Наивероятнейшее число появления события
Тема 7. Повторение испытаний (2 ч.)
Формула Бернулли
О. 1.Если проводится несколько испытаний, причем вероятность появления события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимымиотносительно события .
Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых возможно только два исхода: либо событие появится, либо нет.
Условимся считать, что вероятность события в каждом испытании одна и та же и равна .
Тогда вероятность ненаступления события в каждом испытании так же постоянна и равна .
Выше описанная совокупность условий называется схемой независимых испытаний Бернулли.
Теорема 1. Если вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна, то вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится ровно раз, вычисляется по формуле
.
Пример 1. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятность появления мальчика в семье равной 0.515, определить вероятность появления в ней двух мальчиков.
Решение: .
Локальная теорема Муавра-Лапласа
При больших пользоваться формулой Бернулли становится затруднительно.
Теорема 2. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна , то вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится ровно раз, приближенно вычисляется (тем точнее, чем больше ) по формуле
|
|
, где
, .
Для определения значений функции существуют специальные таблицы соответствующие положительным значениям аргумента . При отрицательных значениях аргумента пользуются теми же таблицами, т. к. функция четная, т.е. .
Пример 2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна . Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень 80 раз.
Решение: Т. к. , то .
Тогда .
При этом вычисления по формуле Бернулли приводят к значению . Такие значительные расхождения связаны с недостаточно большим значением .
Формула Пуассона
Если число испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна , причем , то применение формулы Муавра-Лапласа становится невозможным.
Теорема 3. Если вероятность появления события в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний, причем произведение сохраняет постоянное значение, т. е. , то вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится раз удовлетворяет предельному равенству:
|
|
(2).
Строго говоря, условие теоремы 2: при , нарушает исходные предпосылки в схеме независимых испытаний Бернулли, в которой . Однако, если вероятность постоянна и достаточно мала, а число испытаний велико, причем произведение незначительно, то из предельного равенства (2) можно записать приближенную формулу Пуассона:
.
Пример 3. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено три изделия.
Решение: В данном случае формула Бернулли не применима, т. к. придется возводить 0. 002 в 500-ю степень.
; .
Интегральная теорема Лапласа
Пусть выполнены условия схемы независимых испытаний Бернулли, причем достаточно велико.
Теорема 4.Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна , то вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится до раз (не более , но не менее ), приближенно вычисляется по формуле
, где
, , .
Функцию называют функцией Лапласа.
Для определения значений функции существуют специальные таблицы соответствующие положительным значениям аргумента . При отрицательных значениях аргумента пользуются теми же таблицами, т. к. функция нечетная, т.е. .
|
|
Пример 4. Вероятность того, что деталь не пройдет проверку качества, равна . Найти вероятность того, что из 400 проверенных деталей бракованными окажутся не более 70, но не менее 100 деталей.
Решение: Т. к. , , то .
Наивероятнейшее число появления события
О. 2. Наивероятнейшим числом наступления события в независимых испытаниях называется число, вероятность которого, по крайней мере не меньше вероятностей вычисленных для всех остальных .
Наивероятнейшее число - наступления события в независимых испытаниях находится из неравенства
. (1)
Т. к. , то обязательно найдется хотя бы одно целое число , удовлетворяющее неравенству (1).
Если обе части неравенства (1) – дробные числа, то - единственное целое число, расположенное между данными дробями.
Если число - целое, то наивероятнейших чисел будет два:
и .
Если число - целое, то наивероятнейшее число .
Пример 5.В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятность появления мальчика в семье равной 0.515 найти наивероятнейшее число появления мальчиков в семье c четырьмя детьми.
|
|
Решение: Т. к. , , , то . Т. е. вероятнее всего, что мальчиков будет два. Проверим это. Найдем вероятности того, что мальчиков будет 0,1,3,4.
Следовательно, вероятнее всего появление двух мальчиков.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 560; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!