Математичне сподівання дискретної випадкової величини та її властивості. Довести три з них.
Математичним сподіванням (середнім значенням або центром розподілу) ДВВ X називається сума добутків всіх її значень на відповідні ймовірності, тобто 
.
ВЛАСТИВОСТІ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДІВАННЯ.
1.МС сталої ВВ дорівнює самій цій сталій: M(c)=c
Доведення:
2. Сталий множник виноситься за знак МС: M(cX)=cM(X)
Доведення:
3.МС суми ВВ дорівнює сумі їх МС: M(X+Y)=M(X)+M(Y)
Наслідок. МС різниці ВВ дорівнює різниці їх МС: M(X-Y)=M(X)-M(Y)
4. МС добутку (незалежних) ВВ дорівнює добутку їх МС: M (XY)=M(X)M(Y).
5.МС центрованої ВВ X-M(X) дорівнює нулю:M[X-M(X)]=0.
Доведення:
Дисперсія дискретної випадкової величини та її властивості. Довести три з них.
Дисперсією ДВВназивається МС квадрата відхилення ВВ від свого МС, тобто:
.
Дисперсія (якщо вона існує) має розмірність квадрата ВВ, є невипадковою сталою невід’ємною величиною, що характеризує розсіювання значень ВВ від центру розподілу – МС.
ВЛАСТИВОСТІ ДИСПЕРСІЇ.
1.Дисперсію можна знаходити за формулою: 
.
Доведення:
2. Дисперсія сталої дорівнює нулю: D(C)=0
Доведення. D(c)= 
за власт. МС = c^2-c^2=0
3. Сталий множник виноситься за знак дисперсії в квадраті: D(cX)=c^2D(X).
Доведення. D(cX)= за 1 власт.= M[(cx) 
– M [cx]= за вл. МС= 
4. Дисперсія суми незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: 
.
Наслідок. Дисперсія різниці незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: D(X-Y)=D(X)+D(Y)
Наслідок. Дисперсія центрованої ВВ X-M(X)співпадає із дисперсією самої ВВ X, а дисперсія стандартизованої ВВ 
дорівнює одиниці.
|
|
|
5. Якщо ВВ X та Y залежні, то: 
, де 
- коваріація між ВВ X та Y.
6. Дисперсія добутку незалежних ВВ дорівнює:
D(XY)=M(X^2)M(Y^2)-M^2(X)M^2(Y).
7. Дисперсія середнього арифметичного незалежних ВВ дорівнює:
.
Важливий висновок: при вимірюваннях (дослідженнях) в якості остаточного результату беруть середньоарифметичну усіх результатів. При цьому похибки від точного значення зменшуються на к-сть результата.
Інтегральна функція розподілу та її властивості.
Означення. Інтегральною функцією розподілу F(x)ВВ x називається імовірність того, що ВВ прийме значення, менше від числа x, тобто
.
Ця функція повністю характеризує ВВ з імовірнісної точки зору, тобто є однією із форм закону розподілу
ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ РОЗПОДІЛУ.
1.Значення функції належать проміжку [0.1], тобто 
, причому 
.
Доведення:
2.Функція є неспадною, тобто 
Доведення:
Наслідок ( основна формула теорії ймовірностей) :
.
3.Імовірність того, що НВВ Х прийме деяке окреме значення дорівнює нулю, тобто P(X=x1)=0
Доведення:
Наслідок . Для НВВ 
справедливі рівності:
Диференціальна функція розподілу та її властивості.
|
|
|
Щільністю розподілу ймовірностей (або диференціальною функцією розподілу) називається похідна (якщо вона існує) від інтегральної функції розподілу:
ВЛАСТИВОСТІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ФУНКЦІЇ.
1.Щільність розподілу імовірностей – невід’ємна функція, тобто 
.
Доведення:
2.Теорема .(основна формула теорії імовірностей). Імовірність того, що НВВ X прийме значення із деякого проміжка (a;b) знаходиться за формулою:
2.Інтегральна функція розподілу та диференціальна (щільність розподілу імовірностей) є еквівалентними узагальненими характеристиками НВВ, які пов’язані співвідношенням: 
Доведення:
3.Умова нормування закону розподілу НВВ має вигляд: 
Доведення:
Числові характеристики НВВ Х визначаються наступними формулами (якщо збігаються відповідні невласні інтеграли):
,
,
.
Доведення:
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 566; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!