Решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

. (1)

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то такая система называется неоднородной.Если же , то такая система называется однородной.

Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает все уравнения системы в верные равенства.

Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной.Если система имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.

Матричный метод решения СЛАУр

Запишем систему линейных уравнений в матричной форме. Введем обозначения:

, , .

где А – матрица коэффициентов системы,

Х – вектор-столбец неизвестных,

В – вектор-столбец свободных членов.

Тогда систему (1) можно кратко записать в матричной форме .

Умножив обе части равенства слева на матрицу , получим

, но

следовательно, . Эта формула дает решение системы (1) в матричной форме.

Пример 1

Решить систему матричным методом.

Решение

Матрица этой системы ,

обратная матрица имеет вид

Применяя формулу , получим

Следовательно, , , .

Формулы Крамера для решения СЛАУр

Если определитель системы , то эта система имеет единственное решение, которое можно получить по формулам Крамера:

где

В знаменателях этих формул стоит определитель системы , а в числителях – определители, которые получаются из определителя системы заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.

Пример 2

Решить систему по формулам Крамера.

Решение

Формулы Крамера: . Вычислим определители:

, тогда

, , . Итак, , , .

Контрольное задание № 3

В данном задании используются индивидуальные параметры: m–число букв в Фамилии студента, n–число букв в полном Имени студента.

1.1. Найти значение матричного многочлена , если , , .

1.2. Вычислить определитель по правилам треугольника и диагоналей и разложением по любой строке (или столбцу): .

1.3. Найти матрицу обратную к матрице и проверить выполнение равенства .

1.4. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса: .

Часть 4. Задача линейного программирования

Рассмотрим графический метод решения на следующем примере.

Задача №1. Для производства двух препаратов A и B химическое производство использует три вида сырья:

Виды сырья

Норма расхода сырья(кг/стандарт)

Общее количество сырья(кг)

I II III

12 4 3

4 4 12

300 120 252

Прибыль от реализации 1 стандарта (усл.ед/станд)

Необходимо составить план выпуска, при котором прибыль от реализации выпущенной продукции будет максимальна.

Обозначим х₁-количество стандартов препарата А, х₂-количество стандартов препаратаВ.

Целевая функция (общая прибыль) оптимизируется на максимум Q=30x₁+40x₂ max.

По каждому виду сырья составляются ограничения в форме неравенств, а на переменные накладывается условие неотрицательности:

Алгоритм графического решения ЗЛП:

1) строят прямые линии по условиям-ограничениям;

2) находят полуплоскости, определяемые каждым ограничением;

3) находят многоугольник решений (пересечение полуплоскостей);

4) строят систему параллельных линий Q=const, проходящих через многоугольник;

5) находят точку, в которой значение целевой функции Q максимально;

6) определяют оптимальный план (х₁^*;х₂^*) и значение целевой функцииQ для оптимального плана.

Решим задачу №1 графически согласно приведенному алгоритму:

- неравенства заменим на равенства

(3)

(2)

(1)

- строим соответствующие прямые; - определяем полуплоскости по отношению к началу координат О(0;0); - заштриховываем область пересечения полученных полуплоскостей; - строим вектор