическим ожиданием случайной непрерывной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку (a,b), называется определенный интеграл:

M(X)= , где f(x)-плотность вероятности случайной величины X.

2) Дисперсия.

Дисперсия непрерывной случайной величины X есть математическое ожидание квадрата отклонения зтой величины от ее математического жидания D(X) = M{[X - M(X)]²}.Следовательно, если возможные значения случайной величины X принадлежат отрезку (a;b), то

D(x)= или

D(x)=

3) Среднее квадратическое отклонение определяется так:σ(x) =

Пример. Найти дисперсию случайной величины X, заданной интегральной функцией

F(x)=

Решение. Найдем дифференциальную функцию:

f(x)=F^’(x)=

Выислим математическое ожидание M(x) = .

Найдем искомую дисперсию D(x) = = = 2/4 =4/3.

5.4.3.Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в заданный интервал

Определение 9. Распределение вероятностей случайной непрерывной величины X называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой:

, где μ - математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение.

Определение 10. Нормальное распределение с параметрами μ = 0,σ = 1 называется нормированным или стандартным. Плотность вероятности нормированного нормального распределения описывается следующей формулой: .

Значения данной функции для неотрицательных значений затабулированы. В силу четности функции φ(x) значения для отрицательных чисел легко определить φ(-x)= φ(x).

Пример. Математическое ожидание нормального распределенной случайной величины X равно μ=3 и среднее квадратическое отклонение σ =2. Написать дифференциальную функцию X.

Решение. f(x)=

Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания в интервал (a,b) определяется следующим образом:

P(a<x<b) = dx=F(b)-F(a).

Введя новую переменную t=(x-μ)/σ, получим общую формулу для нахождения вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

P(a<x<b) = P(α<t<β) =

где - интегральная функция распределения нормированной нормальной величины.

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10,50).

Решение.a=10, b=50, σ =10, μ=30

P(10<x<50) = =2Ф(2)

Из таблицы находим Ф(2) = 0,4772 и окончательно имеем P(10<x<50) = 2·0,4772 = 0,9544

5.5.Элементы математической статистики

5.5.1. Выборочный метод

Определение 1. Генеральной совокупностью называют множество объектов, однородных относительно некоторого признака, из которого производится выборка.

Определение 2. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Определение 3. Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называют число объектов этой совокупности.

Определение 4. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Определение 5. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Определение 6. Выборка называется репрезентативной, если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, и если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Определение 7. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Чаще всего выборки задаются в виде статистического ряда. Различают дискретный и интервальный статистические ряды.

Дискретный статистический ряд задается таблицей, в которой указываются варианты (x_i), частоты (m_i) и относительные частоты их встречаемости.

x_i	x₁	x₂	x₃	…	x_k
m_i	m₁	m₂	m₃	…	m_k
P_i*	m₁ n	m₂ n	m₃ n	…	m_k n

Графическое изображение дискретного статистического ряда называетсяполигоном частот (относительных частот).

Интервальный статистический ряд для случайных непрерывных величин и для случайных дискретных величин при больших объемах выборок. Интервальный ряд представляет собой таблицу, в которой указаны частичные интервалы (∆x_i), плотности частот (m_i/∆x_i) и плотности относительных частот.

Нужно правильно выбрать ширину классового интервала. Число интервалов должно зависеть от размаха выборки и её объёма.

	Частичныеинтервалы	[x₁, x₂]	[x₂, x₃]	…	[x_k–1, x_k]
	m_i	m₁	m₂	…	m_k	n =
	P_i*	m₁ n	m₂ n	…	m_k n	n =
Гистограммачастот	m_i Dx	m₁ Dx₁	m₁ Dx₂	…	m_k Dx_k	Площадьгистограммыравнаn
Гистограммаотносительныхчастот	P_i* Dx	P₁* Dx₁	P₂* Dx₂	…	P_k* Dx_k	Площадьгистограммыравна 1
Накопленныечастоты (кумулята)	å m _i	m₁	m₁ +m₂	…	n

Графическое изображение интервального статистического ряда называетсягистограммой.

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 239; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!