Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Связь с первой и второй производной

Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Это означает:

- функция определена в точке х₀ и в ее окрестности;

- функция имеет предел при х→х₀

- предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х₀

Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы)

 и

При этом, если:

- А₁=А₂ то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

- А₁≠А₂ то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

|A₁ – A₂| называется скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.

Производная от функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал.

Производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю.

Производная функции f(x) есть некоторая функция

f ’(x), произведенная из данной функции.

Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемойв этом интервале.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Дифференциал функцииy=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x) ).

Иначе. Дифференциал функцииравен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Скорость изменения функции-физ см произ

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.

Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

Тангенс угла наклона касательной прямой-геом см пр         y = f ’(x0) · (x – x0) + f(x0).

Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Теорема Ферма.

Если функция у = f (х), определенная в интервале (а ; b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f ′(с), то f ′(с) = 0. 

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Ролля. Если функция у = f (х), непрерывная на отрезке [а ; b] и дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.

Геометрически эта теорема означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что 

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х) между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ

 Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна. 

8

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность

типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и , то ; по теор.лагранжа

Если и , то аналогично .

Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Связь с первой и второй производной

большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Необх.усл.возр,уб ф-ии:Если ф-я возр(уб)на промеж. Х то её произв не отриц(не полож) на эт промеж

Т.х0 наз т мах ф-ии если сущ такая окрестн в т х0 что для люб х их эт окрестн f(x) < f(x0). И тоже самое для мин

В 1 рис есть касат в этих т и произ =0 ,во 2 нет произв

В т экстремума произв= либо 0 либо не сущ

Если ф-я деффер-ма то в окрестн т экстремума выполн теорема Ферма.Значит по т Ферма произв в т экстремума=0

В точках где произ=0 или не сущ- крит т

Достаточн условие сущ т экстремума:если при перех через т х0 произв ф-ии меняет знак то х0-т экстремума
(если знак с + на – то мах и наоб)

Если в т х0 1я произв дважды дифференцируемой ф-ии =0 а вторая произ меньше 0 то это т макс и наоб

Мы поможем в написании ваших работ!