Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення частоти та відносної частоти в схемі незалежних повторнитх випробувань.
Класичне означення імовірності. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї.
Імовірність події A дорівнює: P(A)= m/n
деn - число (кількість) подій у просторі елементарних подій,
а m - число наслідків (із простору елементарних подій), які сприяють появі події A.
Властивості:
1. Для довільної події A: ;
2.Для достовірної події U:P(U)=1
3.Для неможливої події V: P(V)=0.
Теорема (добутку імовірностей). Імовірність добутку двох подій A і B дорівнює добутку імовірності однієї з них на умовну імовірність іншої, при умові, що настала перша подія:
.
Доведення. Нехай n - кількість подій (елементарних наслідків) у просторі елементарних подій, з яких
k подій сприяють появі AB, m - сприяють появі A, а L - сприяють появі B
За класичним означенням імовірності:
.
Аналогічно доводиться, що P(ABC)=P(A)*Pa(B)*Pa(B).
Наслідок 1 (формули визначення умовних імовірностей). Якщо імовірності подій відмінні від нуля, то
.
Зауважимо, що теорема добутку справедлива навіть у випадку нульових імовірностей подій
Наслідок 2. Якщо подія A не залежить від події B, то і навпаки, подія B не залежить від події A, тобто вони взаємно незалежні.
Доведення:
Наслідок 3. Із незалежності подій A і B випливає незалежність пар подій : і , і , і .
Наслідок 4. Імовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх імовірностей:
P(AB)=P(A)*P(B)
Доведення:
Теорема суми імовірностей та наслідки з неї.
|
|
Теорема. Імовірність суми двох подій A і B дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх добутку. Іншими словами, імовірність появи хоча б однієї із двох подій дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їх сумісної появи:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Доведення:
= P (A) + P (B)-P(AB)
Наслідок 1. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей: P(A+B)=P(A)+P(B).
Наслідок 2. Сума імовірностей подій A1, А2,.....,Аn, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:
P (A1)+P(A2)+….+P(An)=1
Доведення:
Наслідок 3. Для взаємно протилежних подій A і
.
Доведення випливає із попереднього наслідка 2.
Наслідок4. Імовірність появи хоча б однієї із подій A1,A2,…..,An дорівнює: .
Зокрема, якщо події незалежні в сукупності, то:
.
Доведення:
Теорема (формула повної імовірності) та формули Байєса
Теорема. Нехай подія A може настати лише сумісно з хоча б однією із подій-гіпотез H1, H2….Hn , які утворюють повну групу. Тоді імовірність (повна імовірність) події A дорівнює:
тобто сумі добутків імовірностей гіпотез на умовні ймовірності події, при умові, що настала відповідна гіпотеза
Доведення:
|
|
Формули Байєса.
Теорема. Нехай подія A може настати лише сумісно з хоча б однією із подій-гіпотез H1, H2….Hn , які утворюють повну групу. Якщо подія A настала, то умовні (уточнені) імовірності гіпотез дорівнюють:
,
i=1,2,…….,n
де повна імовірність
Доведення:
Зазначимо, що виконуються усі умови теореми – формули повної ймовірності. Розглянемо одну із подій AHi
і скористуємось теоремою добутку:
P(AHi)=P(A)Pa(Hi)=P(Hi)Phi(A).
Звідси:
,
де P(A) - повна імовірність.
Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення частоти та відносної частоти в схемі незалежних повторнитх випробувань.
Знайдемо числові характеристики біноміально розподіленої ДВВ X=m. Розглянемо випадкові величини Xi=mi, i=1,2,…,n - частоту появи події A у i -тому випробуванні. Закони розподілу усіх цих ВВ однакові і мають вигляд:
Xi=mi | 0 | 1 |
P | q | p |
Неважко переконатись, що числові характеристики цих ВВ:
M(mi)=p, D(mi)=p-p^2=p(1-p)=pq.
Враховуючи, що , за властивостями математичного сподівання та дисперсії дістанемо: , , звідки .
Означення. Найімовірнішою частотою (або модою) появи події A у n НПВ називають частоту, для якої .
За означенням із системи умов
|
|
неважко дістати подвійну нерівність для визначення найімовірнішої частоти:
.
ВВ X=m/n - частість (частка, відносна частота) появи події A у n НПВ також підкоряється біноміальному закону розподілу з числовими характеристиками M(m/n)=p, D(m/n)=pq/n .
Відзначимо, що при достатньо великій кількості випробувань n найімовірніша частота m0 приблизно дорівнює np, а найімовірніша частість приблизно дорівнює імовірності p появи події у кожному окремому випробуванні. Зауважимо також, що біноміальний розподіл при збільшенні кількості НПВ досить швидко наближається до нормального.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 401; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!